Применение численных методов для расчета свай и свайных фундаментов

1.3. Применение численных методов для расчета свай и свайных фундаментов

Теоретические методы для прогноза поведения прогноза поведения свай и свайных фундаментов развивались на основе использования решений Мелана для плоской задачи и решения Миндлина в случае пространственной задачи. Этот подход использовали в своих исследованиях Абраменко П.Г. [19], Барвашов В.А. [9], Бартоломей А.А.[10,11], Бенерджи П. и Батерфилд Р. [26] и другие.

Бартоломей А.А. [11] на основании многочисленных экспериментальных исследований предложил методику расчета осадки ленточных свайных фундаментов. Для решения задачи использована формула Горбунова-Посадова для вертикальной составляющей перемещения в случае плоской задачи при загружении основания вертикальными силами Р, приложенными на глубине Z. Формула была получена на основании фундаментального решения Е. Мелана для плоской задачи.

При решении задачи приняты следующие допущения:

1) грунт - линейно-деформируемая среда;

2) сваи и грунт в межсвайном пространстве рассматриваются как единый массив;

 3) нагрузка от сваи на грунт передается через боковую поверхность сваи и массивы грунта и в плоскости нижних концов свай;

4) граница активной зоны находится на глубине, где напряжения от внешней нагрузки не вызывают остаточных деформаций грунта.

 Условно принято, что граница определяется структурной прочностью грунта. Следует отметить, что закономерности передачи нагрузки сваями на основание через боковую поверхность и в плоскости острия сваи описываются некоторыми функциями, т. е. задача решена не в замкнутом виде.

Проблема прогноза поведения свайного фундамента при загружении вертикальной нагрузкой является сложной, т. к. включает учет изменения свойства основания при погружении сваи, особенности напряженного состояния окружающего грунта, распределение усилий в каждой свае по боковой поверхности и под острием, распределение усилий между сваями фундамента в зависимости от уровня загружения фундамента. Решить проблему расчета свайных фундаментов с учетом новых экспериментальных данных возможно, если использовать хорошо развитые численные методы, реализовав их на ЭВМ.

В настоящее время наиболее широкое распространение получили такие численные методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), а также различные их модификации, включая комбинированные, то соединяющие в различном объеме выше перечисленные пути решения одной задачи, но для различных областей исследуемой среды.

Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены при помощи одного из двух подходов:

- при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми алгебраическими соотношениями (конечно-разностными соотношениями), действующих в узлах рассматриваемой области. Этот подход получил название метода конечных разностей;

- при помощи представления самой области элементами среды, которые имеют конечные размеры и в совокупности аппроксимируют реальную среду. Этот подход получил название метода конечных элементов.

Метод конечных разностей получил широкое распространение благодаря тому, что его, в принципе, можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но учет граничных условий задачи очень часто является громоздкой и трудно программируемой задачей. Точность численного решения зависит от количества узлов, которые образуют сеточную область. Поэтому приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений довольно высокого порядка.

При использовании метода конечных элементов тело разбивается на элементы конечных размеров; чем больше элементы, тем меньше число уравнений. Реакция каждого элемента на внешние и внутренние воздействия приближенно отражает реакции малой области тела, которую элемент представляет. Условие непрерывности между элементами налагается обычно в узлах, а не на всем протяжении границ раздела.

 Метод конечных элементов получил широкое распространение в решении очень широкого круга задач науки и техники благодаря его эффективности и возможности сравнительно просто учесть реальные граничные условия. Слабой стороной метода конечных элементов является то, что он представляет схему дискретизации всего тела, а это ведет к большому количеству конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с удаленными границами.

Сущность метода граничных элементов в преобразовании дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. Такая операция дает возможность получить систему уравнений, включающую значения переменных, относящихся к границе области. Это приводит к тому, что впоследствии выполняемая дискретизация относится к поверхности, ограничивающей исследуемую область. При использовании МГЭ в любой однородной области требуется дискретизировать только поверхность, а не всю область, и область становится одним большим сложным "элементом" в смысле метода конечных элементов.

Метод граничных элементов нашел применение в задачах связанных с теорией потенциала, теорией упругости, пластичности, вязкопластичности, вопросах теории теплопроводности, а также в расчетах изгибов тонких упругих пластин, колебаний деформируемых тел, распространения волн в средах, динамики жидкости.

Метод граничных элементов также может быть использован в сочетании с другими численными методами, такими как методы конечных элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, потому, что метод граничных элементов обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов быстрого изменения свойств.

Из выполненных различными авторами исследований [7, 12] следует, что время, которое затрачивается ЭВМ для решения трехмерных задач МГЭ и МКЭ при одинаковой точности обычно в четыре - десять раз меньше при использовании МГЭ. Эта разница может быть гораздо ощутимее для классов задач, при решении которых использование МГЭ особенно целесообразно:

1. Системы, границы которых частично находятся в бесконечности. Поскольку процедуре решения задачи МГЭ автоматически удовлетворяет граничным условиям на бесконечности, отсутствует потребность в дискретизации этих границ. В то время как в методе граничных элементов границы в бесконечности должны быть аппроксимированы значительным количеством удаленных элементов.

2. Системы, содержащие полубесконечные области с ненагруженными участками свободной границы. В этом случае, нет нужды дискретизировать ненагруженные области, которые как правило, составляют большую часть свободной поверхности, если использовать подходящее фундаментальное решение, например решение Буссинеска или Миндлина.

Метод конечных разностей в области оснований и фундаментов нашел применение в расчетах конструкций на упругом основании.

В работе Клепикова С.Н. [40] освещено широкое применение МКР к большому классу задач по расчету конструкций на упругом основании, включая определение коэффициента на упругом основании и свайных оснований, расчет балок на изгиб и кручение, расчет перекрестных балок, рам, балок-стенок и плит, опирающихся на упругое основание произвольной жесткости.

Опубликовано сравнительно небольшое число работ, в которых используется МКР для расчета свай и свайных фундаментов. Можно отметить работу Федоровского В.Г. [28] в которой рассмотрена задача расчета сваи на действие продольной и поперечной нагрузки и выполнены расчеты с использованием метода Тейлора и метода конечных разностей (МКР).

Автор отмечает, что выбор метода расчета определяется не только его прогнозируемой точностью, но и быстродействием, простотой, необходимым объемом памяти в ЭВМ. В связи с этим в большинстве случаев можно рекомендовать МКР в задачах, где число расчетов велико, например при расчетах свайных кустов.

В настоящее время представляется маловероятным расширение области применения МКР в расчетах свай и свайных фундаментов в связи с тем, что разработаны и другие численные методы, например метод конечных элементов и метод граничных элементов, которые дают возможность более полно отразить реальные условия совместной работы свай и их оснований.

Более широкое применение в расчетах и проектировании свайных фундаментов получил МКЭ. Приложению МКЭ в анализе свай и свайных фундаментов посвящены исследования Бойко И.П. [29], Оттавиани М. [30], Петрашевича Г. [31] и др.

Применение метода конечных элементов в области проектирования свайных фундаментов позволило выявить важные особенности их взаимодействия с грунтами основания с учетом многих факторов, определяющих совместную работу.

Однако, необходимость дискретизации пространства занимаемого сваями и окружающим грунтом приводит к образованию значительного числа конечных элементов и как следствие большой системы линейных алгебраических уравнений. В связи с этим значительно возрастают затраты машинного времени, которое имеют высокую стоимость.

Так, по данным исследований Оттавиани М. [30] на расчет одиночной сваи было затрачено менее одной минуты машинного времени, а куста из 2´2 свай - требовалось около 200 минут, а куста из 3´3 свай -250 минут машинного времени.

Кроме того, в связи с особенностями дискретизации исследуемой трехмерной области при использовании МКЭ (большое число узлов, элементов, значительный объем данных о начальном и краевых условиях задачи) требуются увеличенные затраты времени на подготовку и ввод исходных данных в ЭВМ.

 В настоящее время для анализа свайных фундаментов более конкурентоспособным является МГЭ. Так при его реализации в линейной постановке задачи требуется дискретизация только границы исследуемой области, то есть боковой поверхности сваи и плоскости подошвы ее нижнего конца.

В работах Р. Батерфилда и П.К. Бенарджи [26] рассмотрено поведение абсолютно-жестких и сжимаемых свай погруженных в однородное линейно деформируемое полупространство. Анализ поведения выполнен с использованием МГЭ. В качестве фундаментального решения использовано решение Миндлина о сосредоточенной силе приложенной внутри упругого полупространства.

Результаты исследований представлены в виде графиков, которые показывают влияние относительного заглубления сваи, отношения модуля упругости сваи к модулю сдвига грунта, влияние уширения нижнего конца сваи на перемещение одиночных свай при действии вертикальной нагрузки. Кроме того, исследовалось влияние относительно заглубления свай, расстояния между сваями и отношения модуля упругости сваи к модулю сдвига грунта полупространств на несущую способность кустов свай типичной конфигурации (2´2, 3´3 и 5 свай). Сравнение результатов своих теоретических исследований и экспериментальных исследований в полевых условиях других авторов позволило сделать вывод о том, что данные об осадке одиночной сваи можно экстраполировать на поведение группы (куста) свай.

В работе Швеца А.В. и др. [32] представлен метод определения вязкоупругого напряженно-деформированного состояния (НДС) в активной зоне биконической сваи. Рассмотрена осесимметричная задача линейной теории вязкоупругости, которая решалась методом интегральных преобразований. Отмечается, что решение упругой задачи может быть реализовано как в аналитическом виде, так и численно. В данной работе упругое решение построено методом конечных элементов. Проведены расчеты НДС в активной зоне биконической сваи. Однако, результаты расчетов и их анализ в работе не приведены.

Таким образом, анализ показывает, что численные методы, особенно МКЭ и МГЭ находят применение в исследованиях сложных явлений совместной работы свай и свайных фундаментов.

В связи с возможностью и необходимостью применения ЭВМ в расчетах оснований и фундаментов, актуальным вопросом является разработка методик использования МГЭ, который имеет значительные преимущества по сравнению с другими численными методами, особенно для областей с бесконечными границами. Учитывая, что МГЭ еще не использовался в расчетах ленточных свайных фундаментов, его применение здесь будет способствовать более полному исследованию важной в практичном отношении проблемы.

На основании анализа состояния вопроса применения коротких свай в промышленном и гражданском строительстве намечены такие задачи:

1. Разработка методики расчета бипирамидальных свай по деформациям основания с применением метода граничных элементов.

2. Анализ результатов экспериментальных данных сопротивлений бипирамидальных свай вертикальным нагрузкам.

3. Выполнение расчетов сопротивления бипирамидальных свай на ЭВМ с использованием метода граничных элементов.

4. Сравнение теоретических и экспериментальных данных сопротивления бипирамидальных свай.

Раздел 2. Применение МГЭ в расчетах сопротивления

бипирамидальных свай

2.1. Алгоритм определения сопротивления бипирамидальных свай вертикальным нагрузкам с использованием МГЭ

Алгоритм расчета свай с применением МГЭ состоит из следующих основных этапов:

- дискретизация (разбивка) поверхности фундамента в вытрамбованном котловане (боковой поверхности и нижнего конца);

- определение коэффициентов матриц влияния сил действующих на поверхности фундамента на точки (узлы) дискретизации с использованием фундаментального решения Миндлина [41];

- формирование глобальной матрицы коэффициентов влияния и свободных членов (использования граничных условий);

- решение системы линейных алгебраических уравнений т. е. боковой поверхности и в плоскости нижнего конца фундамента;

- определение сопротивления грунта на боковые поверхности и под нижним концом фундамента в вытрамбованном котловане, а так же общего сопротивления фундамента при заданной осадке.