Додавання гармонічних коливань

РЕФЕРАТ

на тему:”Додавання гармонічних коливань”

План

1.         Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.

2.         Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

3.         Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.

1.   Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття

Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

 (1)

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

Або

(2)

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори  і  обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз  між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

 (3)

або з урахуванням того, що  одержуємо:

Рис.1

(4)

і

(5)

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

(6)

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

 (7)

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо  де (), то ;

Якщо  де (), то .

Оскільки  може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

(8)

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами  і  (). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами  і близькими циклічними частотами  і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

(9)

(10)

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

(11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою

(12)

Вираз (12) підставимо в (11)

. (13)

або

(14)

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)

(15)

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

 (16)

де  – амплітуда биття.

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

, звідки  (17)

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

, звідки (18)

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

(19)

За час  відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

(20)

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

 (21)

звідки  а для частот

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

(22)

Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.