Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

 

Кожан Роман Володимирович

УДК 517.98

КАТЕГОРНІ ВЛАСТИВОСТІ ПРОСТОРІВ ЙМОВІРНІСНИХ МІР ТА ГІПЕРПРОСТОРІВ ВКЛЮЧЕННЯ

01/01/01 математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів-2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету,

завідувач кафедри геометрії і топології,

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Загороднюк Андрій Васильович,

завідувач кафедри математичного аналізу Прикарпатського національного

університету імені В. Стефаника

доктор фізико-математичних наук, професор

Маслюченко Володимир Кирилович,

завідувач кафедри математичного аналізу, Чернівецького національного

Університету імені Ю. Федьковича

Захист відбудеться 17 квітня 2008 р. о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 13 березня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

 

Актуальність теми. Багато конструкцій функціонального аналізу, топологічної алгебри, загальної топології є функторіальними у відповідних категоріях. Прикладом може служити конструкція простору ймовірнісних мір (невід'ємних нормованих адитивних функціоналів на просторах неперервних функцій), яка визначає коваріантний функтор на категорії компактних гаусдорфових просторів. Властивості функтора ймовірнісних мір стали предметом дослідження багатьох математиків. Зокрема, А. Пелчинський[1] застосував простори ймовірнісних мір до задачі топологічної класифікації банахових просторів неперервних функцій на компактних гаусдорфових просторах. У своїй монографії Пелчинський виділив два класи компактних гаусдорфових просторів: простори Мілютіна та простори Дугунджі.

Систематичне дослідження функтора ймовірнісних мір провів Є.В. Щепін[2] у 1981 році в рамках створеної ним загальної теорії нормальних функторів у категорії компактів. Зокрема, він показав глибокий зв'язок між властивістю відкритості функтора ймовірнісних мір і властивістю бікомутативності, тобто властивістю зберігати клас бікомутативних діаграм в сенсі К. Куратовського.

Є.Щепін довів, що з відкритості нормального функтора випливає його бікомутативність і сформулював проблему про еквівалентність цих двох умов (для випадку нормальних функторів скінченного степеня еквівалентність умов відкритості та бікомутативності довів М. Зарічний[3]; він показав, що ці дві умови є характеризаційними для функторів -симетричного степеня ).

Одним з основних понять, запроваджених в дисертації, є поняття мультикомутативного та відкрито-мультикомутативного функтора. Ці властивості є узагальненням бікомутативності, поширеної на скінченні діаграми більш загального виду. Одночасно, це поняття відкритої мультикомутативності поєднує також і відкритість нормального функтора, яка є необхідною умовою відкртої мультикомутативності.

Ще одним функтором, який досліджується в дисертоції з точки зору відкритої мультикомутативності є функтор гіперпросторів включення. Значення функтора гіперпросторів включення полягає в тому, що він відіграє в теорії топологічних напівграток Лоусона таку ж роль, що і функтор ймовірнісних мір в теорії опуклості.

Гіперпростори включення допускають природну інтерпритацію як неадитивні міри. Цей зв'язок між функтором гіперпросторів включення та неперервних зверху ємностей встановлено О. Никифорчином та М. Зарічним[4]. Вперше поняття ємності в математиці було введено Г. Шоке[5], а Л. Жоу[6] встановив гомеоморфізм простору ємностей та простору комонотонно-адитивних функціоналів, що дало змогу досліджувати функторіальні властивасті конструкції ємностей. Крім тісного зв'язку з функтором гіперпросторів включення, ємності мають широке застосування в економічній теорії та мікроекономіці.

В даній дисертаційній роботі поняття відкритої мультикомутативності поширюється також на слабко-нормальні функтори. Тут доводиться відкрита мультикомутативність цілого ряду слабко-нормальних функторів, а саме функтора опуклих замкнених підмножин , фунткора опуклих замкнених підмножин простору ймовірнісних мір , фунткорів гіперпросторів включення  та суперрозширення , а також їх композицій  і .

Постає природнє питання, які з відомих властивостей нормальних та близьких до них функторів в категорії компактів Comp переносяться на продовження цих фунторів на більш широкі категорії, зокрама на категорію цілком регулярних просторів та їх неперервних відображень Tych. В даній робоіті розглядаються дві конструкції продовження простору ймовірнісних мір. Одна з них – міри з компактними носіями , введена А. Чігогідзе[7], є універсальною для всіх нормальних функторів в категорії Comp. Інша – функтор радонів-ських мір  на тихонівському просторі, запропонована Т. Банахом[8].

В даній роботі досліджується частковий випадок відкритої мультикомутативності на квадратних діаграмах, а саме відкрита бікомутативність фунторів  та .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiйної роботи пов'язана з науково-дослідними роботами “Асимптотичні властивості аналітичних функцій, випадкових рядів, топологічних і алгебраїчних структур та їх застосування” (номер державної реєстрації 0104U002127). Робота виконана на кафедрі геометрії і топології механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета i завдання дослiдження. В зв'язку з вищезгаданими проблемами виникла необхiднiсть продовження вивчення питання відкритості і бікомутативності нормальних та близьких до нормальних функторів. Зокрема, з цим тісно пов'язане питання їх відкритої мультикомутативності.

Об'єктом дослідження є нормальні та близькі до нормальних функтори в категорії копактних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень, а також деякі функтори в категорії цілком регулярних топологічних просторів.

Предметом дослідження є властивості відкритої мультикомутативності нормальних функторів та існування критеріїв відкритої мультикомутативності.

У данiй роботi розглядаються наступнi проблеми.

1.         Знайти критерії відкритої мультикомутативності нормальних функторів.

2.         Які з відомих нормальних та слабко-нормальних функторів є відкрито-мультикомутативними в категорії Comp?

3.         Які з відомих функторів є -відкрито-мультикомутативними в категорії Comp?

4.         Чи продовжується властивість відкритої мультикомутативності на категорію Tych?

5.         Чи є характеристичне відображення квадратних діаграм відкритим у випадку функторів  та ?

Наукова новизна одержаних результатiв. Всi одержанi науковi результати ї новими. У дисертацiйнiй роботi

1.         введено поняття відкритої мультикомутативності нормальних та близьких до них функторів, яке поєднує у собі поняття відкритості та бікомутативності функторів.

2.         встановлено критерії відкритої мультикомутативності в категорії Comp для нормальних та слабко нормальних функторів.

3.         поняття відкритої мультикомутативноссті поширено на нескінченні діаграми і встановлено її зв'язок з -відкритою мультикомутативністю.

4.         доведено, що функтори , , , , , , , ,  є відкрито-мультикомутативними в категорії Comp.

5.         показано відкриту бікомутативність функтора  в категорії Tych.

6.         встановлена відкритість характеристичного відображення квадратних діаграм у випадку функторів  та .

Практичне значення одержаних результатiв. Отриманi в дисертацiйнiй роботi результати мають теоретичний характер i можуть знайти застосування у функцiональному аналiзi, категорній топології, економічній теорії та теорії ігор.

Особистий внесок здобувача. Всi науковi результати, включенi у дисертацiю, одержанi здобувачем самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались:

1.         на Львiвському мiському топологiчному семiнарi (м. Львiв, 2002-2005 рр.);

2.         на міжнародній коференції "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications" (м.Львів, травень 2004 р.), доповідь: R.V. Kozhan, On Continuity of correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces;

3.         на четвертій міжнародній алгебраїчній конференції (м. Львів, серпень 2003 р.), доповідь: R.V. Kozhan, Open-multicommutativity of the functor of probability measures;

4.         на міжнародному конгресі математиків "International Mediterranean Congress of Mathematics", Almeria (червень 2005р.), доповідь: R.V. Kozhan, Open-multicommutati-vity of normal functors.

5.         на міжнародній конференції "Analysis and related topics" (м.Львів, листопад 2005р.), доповідь: Р.Кожан, - відкрита мультикомутативність нормальних функторів.

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiковано у 3 статтях (без співавторів), які опублiковано у виданнях, включених у перелiк ВАК України, в яких слiд опублiкувати результати дисертацiї.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається з переліку позначень, вступу, 3 розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації --- 131 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професорові М.М. Зарічному.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об’єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 4 розділи.

У першому розділі "Огляд літератури і результатів дисертації" робиться огляд літератури і дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.

У другому розділі "Поняття та критерії відкритої мультикомутативності" вводиться означення основного поняття, яке вивчається в дисертації – відкритої мультикомутативності коваріантних функторів.

Теорема 2.4.23. Нехай  -- деякий слабко-нормальний скінченно-відкрито-мультикомутативний функтор в категорії Comp. Тоді відображення  є відкритим.

Наступна теорема є основним результатом цього розділу. Вона встановлює впіввідношення між поняттями відкритої мультикомутативності та скінченної відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів в категорії Comp.

Теорема 2.4.26. Нехай слабко-нормальний функтор  є відкритим та бікомутативним. Тоді наступні твердження є еквівалентні:

(і)  є відкрито-мультикомутативним

(іі)  є скінченно відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.27. Нехай  -- нормальний відкритий функтор в категорії Comp. Тоді наступні твердження є еквівалентними:

(і)  є відкрито-мультикомутативним

(іі)  є скінченно-відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.28. Нехай  -- слабко-нормальний бікомутативний функтор в категорії Comp. Тоді функтор  є мультикомутативним.

Природньо постає задача дослідження властивостей функторів, які зберігають відкрито-мультикомутативні конуси над нескінченними графами.

Наступна теорема являє собою критерій -відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів та показує її еквівалентність з відкритою мультикомутативністю на скінченних діаграмах.

Теорема 2.5.3. Кожний слабко нормальний відкрито мультикомутативний функтор  є -відкрито мультикомутативним.

В третьому розділі “Відомі функтори в категорії Comp та відкрита мультикомутативність” досліджуються конкретні приклади коваріантних функторів категорії Comp на відкриту мультикомутативність. Зокрема, розглядаються функтори ймовірнісних мір , гіперпростору , гіперпростору включення , суперрозширення , функтор неперервних зверху ємностей , функтор опуклих підмножин  їх композиції , . Відомо, що функтори  та  є нормальними, а функтори , , та  є слабко нормальними, а також, що функтори , , , ,  є відкритими, а функтори ,  не є відкритими.

Застосовуючи критерій відкритої мультикомутативності ми легко отримуємо

Твердження 3.2.1. Функтор ймовірнісних мір  є відкрито-мультикомутативним.

З нормальності та відкритості функтора ймовірнісних мір в категорії Comp випливає

Наслідок 3.2.2. Функтор  є -відкрито-мультикомутативним.

Покажемо відкриту мультикомутативність функторів , , , , а також їх композицій з функтором ймовірнісних мір  та . Для цього спочатку встановимо їх бікомутативність.

Твердження 3.3.1. Функтори  та  є бікомутативними.

З попереднього твердження легко випливає відкрита мультикомутативність вищезгаданих функторів.

Твердження 3.3.2. Функтори ,  та  є відкрито-мультикомутативними.

Покажемо відкриту мультикомутативність функтора ConvСomp.

Твердження 3.3.4. Функтор  є відкрито-мультикомутативним.

Наступний результат дозволяє будувати нові відкрито-мультикомутативні функтори як композиції відкрито-мультикомутативних.

Твердження 3.3.5. Нехай Top -- деякі категорії і функтори  та  є відкрито-мультикомутативними, тоді композиція функторів  є також відкрито-мультикомутативним функтором.

З твердженнь 3.3.5 та 3.2.1 випливає

Наслідок 3.3.6. Функтор  є відкрито-мультикомутативним.

Твердження 3.3.7. Функтори  і  є відкрито-мультикомутативними.

Оскільки фунтор  є слабко-нормальним і відкритим, то згідно з теоремою 2.4.26 для його відкритої мультикомутативності достатньо показати, що він є скінченно відкрито-мультикомутативний.

Твердження 3.4.2. Функтор  є скінченно відкрито-мультикомутативним.

Твердження 3.4.6. Функтор  є відкрито-мультикомутативним.

Розглядається кілька відомих методів продовження функтора ймовірнісних мір з категорії компактів на категорію цілком регулярних топологічних просторів та їх неперервних відображень Tych. Одна з найпростіших конструкцій продовження функторів на категорію Tych – є міри на Стоун-Чехівській компактифікації цілком регулярного топологічного простору. Поряд з цим також існує кілька альтернативних методів продовження функтора ймовірнісних мір на Tych, такі як функтор мір з компактнми носіями, функтор мір Радона (радонівські міри), функтор -гладких мір.

Для тихонівського простору  розглянемо supp множину всіх борелевих ймовірнісних мір на  з компактними носіями, де  є Стоун-Чехівською компактифікацією простору . Ця конструкція дозволяє нам продовжувати функтор  з категорії Comp на категорію Tych. А. Відомо, що  є нормальним функтором в категорії Tych. Іншою конструкцією пордовження функтора ймовірнісних мір є функтор радонівських мір .

Теорема 4.3.1. Відображення  є відкритим.

Оскільки , характеристичне відображення  можна представити як . Має місце наступний наслідок попередньої теореми.

Теорема 4.3.2. Відображення  є відкритим.

ВИСНОВКИ

В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності коваріантних функторів у категорії компактів та інших топологічних категоріях, яке поєднує в собі поняття відкритості та бікомутативності. Це дозволяє виділити клас функторів, які природньо поєднують в собі ці дві властивості. Формулюються критерії відкритої мультикомутативності. А саме, встановлена еквівалентність відкритої мультикомутативності зі скінченною відкритою мультикомутативністю; ця еквівалентність значно спрощує дослідження. Зокрема, для встановлення відкритої мультикомутативності достатньо перевірити, що слабко-нормальний відкритий, бікомутативний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси складені зі скінченних просторів. Також встановлено таку еквівалентність цього поняття на скінченних та нескінченних діаграмах: якщо слабко-нормальний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси на скінченними діаграмами, то він зберігає їх і над всіма діаграмами. Цей результат також дозволяє значно спростити аналіз і обмежитись розглядом досить вузького кола діаграм.

В розділі 3 доведено, що такі функтори, як функтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, гіперпростору включення, опуклих підмножин, неперервних зверху ємностей, а також їх композиції є відкрито-мультикомутативними. Це в свою чергу доводить непорожність класу відкрито-мультикомутативних функторів в категорії Comp.

Важливим питанням категорної топології є продовження функторів на ширші категорії. Тому також є природним питання поширення означення відкритої мультикомутативності на функтори, які діють в категорії цілком регулярних просторів Tych. В розділі 4 зроблені кроки у цьому напрямку, а сааме, розглянуто питання відкритої бікомутативності продовжень функтора ймовірнісних мір. Доведено, що такі продовження, як функтор мір з компактними носіями і функтор мір Радона, є відкрито-бікомутативними.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.    Kozhan, R. V. Open-multicommutativity of some functors related to the functor of probability measures // Matematychni Studii – 2005. – Vol.23, №4.

2.    Кожан, Р.В., Про неперервнiсть вiдповiдностей ймовiрнiсних мiр в категорiї цiлком регулярних просторiв // Науковий вісник Чернівецького університету: збірник наукових праць. Математика. – 2006. – Т. 314-315. – c.94—99.

3.    Kozhan, R.V., Open-multicommutativity of the functor of upper-continuous capacities // Вісник Львів. Ун-ту. Сер. Мех.-матем. – 2006. – V.66.

4.    Kozhan, R.V. On сontinuity of correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces // Міжнародна коференція "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Львів, 2004, тези доповідей.

5.    Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of the functor of probability measures // Четверта міжнародна алгебраїчна конференція, Львів, 2003, тези доповідей.

6.    Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of normal functors // Міжнародний конгрес математиків "International Mediterranean Congress of Mathematics", м. Альмерія, 2005, тези доповідей.

АНОТАЦІЯ

 

Кожан Р.В.  Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Ключові слова: відкрита мультикомутативність, слабко-нормальний функтор, характеристичне відображення конуса, категорія, діаграма

Дисертація присвячена вивченню категорних властивостей нормальних та слабко-нормальних функторів в категорії компакних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Зокрема досліджуються умови та критерії відкритості коваріантних функторів. Є. Щепін встановив, що кожний відкритий нормальний функтор є бікомутативним. М. Зарічний посилив цей результат і встановив, що відкритість є критерієм бікомутативності для функторів скінченного степеня.

В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності, яке є узагальненням відкритості та бікомутатвності слабко-нормальних функторів. Встановлюються критерії мультикомутатвності, відкритої мультикомутативності та -відкритої мультикомутативнос-ті функторів, а також їх звєязок між собою. В дисертації автором доводиться відкрита мультикомутативність ряду функторів, серед яких фунтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, функтор гіперпросторів включення, неперервних зверху ємностей та їх композицій.

Проблема продовження функторів з категорії компактів на категорію цілком регулярних просторів досліджується в дисертації в контексті відкритої мультикомутативності. Зокрема, розглядаються часткові випадки відкритої мультикомутативності функторів радонівських мір та мір з компактними носіями відповідно. Задача представлена у термінах відповідностей з просторів ймовірнісних мір на добутку тихоновських просторів. Встановлена неперервність відповідностей, що є еквівалентною відкритості характеристичного відображення квадратних діаграм.

ABSTRACT

 

Kozhan R.V. Categorical properties of spaces of probability measures and inclusion hyperspaces. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2007.

Key words: open-multicommutativity, weakly normal functor, characteristic map of a cone, category, diagram

The thesis is devoted to investigation of the categorical properties of normal and weakly normal functors in the category of compact Huasdoff spaces and their continuous maps. In particular, conditions and criteria for openness of covariant functors are studied. E. Shchepin proved that each open normal functor is bicommutative. M.Zarichnyi extended the result and showed that the openness is a necessary and sufficient condition for bicommutativity of functors of finite degree.

A new notion of open multicommutativity is introduced in the thesis and this notion is a generalization of openness and bicommutativity of weakly-normal functors. Criteria of multicommutativity, open-multicommutativity and -open-multicommutativity of functors are established and shown their connection between each other. The author proves open-multicommutativity of a number of functors such as functor of probability measures, hypercpace, superextension, functor of inclusion hyperspaces, upper-continuous from above capacities and their superpositions.

The problem of extensions of functors from the category of compact spaces into the category of completely regular spaces is investigated in the context of open-multicommutativity of functors. In particular, special cases of open-multicommutativity of functors of Radon measures and measures with compact supports are considered. The problem is introduces in terms of correspondences from spaces of probability measures on product of Tychonoff coordinate spaces The continuity of the correspondences is proved, which is equivalent to the opennesss of the characteristic maps of square diagrams.

АННОТАЦИЯ

Кожан Р.В. Категорные свойства пространств вероятносных мер и гиперпространств включения. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Ключевые слова: открытая мультикоммутативность, слабо-нормальный функтор, характеристичиское отображение конуса, категория, диаграмма

Дисертация посвящена изучению категорних свойств нормальних и слабо-нормальних функторов в категории компакних гаусдорфових пространств и их непрерывних отображений. В особенности исследуються условия и критерии открытости ковариантних функторов. Е.Щепиным установлено, что каждый откритый нормальный функтор есть бикоммутативным. М.Заричный усилил этот результат и доказал, что открытость являеться критерием бикоммутативности для функторов конечной степени.

В данной работе вводиться понятие открытой мультикоммутативности, которое есть обобщением открытости и бикоммутатвности слабо-нормальных функторов. Устанавливаються критерии мультикоммутатвности, открытой мультикоммутативности и -откритой мультикоммутативности функторов, а также их связь между собой. В диссертации автором доказуеться открытая мультикоммутативность ряда функторов, среди которых фунтор вероятносных мер, гипперпространства, суперрасширения, функтор гипперпространства вложения, непрерывных сверху ємкостей и их композиций.

Проблемма продолжения функторов с категории компактов на категорию полностю регулярних пространств исследуеться в диссертации в контексте открытой мультикоммутативности. В особенности, рассматриваються частичные случаи открытой мультикоммутативности функторов радоновських мер и мер с компактными носителями соответсвенно. Задача представлена в терминах соответствие с пространств вероятностных мер на произведении тихоновських пространств. Установлена непрерывность соответствий, являющаяся эквивалентной открытости характеристического отображения квадратных диаграмм.

Підписано до друку 8.11.2007 р.

Папір друк. №1. Спосіб друку - офсет.

 Формат паперу 60x90/16. Ум.друк.аркушів 0.9

Тираж 100 штук.

Замовлення № 1203/1

Друк СПД „Синчук В.В.”

м.Львів, вул.Чупринки, 38

тел./факс. (032) 297-05-67

[1] Pelczynsky, A. Linear Extensions, Linear Averagings, and Their Applications to Linear Topological Classi_cation of Spaces of Continuous Functions// Volume 58 of Dissertationes Math. (Rozpawy Matematycny). – 1968. – Warsaw University

[2] Щепин, Е. Функторы и несчетные степени коипактов//Успехи математических наук. – 1981 – т.36, №3, с.3–62

[3] Заричный М.М. Характеризация функторов G-симметрической степени и продолжения функторов на категории Клейсли// Матем. заметки. – 1992. – Т. 52, №.5.

[4] Заричный М. М., Никифорчин О. Р., Функтор емкостей в категории компактов. Матеем. Сб. 2008, Т. 199, N 2, С. 3–26.

[5] Choquet, G. Theory of capacities// Annales de l'Institut Fourier. – 1953 – Vol. 5, pp.131–295.

[6] Zhou, L. Integral representation of continuous comonotonically additive functionals// Transactions of American Mathematical Society. – 1998 – Vol. 350, №.5, pp.1811—1822.

[7] Чигогидзе, А. О продолжении нормальных функторов// Вестник Московского Университета. Серия мат.-мех. – 1984 – т.6, сс.23—26.

[8] Банах, Т. Топология пространств вероятностных мер, I: функторы и // Математические студии. – 1995 – т.5, сс.65—87.