Всякая пропозициональная переменная — р, q, r, ... является ППФ

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r, ... является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка, выражающие любые формулы), то выражения — АВ, AВ, А→В, АВ, ˉ|А также являются ППФ.

Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т. е. как система, позволяющая получать из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозициональных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения сложных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок сложных формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы.

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение лжи при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполнимыми называют формулы, которые могут принимать значения истины или лжи в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ├), которое определяется следующим образом. Из Ai,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai, ..., Ап истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если A1,..., Аn ,├ В, то формула, представляющая собой импликацию вида (A1 ^ А2 ^ ... ^ Аn) → В, должна быть тождественно истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказывания и проверять правильность умозаключений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формы (p→q) ├ (ˉ|q→ˉ|p). Заменив знак логического следования между посылкой и заключением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокращенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рассуждении формула вида (A1 ^ ... ^ Аn) → В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Предположим, что может. Если из этого предположения получим какое-нибудь противоречие, то предположение неверно (и проверяемое рассуждение правильно), а если из этого предположения не получим противоречия, то увидим набор значений переменных, при котором формула ложна, т. е. тот набор, который опровергает проверяемое рассуждение.

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая система натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A1 – An (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих и последняя формула этой последовательности есть формула В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфавите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (Х1→(X2 →... (Xn-1→Xn))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т. е. Х1,X2, X3...,Xn-1. Если при этом удастся вывести Xn, то по непрямому правилу

собираем последовательно формулы: (Xn-1→Xn)

(при этом исключается допущение Xn-1), (Xn-2→(Xn-1→Xn)(Xn-2 исключается из числа допущений) и т. д., пока ни получим требуемое заключение

X1→(Xn-2→…(Xn-1→Xn).

Это правило построения прямого вывода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((рq)→r)├ (р→ (q├ r))

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента х„. Это правило имеет вид

и говорит о том, что если из каких-то формул (r) и допущения (А) получено противоречие (В  ˉ|В), то из этих формул следует ˉ|А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (X1→(X2→... (X n-1→X n)...), то после посылок выписываются формулы:

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока ни получим две противоречащие друг другу формулы (В и ˉ|В), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка ˉ|ˉ|Xn и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод:

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т. е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида X1→(X2→...Xn), то построчно выписывают все антецеденты от X1 до Xn-1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — ˉ|Xn как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвенного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т. е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу X n.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться только истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множества посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание (ˉ|А). Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вывести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

Задачі

 

1. Чи правильно визначені відношення між поняттями:

А - фінансист;

В - державний службовець;

С – спортсмен;

Д – студент?

Відповідь:

Поняття А, В, С і Д є порівнянні поняття, тому що спільне в них визначення особи, яка займається трудовою діяльністю, є родовою ознакою.

Із них сумісними поняттями є А і В (загальна видова ознака – наявність обов`язкової вищої освіти), С і Д (загальна видова ознака – надання права одночасно вчитись та професійно займатись спортом).

Поняття А і В несумісні з поняттям С, тому що для фінансиста заняття професійним спортом означає не заняття фінансами (прикладів суміщення в практиці не має), для державного службовця іншою професійною діяльністю (крім навчання і науково-педагогічної діяльності) заборонено законом.

Поняття А і В несумісні з поняттям Д, тому що поставлене питання розглядається в контексті однієї по кількості вищої освіти, тобто наявність вищої освіти виключає можливість навчання.

Таким чином, кола А і В не повинні пересікатись з колами С і Д.

Розглянемо сумісні поняття А і В.

В наведеному завдання між цими загальними поняттями існує відношення перехрещення, тому що їх видові ознаки не заперечують одна одну (наприклад, співробітник фінансового управління міністерства є одночасно і фінансистом, і державним службовцем).

Поняття А і В пересікаються правильно.

Розглянемо сумісні поняття С і Д.

Відношень тотожності тут не маємо, що очевидно, відношень підпорядкованості теж не маємо, тому що поняття студент розглядається по відношенню до понять А, В і С, а не окремого поняття С (наприклад, студент інституту фізичної культури).

Між цими загальними поняттями існує відношення перехрещення з тих же причин, що і між поняттями А і В.

Розглянемо несумісні поняття.

Між несумісними поняттями А і С, а також В і С існують відношення супідрядності, тому що вино входять, як було сказано вище, до одного роду – професія.

Між несумісними поняттями А і Д, а також В і Д існують відношення протилежності, тому що бути одночасно фінансистом (державним службовцем) з освітою і отримувати цю освіти неможливо.

Всі поняття (А,В,С,Д) є сумісними поняттями, враховуючи, що визначення цих понять показують відношення людини до трудової діяльності (родової ознаки).

По обсягу понять (розмір кіл Ейлера) визначено правильно.

Поняття „фінансист” більш об’ємне, ніж інші, існує в усіх галузях господарства.

Поняття „студент” повністю входить до обсягу поняття „державний службовець”, тому що по закону „Про державну службу” вища освіта обов’язкова.