Ошибки измерений. Статистическая обработка полученных результатов

3. Ошибки измерений. Статистическая обработка полученных результатов

Как известно при проведении измерений физических величин всегда имеют место ошибки измерений, обусловленные самыми различными факторами. Поэтому всегда необходимо проводить статистическую обработку результатов измерений, по результатам которой можно оценить точность измерений и надёжность полученных результатов.

Мы рассчитывали следующие величины:

а) Среднее арифметическое всех определённых характеристик

, (7)

где n – число измерений (полученных характеристик).

б) Средняя квадратическая ошибка

. (8)

в) Коэффициент вариации (относительная величина средней квадратической ошибки в %).

(9)

г) Доверительные интервалы , в которые укладываются полученные результаты испытаний с заданной вероятностью , по формуле

, (10)

г

3

де - коэффициент Стьюдента, который берётся из таблицы и зависит от и n.

После расчета доверительного интервала для каждой характеристики мы можем сказать, что результат измерений данной характеристики отличается от её истинного значения на величину, не большую, чем , с вероятностью . Математически это записывается так:

. (11)

Результаты статистической обработки определённых механических характеристик по формулам (6) – (8) приведены в таблице на рис. 4.

4. Анализ полученных результатов. Поиск зависимостей между характеристиками материалов

Для облегчения анализа результатов, мы нанесли средние значения определённых характеристик на полярную диаграмму (рис. 5).

Рис. 5. Полярная диаграмма механических свойств. - ст. 3 ст. 50Г - ст. 45

На полярную диаграмму мы не нанесли предел текучести , поскольку физический предел текучести был обнаружен только у малоуглеродистой стали ст. 3.

На полярной диаграмме хорошо видны известные качественные соотношения между статическими характеристиками прочности и пластичности, с одной стороны, и между статическими и динамическими характеристиками, с другой стороны, а именно: чем больше (прочностная характеристика) тем меньше характеристики пластичности и , а также динамическая характеристики а_уд . Мы проверили некоторые известные зависимости между характеристиками материалов и попытались установить новые.

4.1.Связь и .

Известно, что для сталей

(12)

5

В общем виде:

. (13)

Мы определили коэффициент k для ст. 3:

, (14)

Далее мы рассчитали среднеквадратическую ошибку S_k для коэффициента k.

Известно, что если , то

. (15)

На основании формулы (15)

. (16)

Задавшись доверительной вероятностью по формуле (10) мы рассчитали

. (17)

В соответствии с формулой (10) мы можем сказать, что с доверительной вероятностью

(18)

4.2 Связь .

Поскольку по сути является площадью диаграммы , вполне логично записать связь между этими величинами в виде:

(19)

или

По формуле (19) мы рассчитали k₁ для испытанных марок сталей:

для ст. 3: ,

для ст. 50Г ,

для ст. 45: .

Относительные расхождения между этими коэффициентами

6

Мы рассчитали погрешность коэффициента k₁ для ст. 50Г:

По формуле (15)

Коэффициент вариации

.

При , .

Таким образом,

Связь между (характеристика статической прочности) и а_уд (динамическая характеристика)

Эту связь устанавливаем в виде

(20)

для ст. 3: ,

для ст. 50Г: .

Как видим, коэффициент k₂ очень стабильный.

4.4 Связь между .

На наш взгляд, чем большее количество характеристик связывается единой зависимостью на основе подмеченных закономерностей, эти связи более устойчивы, т. е. их можно использовать для более широкого круга материалов.

Анализируя полярную диаграмму полученных характеристик для трёх марок стали, мы выразили такую связь в виде формулы

. (21)

Коэффициент 0,43 мы подобрали расчётом на ЭВМ.

7

Для ст. 3: ,

Для ст. 50Г: ,

Для ст. 45: .

Максимальное относительное расхождение между этими коэффициентами

5. Выводы

Таким образом, мы испытали 16 образцов из 3 марок стали (как потом оказалось) на растяжение и ударную вязкость. Рассчитали соответствующие механические характеристики () и проанализировали графически, аналитически и числено связь между этими характеристиками.

Мы подтвердили некоторые известные связи (между ; между ), уточнив при этом значения связывающих коэффициентов для испытанных марок сталей и оценили погрешность расчета этих коэффициентов по соответствующим формулам теории вероятности.

Мы также установили новые связи между рассчитанными характеристиками (между ; между ) и оценили возможный разброс результатов при использовании этих формул. Эти связи качественно обусловлены физическими свойствами материалов и подтверждены нами количественно.

Знание этих зависимостей даёт возможность уменьшать объём испытаний новых материалов, сэкономив тем самым время и ресурсы.

С

8

8

ледует заметить, что объём проведённых нами испытаний относительно невелик, поэтому полученные результаты следует рассматривать как предварительные, которые можно развивать и уточнять, увеличивая количество образцов и диапазон материалов.

Используемая литература: “Сопротивление материалов” автор: Феодосьев В. И. , “Сопротивление материалов” автор: Писаренко Г.