Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Исходные данные.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Трение скольжения тела 1 и сопротивление качению тела 3 отсутствует. Массой водила пренебречь.

Массы тел - m₁, m₂, m₃, m₄; R₂, R₃, R₄ – радиусы окружностей.

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	R2, см	R3, см	s, м
m	m/10	m/20	m/10	10	12	0.05π

Найти.

Пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определит скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение.

1. Применим к механической системе теорему об изменении кинетической энергии.

,

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;  – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении из начального положения в конечное;  - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями . Так как в начальном положении система находится в покое, то T₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

.

 

2. Определим угол, на который повернётся водило, когда груз 1 пройдёт расстояние s.

.

То есть когда груз 1 пройдёт путь s, система повернётся на угол 90º.

3. Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4.

T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄.

а) Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно равна:

.

б) Кинетическая энергия катка 2, вращающегося вокруг своей оси равна:

,

где  - момент инерции катка 2,  - угловая скорость катка 2.

Отсюда получаем, что

.

в) Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоско-параллельное движение, равна:

,

где  - скорость центра масс катка 3,

-угловая скорость мгновенного центра скоростей катка 3

 

момент инерции катка 3 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

г) Кинетическая энергия катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, равна:

где  - угловая скорость мгновенного центра скоростей,

 - скорость центра масс катка 4,

 - момент инерции катка 4 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

Таким образом, кинетическая энергия всей механической системы равна:

4. Найдём работу всех внешних сил, приложенных к системе на заданном перемещении.

а) Работа силы тяжести G₁: A_G1=m₁∙g∙s=m∙980∙5=15386∙m₁.

б) Работа силы тяжести G₂: A_G2=0.

в) Работа силы тяжести G₃: A_G3=-m₃∙g∙(OA)=-0.05∙m∙980∙36=-1764∙m.

г) Работа силы тяжести G₄: A_G4=-m₄∙g∙OC=-0.1∙m∙980∙72=-7056∙m.

Таким образом, работа всех внешних сил, приложенных к системе равна:

= A_G1+A_G3+A_G4=15386∙m-1764∙m-7056∙m=6566∙m.

5. Согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравниваем значения T и .

=6566∙m;

=6566.

Отсюда скорость тела 1 равна:

= 0.31 м/с.

Результаты расчётов.

 

V1, м/c

0.31

Дано: Q=4kH, G=2kH, a=50см, b=30см.

Определить: реакции опор А, В, С.

Решение:

1) ∑F_KX=X_A+X_B-R_C∙cos30°+Q·sin45°=0;

2) ∑F_KY=Y_A=0;

3) ∑F_KZ=Z_A+Z_B+R_C·sin30°-G-Q·cos45°=0;

4) ∑M_KX=Z_B·AB-G·AB/2-Q·cos45°·AB=0;

5) ∑M_KY=G·AC/2·cos30°-R_C·AC·sin60°+Q·AC·sin75°=0;

6) ∑M_KZ=-X_B·АВ-Q·AB·cos45°=0.

Из (6) X_B=(-Q·AB·cos45°)/АВ=-4·50·0,7/50=-2,8кН

Из (5) R_C=(G·AC/2·cos30°+Q·AC·sin75°)/AC·sin60°=

=(2·30/2·0,87+4·30·0,96)/30·0,87=(26,1+115,2)/26,1=5,4кН

Из (4) Z_B=(G·AB/2+Q·cos45°·AB)/AB=(50+141,4)/50=3,8kH

Из (3) Z_A=-Z_B-R_C·sin30°+G+Q·cos45°=-3,8-2,7+2+2,8=-1,7кН

Из (1) X_A=-X_B+R_C∙cos30°-Q·sin45°=2,8+4,7-2,8=4,7кН

Результаты вычислений:

Силы, кН
RC	XA	YA	ZA	XB	ZB
5,4	4,7	0	-1,7	-2,8	3,8