Додавання гармонічних коливань та затухаючі коливання

ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

ЗМІСТ

Вступ

1. Енергія гармонічних коливань

2. Додавання гармонічних коливань. Биття

3. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Висновки

НАОЧНІ ПОСІБНИКИ ТА ПРИЛАДИ

Установка для демонстрації додавання коливань.

1.  Два генератори, осцилограф.

2.  Кінофільм “Додавання коливань”.

ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ

Виразити кінетичну та потенціальну енергії системи, що здійснює вільні пружні коливання та графічно, за допомогою лектора-2000, пояснити закон коливань енергії. Вказати на закон збереження енергії, як для механічних коливань, так і для електромагнітних коливань в коливальному контурі.

Додати графічно гармонічні коливання однакового напрямку і однакової частоти. Пояснити за допомогою лектора-2000: якщо частоти мало відрізняються, одержується коливання з гармонічно пульсуючою амплітудою – биття.

Пояснити: якщо коливальна система бере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях, то траекторією її руху є фігура Ліссажу (еліпс або прямі ).

ВСТУП

Кінетична та потенціальна енергії коливальної системи змінюються з частотою, яка вдвічі перевищує частоту гармонічних коливань.

Коливальна система може брати участь в декількох коливальних процесах, тоді необхідно знайти результуюче коливання, інакше кажучи, коливання необхідно додати.

1. ЕНЕРГІЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

Під час гармонічного коливального руху кінетична енергія коливальної системи і потенціальна енергія взаємодії невпинно змінюються.

Повна енергія коливального руху:

; ,

поскільки .

Кінетична енергія змінюється за гармонічним законом, але з подвоєнною частотою.

 кількісно дорівнює роботі квазіпружньої сили ;

;

;

.

Потенціальна енергія змінюється як і кінетична енергія, з частотою  і в тиж же межах від 0 до , але зі зсувом фаз відносно кінетичної енергії на p.

Рис. 1

При електромагнітних коливаннях:

,

.

При властивих електромагнітних коливаннях, (коли немає втрат) W

-  з пливом часу не змінюється, переходить із однієї енергії в іншу.

- 

2. ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ. БИТТЯ

У випадках коли система знаходиться в декількох коливальних процесах одночасно, то необхідно знайти результуюче коливання.

Наприклад, електромагнітні хвилі, що надходять від ряду радіостанцій, збуджують в приймальному контурі електромагнітні коливання різних частот.

Таким же чином потрібно додати синусоїдні змінні струми в точці розгалудження ланцюга.

Додамо гармонічні коливання однакового напряму і однакової частоти:

,

.

Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методом вектороної діаграми.

З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами  (початкова фаза першого коливання) і  (початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд  і  (Рис.1).

При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

Рис. 1

Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти і того ж напрямку.

 - теорема косинусів

Відповідно малюнку

;

.

Проаналізуємо:

1)  

2)  

Таким чином:

.

Аналогічно - при декількох однаково спрямованих коливаннях.

Практично особливу зацікавленість представляє випадок, коли два складаємих гармонічних коливань, однаково спрямованих, мало відрізняються за частотою.

В результаті додавання одержуємо коливання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2).

Рис.2

Нехай  і ; .

Тоді ; ;

Знайдемо рівняння результуючого коливання аналітичним методом:

Результуюче коливання майже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:

.

Пунктирна лінія на рис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.

Частота змінювання модуля косинуса  - частота биття, або . Період биття .

Явище биття використовується під час настроювання струнких інструментів (коли настроювана частота і частота еталона збігається, то биття немає).

Биття використовується під час гетеродинного приймання – сигналу.

В приймач вводять генератор високої частоти, малої потужності-гетеродин, частота якого може змінюватись.

Коливання, що приймаються приймачем, складаються з коливаннями гетеродина, частота якого підбирається так, щоб в результаті одержати биття більш низької частоти, яка не змінюється (завдяки гетеродину) і наступні каскади підсилювача працюють на постійній частоті.

Гетеродини дозволяють приймати сигнали надвисокої частоти.