Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 517.956

ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З

ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ

 

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2008

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

 

Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття інтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi $F_{\sigma\tox}^{-1}[a(t,x;\sigma)F_{x\to\sigma}]$, $\{x,\sigma\}\subset \mathbb{R}^{n}$, $t>0$, де $a$\,-- функцiя (символ), що задовольняє певнi умови, $F$, $F^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Фур'є. Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорії особливої уваги заслуговує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорією фракталiв.

Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.

У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(\sigma)$), то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часової змiнної, їх невiд'ємнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).

Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.

До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{\nu}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2\nu+1}{x}\frac{d}{dx}$, $\nu>-\frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{\nu}\varphi=-F_{B_{\nu}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{\nu}}[\varphi]]$, де $F_{B_{\nu}}$, $F_{ B_{\nu}}^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй типу $S^{\prime}$ та типу $W^{\prime}$ вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В Мартинюк.

До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором $A=F_{B_{\nu}}^{-1}[a\cdotF_{B_{\nu}}]$, де $a$\,-- однорiдний негладкий у точцi $0$ символ. Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T),\ x\in \mathbb{R}_+, \eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(\sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) є метод перетворення Бесселя, тому важливим є питання побудови теорiї такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiєю задачi Кошi для (1). Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать від властивостей символа оператора $A$\,-- функцiї $a$. Якщо позначити цей простiр через $\stackrel{o}{\Phi}$, то $$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+\, \exists c_{\alpha}>0\,:\, |D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^{-(\alpha+\gamma_0)}, \, x\in \mathbb{R}\right\}, $$ де $\gamma_0>0$\,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $\stackrel{o}{\Phi}$ є парною.

Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робіт ''Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь та рівнянь математичної фізики'' (номер держреєстрацiї 0197U014404) та ''Дослідження коректності сингулярних параболічних крайових задач, задач для псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування'' (номер держреєстрацiї 0105U002886) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.

Мета i завдання дослiдження. Метою роботи є розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Безпосереднiми основними задачами дослiдження є:

- вивчення властивостей перетворення Бесселя функцiй iз простору $\stackrel{o}{\Phi}$ та оператора узагальненого зсуву аргументу в просторi $\stackrel{o}{\Phi}$;

- дослiдження властивостей перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв;

- встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$;

- встановлення коректної розв'язностi двоточкової задачi для вказаних рiвнянь у просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$.

Наукова новизна одержаних результатiв. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертації вперше одержано такi результати: доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}{\Phi}$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$ при перетвореннi Бесселя; доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$ (тобто граничнi спiввiдношення вигляду $(T_x^{\xi+\Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac {\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$, $\Delta\xi\to 0$, справджуються у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$; $\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$, $T_x^{\xi}$\,-- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдає оператору Бесселя); знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; дослiдженi властивості перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй; досліджені властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра iз значеннями у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у певному пiдпросторi узагальнених функцiй простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, який збігається з множиною початкових значень гладких розв'язкiв вказаних рiвнянь; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)=(f*G)(t,x)$, $f\in (\stackrel{o}{\Phi}) ^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T)$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$, але граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to+0$ iснує вже в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; доведено, що розв'язок $u$ задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї, яка полягає в тому, що якщо початкова умова\,-- узагальнена функцiя $f$\,-- в деякiй областi $Q$ збiгається з неперервною функцiєю $g$, то розв'язок $u(t,x)$ вiдповiдної задачi Кошi збiгається до $g(x)$ при $t\to +0$ на довiльному компактi $\K \subset Q$ (тобто, в цьому випадку має мiсце локальне посилення збiжностi); дослiджено властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачi для еволюційного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором, встановлено коректну розв'язнiсть цiєї задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, доведено властивiсть локалiзацiї розв'язку; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв.

При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорiї задачi Кошi для сингулярних та псевдодиференцiальних параболічних рiвнянь.

Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорiї параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь, теорiї перетворення Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертації одержанi автором самостiйно. У спільних з науковим керівником працях [1,2,3,6,7,10,11] В.В. Городецькому належить постановка задач та аналіз отриманих здобувачем результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: VII Мiжнародній науковій конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 1998р.), Мiжнародній конференції імені Й.П. Шаудера (Львів, 1999 р.), Мiжнародній конференцiї "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), XIV Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвяченій 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (Львів, 2007 р.), IV Міжнародній науково-практичній конференції "Наука: теорія і практика – 2007" (Пшемисль (Польща), 2007 р.), наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2007 р.).

Публiкацiї. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 працях, з них 3 – у наукових журналах, 3 – у збірниках наукових праць і 6 – у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999 р.

Структура i обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 112 найменувань. Повний обсяг роботи становить 142 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професору Городецькому Василю Васильовичу за допомогу при написанні роботи, корисні поради та цікаві ідеї.

ЗМICТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення та апробація.

У першому розділі наведені основні результати, відомі на теперішній час стосовно задачі Коші та крайових задач для сингулярних та псевдодиференціальних параболічних рівнянь, зроблено огляд наукових праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією і з яких запозичуються методи досліджень та результати яких поширюються на більш загальні об'єкти.

У розділі 2 вивчаються властивості перетворення Бесселя функцій з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, досліджена топологічна структура простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}} =F_B[{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}]$, доведено, що операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна (нескінченно диференційовна) у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Досліджені властивості перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, згорток узагальнених функцій з основними. Знайдено умови, які характеризують клас згортувачів\,-- узагальнених функцій із простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ та мультиплікаторів.

У підрозділі 2.1 наведено означення та топологічна структура просторів $\Phi$ та ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Нехай $\gamma$\,-- фіксоване число з множини $(1; +\infty) \setminus\{2; 3; 4; \dots\}$, $\nu$\,-- фіксоване число з множини $\left\{{3}/{2}; {5}/{2}; {7}/{2}; \dots \right\}$, $\gamma_0:=$ $1 + [\gamma]+p_0$, $p_0 = 2\nu+1$, $M(x):= 1 + |x|$, $x \in \mathbb{R}$. Елементами простору $\Phi$, за означенням, є нескінченно диференційовні на $\mathbb{R}$ функції $\varphi$, які задовольняють нерівності $$ |D_x^k \varphi(x)| \leq \frac{c_k}{(1 + |x|)^{\gamma_0+k}}, \quad x \in \mathbb{R}, \, k \in \Z_+.$$

У $\Phi$ вводиться структура зліченно нормованого простору за допомогою норм: $$ \|\varphi\|_{p}:= \supl_{x \in\R}\left\{ \suml_{k=0}^{p} M(x)^{\gamma_0+k} |D_x^k \varphi(x)|\right\}, \quad \varphi \in \Phi, p \in \Z_+.$$

У просторі $\Phi$ визначені і неперервні операції зсуву аргументу та операція диференціювання.

Символом ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору $\Phi$. Оскільки ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ утворює підпростір $\Phi$, то в ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором, а його елементи\,-- основними функціями.

У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторів ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

На функціях з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначене перетворення Бесселя $F_B$: $$ F_B[\varphi](\xi) = \intl_{0}^{\infty} \varphi(x) j_{\nu}(x \xi) x^{2\nu+1} dx, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $j_\nu$\,-- нормована функція Бесселя.

$F_B[\varphi]$\,-- парна, обмежена, неперервна на $\mathbb{R}$ функція. Інші властивості перетворення Бесселя наведено у вигляді наступних тверджень.

Твердження 2.1. Якщо $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то $F_B[\varphi]$\,-- нескінченно диференційовна на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функція.

Твердження 2.2. У функції $D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\xi \neq 0$, $k \in \mathbb{Z}_+$, існують скінченні односторонні границі $\dst \liml_{\xi \to \pm 0} D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\varphi \in{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Твердження 2.3. Функції з простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}= F_B[\mathop{\Phi}\limits^{\circ}]$ задовольняють умову:} $$ \forall s \in \mathbb{Z}_+ \enskip \exists c_s > 0: \enskip \supl_{\xi \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} |\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi](\xi)| \leq c_s, \quad \forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}.$$

Твердження 2.4. $\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi] \in L_1(\mathbb{R})$, $s \in \mathbb{Z}_+ $, для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

На функціях $F_B[\varphi] \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$ визначене обернене перетворення Бесселя $$ \varphi(x) = F_B^{-1}[F_B[\varphi]](x) = c_{\nu} \cdot\intl_{0}^{\infty} F_B[\varphi](\xi) j_{\nu}(x \xi) \xi^{2\nu+1}d\xi,$$ де $c_{\nu} = (2^{2\nu} \Gamma^2(\nu+1))^{-1}$.

Твердження 2.5. Перетворення Бесселя неперервно відображає ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ на простір ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.

У підрозділі 2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Символом $T_x^{\xi}$ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя: $$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$. Будемо говорити, що оператор $T_x^{\xi}$ визначений у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $T_x^{\xi} \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ для кожного $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Лема 2.1. Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений і неперервний у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Наслідок 2.1. Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

У підрозділі 2.4 розглядається простір узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.

Оскільки в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ з основною функцією задамо формулою $ (f*\varphi)(x) = <f_{\xi}, T_{x}^{\xi}\varphi(x)>$, при цьому $f* \varphi$ є нескінченно диференційовною на $\mathbb{R}$ функцією, бо, згідно з наслідком 2.1, операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Якщо $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ і $f*\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi} \limits^{\circ}}$, то функціонал $f$ називається згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Оскільки $F_B^{-1}[\varphi] \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $\varphi \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$, то перетворення Бесселя узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ визначимо за допомогою співвідношення $$<F_B[f], \varphi> = <f, F_B^{-1}[\varphi]>, \quad \forall \varphi \in{\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}. $$ Звідси, з властивостей лінійності і неперервності функціоналу $f$ та перетворення Бесселя (прямого й оберненого) основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу $F_B[f]$ над простором основних функцій ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$. Правильними є наступні твердження.

Теорема 2.1. Якщо узагальнена функція $f\in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})' $\,-- згортувач у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ правильною є формула $ F_B[f * \varphi] = F_B[f] \cdot F_B[\varphi]$.

Теорема 2.2. Якщо узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$\,-- мультиплікатор у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то її перетворення Бесселя -- згортувач у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$.

Зауваження 2.3. Результати, одержані в теоремах 2.1, 2.2 можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ була згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, необхідно і досить, щоб її перетворення Бесселя було мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.

У підрозділі 2.5 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду $\Omega\ni\omega\rightarrow \varphi_\omega\in X$, де $X$\,-- лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів, $\Omega$\,-- деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра $\omega$ у просторі $X$. За $X$ можна, зокрема, брати простір $\Phi$ або ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

У розділі 3 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами та початковими умовами з простору узагальнених функцій $(\mathop{\Phi}\limits^{\circ})'$.

У підрозділі 3.1 досліджуються структура та властивості фундаментального розв'язку задачi Кошi.

Нехай $a$: $\mathbb{R} \to [0, +\infty)$\,-- неперервна, парна на $\R$ функція, однорідна порядку $\gamma \in (1, +\infty) \setminus\{2, 3, 4, \dots\}$, тобто $a(\lambda x) = \lambda^{\gamma} a(x)$, $\lambda > 0$, яка:

1) нескінченно диференційовна при $x \neq 0$, $a(0)=0$;

2) похідні функції $a$ задовольняють умову $$ \forall k \in \N \enskip \exists c_k > 0 \enskip \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}: \,\, |D_{x}^k a(x)| \leq c_k |x|^{\gamma-k}; $$

3) $\exists \delta > 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$: $a(x) \geq \delta|x|^{\gamma}$.

Функція $a$ є мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$. У зв'язку з цим розглянемо оператор $A$: ${\mathop{\Phi} \limits^{\circ}} \to{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, який визначимо за допомогою співвідношення: $ A \varphi = F_B^{-1}[a F_B[\varphi]]$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Із властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що $A$\,-- лінійний і неперервний оператор. Оператор $A$ називатимемо псевдо-Бесселевим оператором.

Розглянемо еволюційне рівняння з оператором $A$ вигляду $$\frac{\partial u}{\partial t} + Au = 0, \quad (t, x) \in (0, T]\times (0, \infty) \equiv \Omega_+. \eqno(2)$$

Під розв'язком рiвняння (2) розумiтимемо функцiю $u \in C^1((0,T], {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})$, яка задовольняє рiвняння (2).

Символом $G(t, \sigma)$, $t \in (0, T]$, $\sigma \in \R$, позначимо обернене перетворення Бесселя функції $\exp\{-ta(x)\}$, $t \in (0, T]$, $x \in \R$, тобто $$ G(t, \sigma) = c_{\nu} \intl_{0}^{\infty} e^{-ta(x)} j_{\nu}(\sigma x) x^{2\nu+1} dx, \quad \sigma \in \R,\ \ t \in (0, T]. $$

Зазначимо, що $G$\,-- парна функція аргументу $\sigma$ при фіксованому $t \in (0,T]$ і нескінченно диференційовна по $\sigma$. Основні властивості функції $G$ описують наступні твердження.

Теорема 3.1. При кожному $t > 0$ $G(t, \sigma)$, як функція аргументу $\sigma$, є елементом простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Для функції $G$ та її похідних правильними є оцінки: $$|D_{\sigma}^{m} G(t, \sigma)| \leq \alpha_mt^ {[\gamma] /\gamma} (t^{1/\gamma} + |\sigma|)^{ -(m+1+\tilde \gamma_0)}, \quad m \in \Z_+, \tilde \gamma_0 = [\gamma] + p_0,$$ де стала $\alpha_m$ не залежить від $t$.}

Теорема 3.2. $G(t, \cdot) \to \delta$ при $t \to +0$ у просторі $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.

Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$ позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, які є згортувачами у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Лема 3.1. Нехай $f \in({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R.$ Тоді граничне співвідношення $\omega(t,\cdot) \to f$, $t \to +0$, виконується у просторі $({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$.

Зауваження 3.1. Надалі функцію $G(t, \cdot)$ називатимемо фундаментальним розв'язком задачі Коші (ФРЗК) для рівняння (2).

Теорема 3.3. Функція $G(t, \cdot)$, $t \in (0, T]$, як абстрактна функція параметра $t$ із значеннями у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, диференційовна по $t$.

У підрозділі 3.2 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.

Лема 3.1 дозволяє поставити задачу Коші для рівняння (2) так. Для (2) задамо початкову умову $$u(t, \cdot)|_{t = 0} = f, \eqno(3) $$ де $f\in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Під розв'язком задачі Коші (2), (3) розумiтимемо розв'язок рівняння (2), який задовольняє початкову умову (3) у тому сенсі, що $u(t, \cdot) \to f$ при $t \to +0$ у просторі $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Правильним є наступне твердження.

Теорема 3.4. Задача Кошi (2), (3) коректно рзв'язна вкласi узагальнених функцiй $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Розв'язок подається у виглядi згортки $$u(t, x) = (f*G)(t, x), \quad f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)',\ \ (t, x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРЗК для рівняння (2).

Для розв'язку задачі Коші (2), (3) справедливий принцип локалізації (властивість локального посилення збіжності).

 Теорема 3.5. Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R. $ Якщо $f = 0$ на інтервалі $(a, b) \subset \R$, який містить точку 0, то $\omega(t, x) \to 0$ при $t \to +0$ рівномірно на довільному відрізку $[-c, c] \subset (a, b).$

Символом ${\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$ позначимо клас усіх мультиплікаторів у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Теорема 3.6. Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $u(t, x)$\,-- розв'язок задачі Коші (2), (3), побудований за функцією $f$. Якщо узагальнена функція $f$ збігається на інтервалі $(a, b) \subset \R$, який містить точку 0, з функцією $g \in {\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$, то $u(t, x) \to g(x)$ при $t \to +0$ на довільному відрізку $[-c, c] \subset (a, b)$.

У підрозділі 3.3 аналогічні результати одержані у випадку, коли оператор $A$ діє по $n$ змінних як псевдо диференціальний оператор, а по $(n+1)$-ій змінній як псевдо-Бесселевий оператор.

У розділі 4 дослiджується коректна розв'язнiсть доточкової задачi в класi крайових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Вивчається властивiсть локалiзацiї розв'язкiв.

У підрозділі 4.1 вивчаються властивостi фундаментального розв'язку двоточкової задачi.

Нехай $x = (x', x_{n+1})$, $x' = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n$, $x_{n+1} \in \R_+$, $\Omega_+ = (0, T] \times \R_+^{n+1}$, $T$ -- фіксоване додатне число, $\R_+^{n+1} = \R^n \times \R_+$, $k =(k', k_{n+1}) \in \Z_+^{n+1}$, $k' = (k_1, \dots, k_n) \in\Z_+^{n}$, $|k| = |k'| + k_{n+1}$, $|k'| = k_1 + \dots + k_n$, $D_x^{k} = D_{x'}^{k'} D_{x_{n+1}}^{k_{n+1}}$, $D_{x'}^{k'} = D_{x_1}^{k_1} \dots D_{x_n}^{k_n}$, $\gamma$\,-- фіксоване число з множини $(1, +\infty) \setminus \{2, 3, 4, \dots\}$, $\gamma'_0 = n + [\gamma]$, $\gamma_0 = 1 + [\gamma] + p_0$, $p_0 = 2\nu + 1 \in \N$, $\nu$\,-- фіксоване число з множини $\{3/2;5/2;7/2;\dots\}$, $M(x') = (1 + \|x'\|)$, $\tilde M(x_{n+1}) = 1 + |x_{n+1}|$.

Символом $\Phi\equiv\Phi(\R_+^{n+1})$ позначимо сукупність функцій $\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n+1})$, парних по змінній $x_{n+1}$, які задовольняють нерівності $$ |D_x^k \varphi(x)| \equiv \left|\frac{\partial^{|k|} \varphi(x_1, \dots, x_{n+1})}{\partial x_1^{k_1} \partial x_2^{k_2} \dots \partial x_{n+1}^{k_{n+1}}}\right| \leq \frac{c_k}{M(x')^{\gamma'_0 + |k'|} \cdot \tilde M(x_{n+1})^{\gamma_0+k_{n+1}}},\ \ k \in \Z_+^{n+1}. $$

На елементах простору $\Phi$ визначена, є лінійною і неперервною операція перетворення Фур'є-Бесселя, яку позначатимемо символом $F_{D, B}$: $$ F_{D, B}[\varphi](\sigma): = \intl_{\R_+^{n+1}}\varphi(x',x_{n+1}) e^{-i(x', \sigma')} j_{\nu}(\sigma_{n+1} x_{n+1}) x_{n+1}^{2\nu+1} dx' dx_{n+1}, \ \ \varphi \in \Phi.$$

Нехай $A = F_{D, B}^{-1}[a \cdot F_{D, B}]$, де функція (символ) $a$ задовольняє умови вигляду 1)--3), сформульовані у підрозділі 3.1. Із властивостей перетворення Фур'є-Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що $A$\,-- лінійний і неперервний оператор у просторі $\Phi$.

Розглянемо двоточкову задачу $$ \frac{\partial u}{\partialt}+Au=0, \hspace{0.3cm} (t,x)\in(0,T)\times\mathbb{R}_+^{n+1}\equiv \Omega_+, \eqno(4) $$ $$ \mu_1u(t,\cdot)|_{t=0}-\mu_2u(t,\cdot)|_{t=T}=\varphi,\ \ \mu_1>\mu_2>0. \eqno(5) $$

Введемо позначення $$ G(t,T,x)\equiv F_{D,B}^{-1}\left[\frac{\exp\{-ta(\sigma)\}} {\mu_1-\mu_2\exp\{-Ta(\sigma)\}}\right](x)= $$ $$ =(2\pi)^{-n}c_{\nu}\cdot\int\limits_{\mathbb{R}_+^{n+1}} \frac{\exp\{-ta(\sigma)\}}{\mu_1 -\mu_2 \exp\{-Ta(\sigma)\}} e^{-i(x^{\prime},\sigma^{\prime})} j_{\nu}(x_{n+1} \sigma_{n+1})\sigma_{n+1}^{2\nu+1}d\sigma^{\prime}d\sigma_{n+1}.$$

Для похідних функції $G(t,T,x)$ справджуються оцінки: $$ \left|D_x^mG(t,T,x)\right| \le \mu_2^{-1}c_m\cdot\sum\limits_{k=0}^{\infty} \mu^{-k-1}\times $$ $$ \times \frac{(t+kT)^{1+[\gamma]/\gamma}} {\left[(t+kT) ^{1/\gamma}+||x^{\prime}||\right]^{|m^{\prime}|+\gamma_0^{\prime}}\cdot\left[(t+kT)^{1/\gamma}+|x_{n+1}|\right]^{m_{n+1}+\gamma_0}},\m\in\Z_+^{n+1}. \eqno(6) $$

 Зауваження 4.1. Iз оцiнок (6) похiдних функцi\"\i{} $G$ випливає, що при кожному $t\in(0,T)$ функція $G$, як функцiя аргументу $x$, є елементом простору $\Phi$.

Лема 4.1. Функцiя $G(t,T,\cdot)$, $t\in (0,T)$, як абстрактна функцiя параметра $t$ iз значенням у просторi $\Phi$, диференцiйовна по $t$.

Лема 4.2. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при $t\to +0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.

Лема 4.3. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при $t\to T-0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.

Надалi функцiю $G(t,T,x)$ називатимемо фундаментальнимрозв'язком двоточкової задачi (ФРДЗ) для рiвняння (4).

У підрозділі 4.2 досліджується коректна розв'язність двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцій $\Phi'$.

Основний результат цього підрозділу складає наступне твердження.

Теорема 4.1. Задача (4), (5) коректно розв'язна в класi узагальнених функцiй $\Phi_*^{\prime}$. Розв'язок подається у виглядi згортки: $$ u(t,x)=(\varphi*G)(t,x), \hspace{0.3cm} \varphi\in\Phi_*^{\prime},\, (t,x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРДЗ для рiвняння (4).

Для розв'язку двоточкової задачі справедливий принцип локалізації, аналогічний теоремам 3.5, 3.6.

У розділі 5 наведено основнi означення та твердження, що стосуються топологiчної структури просторiв типу $S$ та основних операцiй у цих просторах. Дослiджується коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв.

У підрозділі 5.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу $S$ нескінченно диференційовних на $\R$ функцій, що задовольняють нерівності $ \left| x^k\varphi^{(m)}(x)\right|\le c_{km}$, $x\in\mathbb{R}$, $\{k,m\}\subset \mathbb{Z}_+$, де $\{c_{km}\}$\,-- деяка подвiйна послiдовнiсть додатних чисел, а також спряжених просторів типу $S^{\prime}$.

У підрозділі 5.2 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференцiювання $(I-\Delta)^{\omega/2}$, $\omega>0$, $\omega\ne 2,4,6,...$, у випадку, коли початкова умова є узагальненою функцією із простору типу $ S^{\prime}$; при цьому знайдено оцінки ФРЗК, доведено, що розв'язок володіє властивістю локалізації.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертацiя присвячена розвитку теорiї задачi Кошi та доточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Такi рiвняння утворюють новий клас псевдодиференцiальних рiвнянь i є важливими з точки зору застосувань у теорiї параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя.

У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такi результати:

- доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}\Phi$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцiй при перетвореннi Бесселя;

- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi основних функцiй $\stackrel{o}\Phi$;

- дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$, згорток узагальнених функцiй з основними; знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$ та мультиплiкаторiв;

- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра $t$ iз значеннями у просторi $\stackrel{o}\Phi$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$;

- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у класi згортувачiв $(\stackrel{o}\Phi_*)^{\prime}$ -- узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)= (f*G)(t,x)$, $f\in(\stackrel{o}{\Phi}_*)^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T]$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}\Phi$, граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to +0$ iснує в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; доведено, що розв'язок задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї;

- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку доточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором як абстрактної функцiї часового параметра, вивчена поведiнка ФРДЗ при наближеннi до гiперплощин $t=0$, $t=T$; встановлено коректну розв'язнiсть двоточкової задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю типу розподiлiв; доведено, що розв'язок двоточкової задачi володiє властивiстю локалiзацiї.

- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюційного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв; доведено, що розв'язок володiє властивiстю локалiзацiї.

Одержанi результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування i подальший розвиток у теорiї параболічних псевдодиференцiаль-них рiвнянь, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.

 

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

 

1. Городецький В.В., Ленюк О.М. Про дробове диференціювання у просторах типу $S'$ // Доп. НАН України. – 1998. – № 11. – С. 20-24.

2. Городецький В.В., Ленюк О.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН України. – 2007. – № 8. – С. 11-15.

3. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для одного класу еволюційних рівнянь // Математичні студії. – 2007. – Т.28, № 2. – С. 175-182.

4. Ленюк О.М. Перетворення Бесселя одного класу узагальнених функцій типу розподілів // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 336-337. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2007. – С. 95-102.

5. Ленюк О.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2007. – С. 55-65.

6. Городецький В.В., Ленюк О.М. Перетворення Фур'є-Бесселя одного класу нескінченно-диференційовних функцій // Крайові задачі для диферен-ціальних рівнянь: Зб. наук. пр. – Чернівці: Прут, 2007. – Вип. 15. – С. 51-66.

7. Городецький В., Ленюк О. Задача Кошi для одного класу параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь // VII Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ). Матерiали конференцiї. – С. 121.

8. Lenyuk O. Boundary Properties of Smooth Solutions of One Parabolic Pseudodifferential Equation // International Conference Dedicated to J.P. Schauder. Book of Abstracts. – Lviv, 1999 (August 23-29). – P. 127.

9. Ленюк О.М. Граничні властивості гладких розв'язків для параболічних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференціювання // Мiжнародна конференцiя "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (6-9 червня 2005 р., м. Київ). Тези доповiдей. – Київ, 2005. – С. 54.

10. Городецький В., Ленюк О. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька (24-28 вересня 2007 р., Дрогобич, Україна). Тези доповідей. – Львів, 2007. – С. 74.

11. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Materialy szwartej Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji "Nauka: teoria i praktyka – 2007". Tym 6. Matematyka. Fizuka. Nowoczesne informacijne technologie: Przemysl. Nauka i studia. – С. 7-11.

12. Ленюк О.М. Властивості розв'язків еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // XIV Всеукраїнська наукова конференція "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвячена 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (2-4 жовтня 2007 р.). Матеріали конференції. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2007. – С. 90-91.