Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки

Министерство высшего и профессионального образования

Томский государственный архитектурно-строительный университет

 

 

Кафедра Теоретической механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА по теоретической механике № 1

«Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки»

 

Вариант № 1

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент группы 013/12т

Шмидт Дмитрий

 

 

Проверил:

Евтюшкин Е.В.

 

 

 

 

 

 

ТОМСК – 2004

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а=0,5 м; b=1,2 м; c=0,4 м; Х_А=1,4091 м; (1)

φ₀=60⁰; ψ₀=15⁰; Y_А=0,7436-0,1 *t м;

X_A=0; X_A=0;

Y_A=-0,1; Y_A=0.

Уравнения связей:

|OA|=|OD|+|DA| (2) |OD|=a=const; |DA|=b=const;

|DC|=|DB|+|BC| (3) |DC|=c=const;|BC|=c=const;

Проекции (2) на оси координат:

X_A=a*cos φ+b*cos ψ; (4)

Y_A=a*sin φ-b*sin ψ;

После дифференцирования (4) по t имеем:

a*sin φ*φ+b*sin ψ*ψ=0; (4)’

-a*cos φ*φ-b*cos ψ*ψ=0.1;

Решения (4)’ в общем виде:

φ_i=0,1*sin ψ _i/a*sin (φ_i- ψ _i); (4.1)’

ψ_i=-0,1*sin φ_i/b*sin (φ_i-ψ_i); (4.2)’

(4.1)’ и (4.2)’ с учетом заданных параметров:

φ_i=0,2*sin ψ_i/sin(φ_i-ψ_i); [1]

ψ_i=-0,0833*sin φ_i/ sin (φ_i-ψ_i); [2]

После дифференцирования по t (4)’ имеет вид:

a*sin φ*φ+b*sin ψ*ψ=-(a*φ²*cosφ -b*ψ²*cos ψ); (4)”

-a*cos φ*φ-b*cos ψ*ψ=-(a*φ²*sin φ+b*ψ²*sin ψ);

Решения (4)” в общем виде:

φ_i= -[(a*φ_i²*cos (φ_i-ψ_i)+b*ψ_i²)/a*sin(φ_i-ψ_i)]; (4.1)”

ψ_i= (b* ψ_i²*cos (φ_i-ψ_i)+a*φ_i²)/b*sin(φ_i-ψ_i)]; (4.2)”

(4.1)” и (4.2)” с учетом заданных параметров:

φ_i=-[( φ_i²*cos (φ_i-ψ_i)+2.4*ψ_i²)/ sin(φ_i-ψ_i)];] [3]

ψ_i= (ψ_i²*cos (φ_i-ψ_i)+0.4167*φ_i²)/sin (φ_i-ψ_i); [4]

Проекции [3] на оси координат:

c*cos ψ =c*cos θ +S*cos φ; (5)

c*sin ψ =-c*sin θ +S*sin φ;

Находим параметры S и θ для t=0:

(-c*cos θ₀) ²=(-c*cos ψ ₀+S₀*cos φ₀) ²;

(c*sin θ₀) ²=(-c*sin ψ ₀+S₀*sin φ₀) ²;

c²=c²-2*c*S₀*cos (φ₀-ψ₀)+S₀², отсюда S₀=2*c* cos (φ₀-ψ₀)=0.5657м;

Разделив первое уравнение (5) на второе, имеем:

- сtg θ₀=(-c*cos ψ ₀+S₀*cos φ ₀)/ -c*sin ψ ₀+S₀*sin φ ₀=(-0.4*0.965+0.5657)/-0.4*0.2588+0.5657*0.866=-0.2668

Тогда θ₀=75.⁰0.4’

После дифференцирования (5) по t имеем:

c*sin θ*θ-cos φ *S=c*ψ*sin ψ -S*φ*sin φ; (5)’

c*сos θ*θ-sin φ *S=-c*ψ*cosψ +S*φ*cos φ;

Решения (5)’ в общем виде:

θ_i=(-c*ψ_i*cos (φ_i-ψ_i)+S_i* φ _i)/c*cos (θ_i+ φ _i); (5.1)’

S_i=S*φ_i*sin (θ_i+φ_i)-c_i*ψ_i*sin (θ_i+φ_i)/cos (θ_i+ φ _i); (5.2)’

(5.1)’ и (5.2)’ с учетом заданных параметров:

θ_i=-ψ _i*cos (φ_i-ψ_i)+2.5*S_i* φ _i/cos (θ_i+ψ_i); [5]

S_i=S*φ_i*sin (θ_i+φ_i)-0.4*ψ_i*sin (θ_i+ψ_i)/cos (θ_i+ φ _i); [6]

После дифференцирования (5)’по t имеем:

с*sin θ*θ-cos φ *S=-2S*φ*sin φ-S(φ*sin φ+ φ²cos φ)+c(ψ*sin ψ+ ψ² *cos ψ)-с*θ²*cos θ (5)”

с*cos θ*θ-sin φ *S=2S*φ*cos φ+S(φ*cos φ- φ²sin φ)- c(ψ*cos ψ- ψ² *sin ψ)-с*θ²*sinθ

Решения (5)” в общем виде:

θ_i=[2S*φ+S* φ-c[ ψ*cos(φ-ψ)+ ψ²*sin(φ- ψ)]+c* θ_i² *sin (φ +θ)]/c*cos(θ+φ) (5.1)”

S_i= 2S*φ*sin (θ+φ) +S*[ φ *sin(φ+θ)+ φ ²*cos(φ+θ)]-c*[ ψ_i *sin (ψ +θ)+ ψ²cos(θ+ψ)]+с * θ_i²/c*cos(θ+φ) (5.2)”

(5.1)” и (5.2)” с учетом заданных параметров:

θ_i=[2,5*(2*S* φ+S φ)-[ ψ cos (φ-ψ)+ φ²sin(φ-ψ)]+ θ_i²*sin(θ+φ)]/ cos (θ+φ); [7]

S_i=[2*S* φsin(θ+φ)+S[φsin(θ+φ)+ φ² cos (θ+φ)]-0.4[ψ sin(φ+ ψ)+ ψ²*cos(θ+ ψ)+ θ_i²]/ cos (θ+φ); [8]

Используя формулы [1]÷[8] вычисляем текущие параметры, а с помощью формул [9] находим последующие параметры:

φ_i+1=φ_i+φ_i*∆t+φ_i*∆t²/2; φ_i+1=φ_i+0,2*φ_i+0,02*φ_i;

ψ_i+1=ψ_i+ψ_i*∆t+ψ_i*∆t²/2; ψ_i+1=ψ_i+0,2*ψ_i+0,02*ψ_i; [9]

θ_i+1=θ_i+θ_i*∆t+θ_i*∆t²/2; θ_i+1=θ_i+0,2*θ_i+0,02*θ_i;

S_i+1=S_i+S_i*∆t+S_i*∆t²/2; S_i+1=S_i+0,2*S_i+0,02*S_i;

где ∆t=0,2 c.

Полученные результаты заносим в сводную таблицу.

t, c	φ			ψ			θ			S
	φ, рад	φ, с-1	φ, с-2	ψ, рад	ψ, с-1	ψ, с-2	θ, рад	θ, с-1	θ, с-2	S, м	S, м*с-1	S, м*с-2
0	1,0440	0,0732	-0,0479	0,2610	-0,1020	-0,0281	1,3061	-0,2480	0,1233	0,5657	-0,0988	0,0947
0,2	1,0577	0,0654	-0,0363	0,2411	-0,0995	-0,0115	1,2589	-0,2318	0,0833	0,5478	-0,0970	0,0758
0,4	1,0700			0,2214			1,2136			0,5299

Параметры для t=0,4;0,6;0,8;1,0 (с) находим по алгоритму для t=0 и t=0,2 (c), приведенному ниже.

t=0: sin ψ₀=0,2588; sin φ₀=0,866; sin (φ₀-ψ₀)=0,7071;

cos (φ₀-ψ₀)=0,7071;

[1] φ₀=0,2*0,2588/0,7071=0,0732; φ₀²=0,0053;

[2] ψ₀=-[0,0833*0,866/0,7071]=-0,1020; ψ₀²=0,0104;

[3] φ₀=-[2,4*0,0104+0,0053*0,7071/0,7071]=-0,0479;

[4] ψ₀=0,4167*0,0053+0,01040*0,7071/0,7071=0,0281;

[9] φ₁=1,0440+0,0146-0,0009=1,0577 (60⁰37’); φ₁-ψ₁=46⁰49’

ψ₁=0,2610-0,0204+0,005=0,2411 (13⁰48’); sin (φ₁-ψ₁)=0,7292;

cos (φ₁-ψ₁)=0,6843;

θ₀²=0,0615;

θ₀+φ₀=135⁰04’: sin (θ₀+φ₀)=0,7062;

cos (θ₀+φ₀)=-0,7079;

θ₀+φ₀=90⁰04’: sin (θ₀+ ψ ₀)=1.0;

cos (θ₀+ ψ ₀)=-0,0012;

 [5] θ₀=-0,1290*0,5736-1,25*0,9178*0,2034/0,0.7079=-2480;

[6] S₀=-0,8*0,1290*0,9397-0,9178*0,2034*0,7660/0,7079=-0,0988;

[7] θ₀=-0,0496*0,5736-0,0266*0,8192-2,5*0,0802*0,2034-1,25*0,9178*0,0559+0,0772*

*0,8192/0,7079=0,1233;

[8] S₀=-0,8*(-0,0496*0,9397-0,0166*0,3420+0,0772)-2*0,0802*0,8192*0,2034+0,9178*

*(-0,0559*0,8192-0,0414*0,5736)/0,7079=0,0947;

[9] θ₁=1,3061-0,0496+0,0024=1,2589 (72⁰10’);

S₁=0,5657-0,0197+0,0018=0,5478м;

θ₁+ψ₁=85⁰58’; θ₁+φ₁=132⁰47’;

sin (θ₁+ψ₁)=0,9976; sin (θ₁+φ₁)=0,7339;

cos (θ₁+ψ₁)=0,0704; cos (θ₁+φ₁)=-0,6792;

t=0,2 c: sin ψ₁=0,2386; sin φ₁=0,8714; sin (φ₁-ψ₁)=0,7292;

cos (φ₁-ψ₁)=0,6843;

[1] φ₁=0,25*0,3832/0,8076=0,0654; φ₁²=0,0042;

[2] ψ₁=-0,3333*0,52/0,8076=-0,0995; ψ₁²=0,099;

[3] φ₁=-0,0141*0,5896+0,75*0,0461/0,8076=-0,0363;

[4] ψ₁=-0,0461*0,5896+1,3333*0,0141/0,8076=0,0115;

[9] φ₂=1,0577+0,0130-0,0007=1,0700 (61⁰20’); φ₂-ψ₂=48⁰39’;

ψ₂=0,3932-0,0429-0,0011=0,2214(12⁰41’);

S₁=0,5478 м; sin (θ+ψ₁)=0,9976; sin (θ+φ₁)=0,7339;

cos (θ₁+ψ-₁)=0,0704; cos (θ₁+φ₁)=-0,6792;

[5] θ₁=0,1186*0,5896+1,25*0,9363*(-0,2146)/-0,6792=-0,2318; θ₁²=0,0537;

[6] S₁=0,8*0,1186*0,9508-0,9363*0,2146*0,7118/-0,6792=-0,0970;

[7] θ₁=-0,0531*0,5896-0,0146*0,8076-2,5*0,0902*0,2146-1,25*0,9363*0,057+0,096*

*0,8109/-0,6792=0,0833;

[8] S₁=-0,8*(-0,0531*0,9508-0,0141*0,3098+0,0960)-2*0,0902*0,2146*0,8109+0,9363*

*(-0,057*0,8109-0,0461*0,5852)/-0,6792=0,0758;

[9] θ₂=1,2589-0,0463+0,0016=1,2136 (69⁰33’);

S₂=0,5478-0,0194+0,0015=0,5299 м;

θ₂+ψ₂=127⁰01’;  θ₂+φ₂=157⁰42’;

sin (θ₂+ψ₂)=0,6533; sin (θ₂+φ₂)=0,1684;

cos (θ₂+ψ₂)=-0,1568;  cos (θ₂+φ₂)=-0,3875;