Общая теория статистики

Задание 1.

С целью выявления зависимости между экономическими показателями провести группировку 50 ремонтных предприятий железнодорожного транспорта (см. Таб. 1) с равными интервалами, выделив 5 групп.

Исходные данные:

Таб. 1

№	Группировоч-ный признак	Результатив-ный признак				№		Группировоч-ный признак		Результатив-ный признак
	число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут	чистая прибыль предприятия, млн.руб.						число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут		чистая прибыль предприятия, млн.руб.
51	8		130				76		10		134
52	11		148				77		6		136
53	36		155				78		7		133
54	2		124				79		1		127
55	2		125				80		7		128
56	29		135				81		1		118
57	14		126				82		5		124
58	14		136				83		15		137
59	8		124				84		6		110
60	8		128				85		17		139
61	5		110				86		8		148
62	8		150				87		1		123
63	1		110				88		10		138
64	6		122				89		21		189
65	18		140				90		11		139
66	4		110				91		2		122
67	9		139				92		2		124
68	2		121				93		1		113
69	1		111				94		8		117
70	5		132				95		6		126
71	1		129				96		3		130
72	7		139				97		3		112
73	9		148				98		2		133
74	25		144				99		25		195
75	16		146				100		5		176

Решение задачи:

Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину (шаг) интервала группировки по формуле:

k = 5 , число групп в группировке (из условия)

Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение группировочного

признака

l – величина (шаг) интервала группировки.

Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы:

Номер группы	Граница нижняя	Граница нижняя
1	1.0	8.0
2	8.0	15.0
2	15.0	22.0
4	22.0	29.0
5	29.0	36.0

Составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал:

Группы предпри-ятий по кол-ву вагонов нахощящ. на ремонте, шт/сут	Номер предприятия		Число вагонов, находящихся в ремонте, шт/сут	Чистая прибыль предприятия, млн.руб.
1	2	3		4
1.0 - 8.0	51 54 55 59 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 77 78 79 80 81 82 84 86 87 91 92 93 94 95 96 97 98 100	8 2 2 8 6 5 8 1 6 4 2 1 5 1 7 6 7 1 7 1 5 6 8 1 2 2 1 8 6 3 3 2 5		130 124 125 124 128 110 150 110 122 110 121 111 132 129 139 136 133 127 128 118 124 110 148 123 122 124 113 117 126 130 112 133 176
ИТОГО :	33	140		4165
8.0 - 15.0	52 57 58 67 73 76 83 88 90	11 14 14 9 9 10 15 10 11		148 126 136 139 148 134 137 138 139
ИТОГО :	9	103		1245
15.0 - 22.0	65 75 85 89	18 16 17 21		140 146 139 189
ИТОГО :	4	72		614
22.0 - 29.0	56 74 99	29 25 25		135 144 195
ИТОГО :	3	79		474
29.0 - 36.0	53	36		155
ИТОГО :	1	36		155

Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом вагонов находящихся на ремонте и чистой прибылью :

Табл. 2

Группы предпр. по кол-ву вагонов поступающих в ремонт	Число предпри-ятий	Число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут		Чистая прибыль, млн.руб
		Всего по группе	в среднем на одно предприятие	Всего по группе	в среднем на одно предприятие
1.0 - 8.0	33	140	4,2	4165	126,2
8.0 - 15.0	9	103	11,4	1245	138,3
15.0 - 22.0	4	72	18,0	614	153,5
22.0 - 29.0	3	79	26,3	474	158,0
29.0 - 36.0	1	36	36,0	155	155,0

Исследовав показатели работы 50-ти предприятий железнодорожного транспорта, можно сказать, что чистая прибыль предприятия находится в прямой зависимости от числа вагонов находящихся в ремонте.

Задание 2.

Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку на основании исходных данных и по аналитической группировке согласно своего варианта из задания 1. Объяснить (если есть) расхождения в значениях полученных коэффициентов.

Решение:

Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле:

где: G – среднее квадратическое отклонение;

x - средняя величина

1)

n – объем (или численность) совокупности,

х - варианта или значение признака (для интервального ряда принимается

среднее значение)

Рассчитаем показатели вариации для примера, рассмотренного в задании 1. Расчет проводится по группировочному признаку. Во-первых, рассчитаем все показатели по исх. данным (см. табл. 1):

2) Среднее кв. отклонение рассчитываем по формуле:

вернемся к форм. ( 1 )

3) Теперь рассчитаем коэффициент вариации по аналитической таблице (см. табл. 2)

Рассчитаем серединные значения интервалов:

4,5 11,5 18.5 25,5 32,5

1 8 15 22 29 36

, где

f - частота, т.е. число, которое показывает, сколько встречается каждая

варианта:

ваг.

Расчет среднего квадратического отклонения по аналитической группировке:

Вывод: в обоих случаях расчета, коэффициент вариации (V) значительно больше 30 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична.

Задание 3.

Провести 20 % механическую выборку из генеральной совокупности, представленной в таблице (использовать все 100 предприятий), по показателю, который является результативным признаком в аналитической группировке задания 1 в соответствии с вариантом. С вероятностью 0,997 рассчитать границы изменения средней величины в генеральной совокупности. Рассчитать среднюю данного признака по генеральной совокупности (по табл.) и сравнить с результатом, полученным на основании расчета по выборочной совокупности. Начало отбора начинать с номера предприятия совпадающего с номером варианта (8).

1) Табл.

Номер предприятия	Чистая прибыль предпр., млн.руб.		Номер предприятия	Чистая прибыль предпр., млн.руб.
1	2		1	2
8 13 18 23 28 33 38 43 48	203 163 131 134 130 117 133 125 141		53 58 63 68 73 78 83 88 93 98	155 136 110 121 148 133 137 138 113 133

2) Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной совокупности по материалам выборки воспользуемся формулами:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Х – средняя генеральной совокупности;

Х – средняя выборочной совокупности;

предельная ошибка выборки;

t - коэффициент доверия = 0,997 (по условию);

М – средняя ошибки выборки

G2 – дисперсия исследуемого показателя;

n – объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности;

n/N – доля выборочной совокупности в объеме генеральной (или %

отбора, выраженный в коэффициенте)

Решение:

В данном варианте задания средняя чистая прибыль на одно предприятие по выборочной совокупности равна

Х=136,8 млн.руб.;

дисперсия равна = 407,46; коэф-т доверия =3, т.к. вероятность определения границ средней равна =0,997 (по усл); n/N = 0,2, т.к. процент отбора составляет 20 % (по условию). Рассчитаем среднюю ошибку по ф. (3):

Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней по ф. (2)

Т.о. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что чистая прибыль на одно предприятие в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 124,5 млн.руб. до 149,1 млн.руб., включая в себя среднюю по выборочной совокупности.

Теперь рассчитаем среднюю по генеральной совокупности (по 100 предприятиям) и сравним ее с полученной интервальной оценкой по выборке:

где а1 + а2 +. . . +а100 – сумма числа вагонов, находящихся в ремонте

(штук в сутки) на 1, 2, 3 . . .,100 предприятиях.

Вывод: Сравнивая среднюю генеральную совокупность равную 140,27 с интервальной оценкой по выборке 124,5 < x < 149,1 делаем выбор, что интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.

Задание 4.

По данным своего варианта (8) рассчитайте:

Индивидуальные и общий индекс цен; Индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота; Общий индекс товарооборота; Экономию или перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным

Исх. данные:

Вид товара	БАЗИСНЫЙ ПЕРИОД ("0")		ОТЧЕТНЫЙ ПЕРИОД ("1")
	Цена за 1 кг, тыс.руб	Продано, тонн	Цена за 1 кг, тыс.руб	Продано, тонн
1	2	3	4	5
А	4,50	500	4,90	530
Б	2,00	200	2,10	195
В	1,08	20	1,00	110

Решение:

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов); включает 2 вида:

Отчетные, оцениваемые данные ("1") Базисные, используемые в качестве базы сравнения ("0") Найдем индивидуальные индексы по формулам:

(где: р, q – цена, объем соответственно; р1, р0 - цена отчетного, базисного периодов соответственно; q1, q2 - объем отчетного, базисного периодов соответственно)

для величины (цены) по каждому виду товара

для величины q (объема) по каждому виду товаров:

Найдем общие индексы по формулам:

представляет собой среднее значение индивидуальных индексов (цены, объема), где j – номер товара.

Общий индекс товарооборота равен:

Найдем абсолютное изменение показателя (экономии или перерасхода):

получаем:

Вывод: наблюдается перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, в среднем на 5,54%.

Задание 5.

Определить, как изменяться цены на товары, если их стоимость в среднем увеличится на 3,2 %, а физический объем реализации в среднем не изменится.

Решение:

Для базисного периода для цен характерен следующий индекс:

Для отчетного периода известно увеличение стоимости на 3,2 %, т.е.:

Вывод: из полученного видно, что цены на товары в следствие увеличения их стоимости на 3,2% соответственно возрастут на 3,2%.

Задание 6.

Рассчитать коэффициент корреляции по исходным данным своего варианта, используя задание 1.

Решение:

Коэффициент корреляции оценивает тесноту связи между несколькими признаками. В данном случае требуется оценить связь между двумя признаками. Поэтому необходимо рассчитать парный коэффициент корреляции. Воспользуемся следующими формулами:

 

где:

- индивидуальные значения факторного и результативного

признаков;

- средние значения признаков;

- средняя из произведений индивидуальных значений признаков;

- средние квадратические отклонения признаков

Коэффициент рассчитаем по исходным данным варианта (50 предприятий), которые представлены в табл. 1

     

Расчет средней из произведений проведем в таблице M, заполняя данные о факторном и результативном признаке из таблицы № 1:

№		Группир. признак	Результат признак	X x Y		№	Группир. признак	Результат признак	XxY
		число вагонов, шт/сут	чистая прибыль, млн.руб.				число вагонов, шт/сут	чистая прибыль, млн.руб.
51	8		130	1040		76	10	134	1340
52	11		148	1628		77	6	136	816
53	36		155	5580		78	7	133	931
54	2		124	248		79	1	127	127
55	2		125	250		80	7	128	896
56	29		135	3915		81	1	118	118
57	14		126	1764		82	5	124	620
58	14		136	1904		83	15	137	2055
59	8		124	992		84	6	110	660
60	8		128	1024		85	17	139	2363
61	5		110	550		86	8	148	1184
62	8		150	1200		87	1	123	123
63	1		110	110		88	10	138	1380
64	6		122	732		89	21	189	3969
65	18		140	2520		90	11	139	1529
66	4		110	440		91	2	122	244
67	9		139	1251		92	2	124	248
68	2		121	242		93	1	113	113
69	1		111	111		94	8	117	936
70	5		132	660		95	6	126	756
71	1		129	129		96	3	130	390
72	7		139	973		97	3	112	336
73	9		148	1332		98	2	133	266
74	25		144	3600		99	25	195	4875
75	16		146	2336		100	5	176	880
61686

Расчет коэффициента корреляции проведем по первой из предложенных в начале решения двух формул:

Вывод: т.к. полученный коэффициент корреляции больше значения 0,8, то можно сделать вывод о том, что теснота связи между исследуемыми признаками достаточно тесная.

Задание 7.

По данным своего варианта (см. табл. N) рассчитать индексы сезонности, построить график сезонности и сделать выводы.

Исх. данные:

Табл. N

Месяц	Годы			Итого за 3 года	В сред-нем за месяц	Индексы сезон-ности, %
	1991	1992	1993
1	2	3	4	5	6	7
Январь	4600	2831	3232	10663	3554	90,3
Февраль	4366	3265	3061	10692	3564	90,6
Март	6003	3501	3532	13036	4345	110,5
Апрель	5102	2886	3350	11338	3779	96,1
Май	4595	3054	3652	11301	3767	95,8
Июнь	6058	3287	3332	12677	4226	107,4
Июль	5588	3744	3383	12715	4238	107,8
Август	4869	4431	3343	12643	4214	107,1
Сентябрь	4065	3886	3116	11067	3689	93,8
Октябрь	4312	3725	3114	11151	3717	94,5
Ноябрь	5161	3582	2807	11550	3850	97,0
Декабрь	6153	3598	3000	12751	4250	108,0
В среднем	5073	3482	3244		3953	100,0

Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики. Они характеризуются индексами сезонности, совокупность которых на графике образует сезонную волну.

Воспользуемся следующей формулой расчета индексов сезонности:

Vt - фактические (средние) данные по месяцам (среднемесячный

результат, вычисленный за 3 года по одноименным месяцам);

Vo - общая или постоянная средняя (среднемесячный уровень по

36-ти месяцам)

Теперь на основании полученных индексов сезонности (ст. 7 табл. N) построим график сезонности:

Вывод: Сезонность имела три волны подъема количества отправленных вагонов с одной станции:

главный – в марте м-це второй (слабее) – в июне-июле м-цах третий (слабее) - в декабре м-це.

Уменьшение наблюдается:

в начале года (январь-февраль м-цы) во второй половине весны (апрель-май м-цы) осенью (сентябрь-ноябрь м-цы) Литература: Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. – М.: Статистика, 1971. Елисеева И.И. моя профессия – статистик. – М.: Финансы и статистика, 1992. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1996. Кривенкова Л.Н., Юзбашев М.М. Область существования показателей вариации и ее применение // Вестник статистики. – 1991. - №6. – С.66-70