Выборочная ковариация

Министерство Образования Российской Федерации

Алтайский Государственный Университет

Экономический Факультет Заочное отделение Кафедра «Информационные системы в экономике»

Контрольная работа по предмету:

«Эконометрика»

Выполнил студент

3 курса 211 группы

Неклюдов А.А.

Барнаул 2003 г.

Выборочная ковариация

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие может быть продемонстрировано на простом примере. Просматривая табличные данные, помещенные в приложении книги: «Введение в эконометрику», Кристофера Доугерти можно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос на бензин в США устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затем последовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением в целом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. (Реальная цена вычисляется путем деления индекса номинальной цены на бензин, на общий индекс потребительских цен и умножением результата на 100, из таблицы дефляторов цен для личных потребительских расходов(1972 = 100%)). Индексы из таблицы дефляторов основаны на данных 1972 г.; таким образом, индекс реальной цены в таблице 1.1 показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.

Таблица 1.1

Потребительские расходы на бензин и его реальная цена в США
Год	Расходы (млрд. долл., цены 1972 г.)	Индекс реальных цен (1972=100)
1973	26,2	103,5
1974	24,8	127,0
1975	25,6	126,0
1976	26,8	124,8
1977	27,7	124,7
1978	28,3	121,6
1979	27,4	179,7
1980	25,1	188,8
1981	25,2	193,6
1982	25,6	173,9

Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единичным числом. Для его вычисления сначала необходимо найти средние значения цены и спроса на бензин. Обозначив цену через p и спрос – через y, находим средние значения p и y, затем для каждого вычисляем отклонение величин p и y от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (Таблица 1.2).

Таблица 1.2
Наблюдение	Цена p	Спрос y	_ (p-p)	_ (y-y)	_ _ (p-p)(y-y)
1973	103,5	26,2	-39,86	-0,07	2,79
1974	127,0	24,8	-16,36	-1,47	24,05
1975	126,0	25,6	-17,36	-0,67	11,63
1976	124,8	26,8	-18,56	0,53	-9,84
1977	124,7	27,7	-18,66	1,43	-26,68
1978	121,6	28,3	-21,76	2,03	-44,17
1979	149,7	27,4	6,34	1,13	7,16
1980	188,8	25,1	45,44	-1,17	-53,16
1981	193,6	25,2	50,24	-1,07	-53,76
1982	173,9	25,6	30,54	-0,67	-20,46
Сумма:	1433,6	262,7			-162,44
Среднее:	143,36	26,27			-16,24

Итак, при наличии n наблюдений двух переменных (x и y) выборочная ковариация задается формулой:

Cov(x,y) = 1/n*S(x_i-x)(y_i-y) = 1/n{(x_i-x)(y_i-y)+…+(x_n-x)(y_n-y)}

Следует отметить, что в данном примере ковариация отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь в данном примере выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь – положительной ковариацией.

Так, например, в наблюдении за 1979 г. (p-p_средн.) = 6,34, (y-y_средн.) = 1,13, а поэтому и их произведение положительно и равно 7,16, в этом наблюдении значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений следовательно, наблюдение дает положительный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1978 г. реальная цена ниже средней, а спрос выше среднего, поэтому (p-p_средн.) отрицательно, (y-y_средн.) положительно, их произведение отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1974 г., как реальная цена, так и спрос, ниже своих средних значений, таким образом, (p-p_средн.) и (y-y_средн.) оба являются отрицательными, а их произведение положительно следовательно, наблюдение вносит положительный вклад в ковариацию.

И, наконец, в наблюдении за 1981 г. цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом (p-p_средн.) положительно, (y-y_средн.) отрицательно, поэтому (p-p_средн.)(y-y_средн.) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад.

Несколько основных правил расчета ковариации.

·             Правило 1

Если y = v+w, то Cov(x,y) = Cov(x,v)+Cov(x,w).

·             Правило 2

Если y = az, где a – константа, то Cov(x,y) = aCov(x,z)

·             Правило 3

Если y = a, где a – константа, то Cov(x,y) = 0

Демонстрация правила 1

Возьмем данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в таблице 1.3: общий годовой доход (x); расходы на питание и одежду (y); расходы на питание (v) и расходы на одежду (w). Естественно, y равняется сумме v и w. Указанную в таблице величину z рассмотрим для демонстрации правила 2.

Таблица 1.3

Семья	Доход семьи (x)	Расходы на питание и одежду (y)	Расходы на питание (v)	Расходы на одежду (w)	Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду (z)
1	3000	1100	850	250	2200
2	2500	850	700	150	1700
3	4000	1200	950	250	2400
4	6000	1600	1150	450	3200
5	3300	1000	800	200	2000
6	4500	1300	950	350	2600
Сумма:	23300	7050	5400	1650	14100
Среднее:	3883	1175	900	275	2350

В таблице 1.4 величины (x-x), (y-y), (v-v) и (w-w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (x-x_средн.)(y-y_средн.), (x-x_средн.)(v-v_средн.) и (x-x_средн.)(w-w_средн.) для каждой семьи. Cov(x,y) получается как среднее из величин (x-x_средн.)(y-y_средн.) и равняется 266250. Cov(x,v) равна 157500 и Cov(x,w) = 108750. Следовательно, Cov(x,y) является суммой Cov(x,v) и Cov(x,w).

Таблица 1.4

Семья	_ x-x	_ y-y	_ _ (x-x)(y-y)	_ (v-v)	_ _ (x-x)(v-v)	_ (w-w)	_ _ (x-x)(w-w)
1	-883	-75	66250	-50	44167	-25	22083
2	-1383	-325	449583	-200	276667	-125	172917
3	117	25	2917	50	5833	-25	-2917
4	2117	425	899583	200	529167	175	370416
5	-583	-175	102083	-100	58333	-75	43750
6	617	125	77083	50	30833	75	46250
Сумма:			1597500		945000		652500
Среднее:			266250		157500		108750

Демонстрация правила 2

В таблице 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение y. Предполагается, что значения величины x для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x,z) необходимы значения (x-x_средн.), а также (z-z_средн.)

Таблица 1.5

Семья	(x-x)	(z-z)	(x-x)(z-z)
1	-883	-150	132500
2	-1383	-650	899167
3	117	50	5833
4	2117	850	1700167
5	-583	-350	204167
6	617	250	154167
Сумма:			3195000
Среднее:			532500

Из таблицы 1.5 можно видеть, что Cov(x,z) равна 532500, что в точности равно удвоенной Cov(x,y).

Демонстрация правила 3

Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению мы решили вычислить ковариацию между общим доходом (x) и числом взрослых в семье (a). Естественно, что a₁=a₂=…=a₆=2. Таким образом, a_{средн .}= 2. Отсюда для каждой семьи (a-a_средн.) = 0 и, следовательно, (x-x_средн.)(a-a_средн.) = 0. Поэтому Cov(x,a) = 0.

Теоретическая ковариация

Если x и y – случайные величины, теоретическая ковариация s_xyопределяется как математическое ожидание произведения отклонений величин от их средних значений:

pop.cov(x,y) =_xy= E{(x)(y-_y)}

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению такая оценка ,будет иметь отрицательное смещение.

Если x и y независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку:

E{(x_x)(y_y)} = E(x_x)(y_y) = 0*0

Выборочная дисперсия.

Для выборки из n наблюдений x₁,…,x_n выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выбоке:

Var(x) = 1/nS(x-x)²

Замечание. Определеннаятаким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии s², которая определяется как:

1/(n-1)S(x-x)², является несмещенной оценкой s². Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(n-1)/n]s² и, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var(x) стремится к s².

Правила расчета дисперсии.

·      Правило 1

Если y = v+w, то Var(y) = Var(v)+Var(w)+2Cov(v,w)

·      Правило 2

Если y = az, где a является постоянной, то Var(y) = a²Var(z)

·      Правило 3

Если y = a, где a является постоянной, то Var(y) = 0

·      Правило 4

Если y = v+a, где a является постоянной, то Var(y) = Var(v)

Следует заметить, что дисперсия переменной x может рассматриваться как ковариация между двумя величинами x:

Var(x) = 1/n*(x_i-x)² = 1/n*(x_i-x)(x_i-x) = Cov(x,x)

Учитывая это равенство, можно воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобы вывести правила расчета дисперсии.

Коэффициент корреляции

Рассматривая ковариацию нельзя не отметить, что она является не особенно хорошим измерителем взаимосвязи между величинами. Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции. Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы – теоретическую и выборочную.

Для переменных x и y теоретический коэффициент корреляции определяется как:

_x,y = pop.cov(x,y) / pop.var(x)pop.var(y) = _x,y / _x²_y² var(y)

Если x и y независимы, то r равно нулю, т.к. равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует, то s_x,y, а следовательно r_x,y будут положительными. Если существует строгая положительная линейная завистмость, то r_x,y примет максимальное значение равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости r_x,y будет отрицательным с минимальным значением –1.

Выборочный коэффициент корреляции r равен:

r_x,y = (n/(n-1))Cov(x,y) / (n/(n-1))Var(x)(n/(n-1))Var(y)

Множители n/(n-1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как:

r_x,y = Cov(x,y) / Var(x)Var(y)

Подобно величине r, r принимает максимальное значение, равное единице, которая получается при строгой линейной зависимости между выборочными значениями x и y. Аналогичным образом r принимает минимальное значение –1, когда существует линейная отрицательная зависимость. Величина r = 0 показывает, что зависимость между наблюдениями x и y в выборке отсутствует. Однако, тот факт, что r = 0, необязательно означает, что, и наоборот.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции используем пример о спросе на бензин. Данные представлены в таблице 1.1.

Cov(p,y) = – 16,24 (см. табл. 1.2), поэтому теперь необходимо найти значения Var(p) и Var(y) (см. табл. 1.6 на следующей странице). В последних двух колонках таблицы 1.6 можно найти, что Var(p)=888,58 Var(y)=1,33. Следовательно:

r = –16.24 / 888,58 * 1,33 = – 16,24 / 34,38 = – 0,47

Таблица 1.6

Наблюдение	p	y	(p-p)	(y-y)2	(p-p)2	(y-y)2
1	103,5	26,2	-39,86	-0,07	1588,82	0,01
2	127,0	24,8	-16,36	-1,47	267,65	2,16
3	126,0	25,6	-17,36	-0,67	301,37	0,45
4	124,8	26,8	-18,56	0,53	344,47	0,28
5	124,7	27,7	-18,66	1,43	348,20	2,05
6	121,6	28,3	-21,76	2,03	473,50	4,12
7	149,7	27,4	6,34	1,13	40,20	1,28
8	188,8	25,1	45,44	-1,17	2064,79	1,37
9	193,6	25,2	50,24	-1,07	2524,06	1,15
10	173,9	25,6	30,54	-0,67	932,69	0,45
Сумма:	1433,6	262,7			8885,75	13,30
Среднее:	143,36	26,27			888,58	1,33

Почему ковариация не является хорошей мерой связи?

Коэффициент корреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация. Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные x и y, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная.

Возвращаясь к примеру со спросом на бензин, если при вычислении индекса реальных цен в качестве базового года взять 1980 г. вместо 1972 г., то в этом случае ковариация изменится, а коэффициент корреляции – нет.

При использовании 1972 г. вкачестве базового года индекс реальных цен для 1980 г. составил 188,8. Если теперь принять этот индекс за 100 для 1980 г., то нужно пересчитать ряды путем умножения на коэффициент 100/188,8 = 0,53. Новые ряды представлены во второй колонке таблицы 1.7 и будут обозначены через P. Величина P численно меньше, чем p.

Так как отдельное наблюдение ряда цен было пересчитано с коэффициентом 0,53 то отсюда следует, что и среднее значение за выборочный период (P_средн.) пересчитывается с этим коэффициентом. Следовательно, в году t:

P_t– P = 0,53p_t – 0,53p = 0,53(p_t – p)

Это означает, что в году t:

(P – P)(y – y) = 0,53(p – p)(y – y),

и, следовательно, Cov(P,y) = 0,53Cov(p,y). Однако на коэффициент корреляции это изменение не повлияет. Коэффициент корреляции для P и y будет равен:

r_p,y = Cov(P,y) / Var(P)Var(y)

Таблица 1.7

Наблюдение	P	y	P-P	y-y	(P-P)2	(y-y)2	(P-P)(y-y)
1973	54,82	26,2	-21,11	-0,07	445,73	0,01	1,48
1974	67,27	24,8	-8,67	-1,47	75,09	2,16	12,74
1975	66,74	25,6	-9,20	-0,67	84,55	0,45	6,16
1976	66,10	26,8	-9,38	0,53	96,64	0,28	-5,21
1977	66,05	27,7	-9,88	1,43	97,68	2,05	-14,13
1978	64,41	28,3	-11,53	2,03	132,84	4,12	-23,40
1979	79,29	27,4	3,36	1,13	11,28	1,28	3,80
1980	100,00	25,1	24,07	-1,17	579,26	1,37	-28,16
1981	102,54	25,2	26,61	-1,07	708,10	1,15	-28,47
1982	92,11	25,6	16,18	-0,67	261,66	0,45	-10,84
Сумма:	759,32	262,7			2492,28	13,30	-86,04
Среднее:	75,93	26,27			249,23	1,33	-8,60