Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г.ШУХОВА

Кафедра Экономики и Организации производства

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Студентка: гр.ЭКд-21В

Н.В. Гребенникова

Руководитель: к.т.н., доц.

О.В.Доможирова

Белгород 2009

ЧАСТЬ 1

Постановка задачи

Для производства двух видов продукции А и Б используются три типа ресурсов. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого вида, цена единицы продукции каждого вида, а также запасы ресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Типы ресурсов	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции		Запасы ресурсов
	А	Б
Электроэнергия	1	7	24
Сырье	2	2	24
Оборудование	9	2	16
Цена ед. продукции	15	20
Прибыль ед продукц	3	9

 

Требуется:

I.  Cформулировать экономико-математическую модель задачи в виде ОЗЛП.

II.        Привести ОЗЛП к канонической форме.

III.       Сформулировать экономико-математическую модель задачи двойственной к исходной.

IV.      Построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом.

V.        Решить задачу с помощью симплекс-таблиц.

Решение:

I. Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом

а) целевая функция

б) ограничения:

в) условия неотрицательности переменных х₁≥0 ; х₂≥0.

II. Приведем ОЗЛП к канонической форме. Для этого введем дополнительные переменные x₃, x₄ и x_5.

а) целевая функция

б) ограничения:

в) условия неотрицательности переменных

III. Сформулируем экономико-математическую модель задачи двойственную к исходной. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ – транспонированная матрица В – имеют следующий вид:

	1	7	24			1	2	9	3
B=	2	2	24		B’=	7	2	2	9
	9	2	16			24	24	16	Zmin
	3	9	Fmax

В двойственной задаче нужно найти минимум функции

Z = 24y₁ + 24y₂ +16y₃, при ограничениях

Систему ограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:

Компоненты у₁, у₂, у₃ оптимального решения двойственной задачи оценивают добавочные переменные х₃, х₄, х₅ прямой задачи.

1) х1+7х2≥24 (0;3,43) (24;0)

2) 2х1+2х2≥24 (0;12) (12;0)

3) 9х1+2х2≥16 (0:8) (1,78;0)

 

Однако нам необходимо найти такую точку, в которой достигался бы max целевой функции.

Оптимальную производственную программу можно найти двумя способами:

1)         путем перебора его вершин

Находим координаты вершин многоугольника ABCDE и подставляя в целевую функцию находим ее значение.

А: А (0; 0) Z(A) =3×0+9×0=0

В: В (0; 3,43) Z(B) = 3×0+9×3,43=30,87

D: D (1,78; 0) Z(B) = 3×1,78+9×8=5,38

С: – это пересечение первого и второго уравнений

;;216 -63x₂+2x₂=16; x₂=1,04.

С (1,04; 3,28) Z(C) = 3×1,04+9×3,28=32,64

Находим max значение целевой функции. Оно находится в точке

С (1,04; 3,28). Таким образом max прибыль составит 32,68у.д.е. при выпуске продукта Р в количестве 1,04 у.е. и R – 3,28 у.е.

2)         геометрическим способом

Целевая функция геометрически изображается с помощью прямой уровня, т.е. прямой на которой Z=3X₁+9X₂ – принимает постоянное значение.

Если С – произвольная const, то уравнение прямой имеет вид

3X₁+9X₂=С

При изменении const С получаем различные прямые, параллельные друг другу. При увеличении С прямая уровня перемещается в направлении наискорейшего возрастания функции Z, т.е. в направлении ее градиента. Вектор градиента

Точкой min Z будет точка первого касания линии уровня с допустимым многоугольником. Точкой max – точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. Эти точки чаще всего совпадают с некоторыми вершинами допустимого многоугольника, хотя их может быть и бесчисленное множество, если линия уровня Z параллельна одной из сторон допустимого многоугольника. Это точка С (1,04; 3,28) Z=32,68 у.д.е.

Решим задачу с помощью симплекс-таблиц.

Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции P и R.

1.         Построим оптимизационную модель:

F(X)=3X₁+9X₂→max

2.         Преобразуем задачу в приведенную каноническую форму. Для этого введем дополнительные переменные X₃, X₄ и X₅.

F(X)=3X₁+9X₂→max

Построим исходную симплекс-таблицу и найдем начальное базисное решение.

Баз. пер.	Своб. член	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Х3	24	1	7	1	0	0
Х4	24	2	2	0	1	0
Х5	16	9	2	0	0	1
F	0	– 3	– 9	0	0	0

Базисное решение (0; 0; 24;24; 16). F=0.

Находим генеральный столбец и генеральную строку

. Генеральный элемент 7

Баз. пер.	Своб. член	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Х3	3,23		1	0	0	0
Х2	17,14		0	0	1	0
Х5	9,14		0	0	0	1
F	30,86		0	0	0	0

Базисное решение (0; 8; 4; 0; 10). F=40.

2,22222. Генеральный элемент 1,8.

Баз. пер.	Своб. член	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Х1	2,22	1	0	0,55	1,11	0
Х2	7,56	0	1	-0,11	1,77	0
Х5	2,74	0	0	1,82	5,63	1
F	46,65	0	0	-1,665	-13,3	0

Базисное решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74). F=46,65.

Эта таблица является последней, по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74), при котором F_max =46,65, т.е. для получения наибольшей прибыли, равной 46,65 денежных единиц, предприятие должно выпустить 2,22 единиц продукции вида P и 7,56 единиц продукции вида R, при этом ресурсы A и B будут использованы полностью, а 2,74 единиц ресурса С останутся неизрасходованными.

ЧАСТЬ 2

Постановка задачи

Исследовать зависимость между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки. Для построения модели собраны данные по исследуемым переменным на 12-ти предприятиях объединения.

Предполагая, что зависимость между переменными имеет линейный характер, анализ провести в следующей последовательности:

а) построить уравнение регрессии ;

б) построить уравнение регрессии ;

в) исследовать модели ,  и сделать соответствующие выводы;

г) построить уравнение регрессии  и выполнить исследование множественной модели в полном объеме (см.п.3.2).

Решение:

А). Строим уравнение регрессии ;