Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

3. Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

Структурно модель Эрроу-Дебре весьма близка к модели Вальраса. От последней она отличается конкретизацией природы происхождения функций предложения и спроса, а также механизма образования дохода потребителя. Покажем это по порядку.

Для каждого производителя j введем множество , которое, в отличие от модели Вальраса, здесь будем трактовать как множество производственных планов (а не оптимальных планов), т.е. это есть множество n‑мерных векторов , часть компонент которых описывает затраты, а другая часть – соответствующие этим затратам выпуски товаров. Компоненты, соответствующие затратам, как и в модели Вальраса, снабжаются отрицательными знаками. Поэтому скалярное произведение  показывает прибыль, полученную производителем j в результате реализации плана . Отсюда оптимальный план , участвующий в определении совокупного предложения (см. (2.3) и (2.4)), определяется как решение задачи:

 при ограничении (3.1)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений (множество оптимальных планов) – через . Если задача (3.1) имеет единственное решение, то, .

Доход потребителя i складывается следующим образом. Вводится коэффициент , который показывает долю i‑го потребителя в прибыли j‑го производителя. Предполагается (как и в модели Вальраса), что прибыль каждого производителя делится между всеми потребителями полностью, т.е. для любого j=1,…, m

,

Пользуясь коэффициентами , суммарные дивиденды , получаемые потребителем i от производственного сектора, можно представить как

где . Поэтому общий доход потребителя i при реализации производственных планов , j=1,…, m, вычисляется по формуле

Функция спроса потребителя конкретизируется следующим образом. Вводится множество допустимых векторов потребления , а предпочтение потребителя на этом множестве задается с помощью функции полезности . В результате вектор-функция спроса строится как решение задачи:

 при ограничениях , (3.2)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений – через . Если задача (3.2) имеет единственное решение, то .

Таким образом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (2.3) и (2.4), определяющих функции совокупных спроса и предложения:

(3.3)

(3.4)

Модель (2.5), в которой функции и определены в виде (3.3) и (3.4), называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.

У‑1. Множество  компактно в  и содержит нулевой вектор (j=0,…, m).

У‑2. Множество  выпукло в .

У‑3. Множество  замкнуто и выпукло в  и таково, что из ,  для некоторого r, следует  для всех k=1,…, n (i=1,…, l).

У‑4. Функция полезности  непрерывно дифференцируема на  и строго вогнута (i=1,…, l).

У‑5. Функция  обладает свойством ненасыщаемости (i=1,…, l).

У‑6. Существует , для которого  (i=1,…, l).

Условие У‑1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (3.2). Условие У‑2 допускает эффективность использования «смешанных» планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У‑3 и У‑4 имеют технический характер. Условие У‑6 требует наличия у каждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 3.1).

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, разъясню несколько терминов и сформулирую вспомогательные утверждения.

Пусть , а F – множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку  в некоторое подмножество множества X (, ).

Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений , где , и , где , следует . Другими словами, для каждого открытого множества U, содержащего множество , можно найти такое число , что , как только  (где  – расстояние между точками  и ).

Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого  при  существовали такие , что .

Отображение F называется ограниченным, если для любого  множество F(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .

Лемма 3.1. Пусть P, X – выпуклые и компактные подмножества пространства ,  – такое множественнозначное отображение, что для любого  множество B(p) есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение , такое, что

полунепрерывно сверху, если функция  непрерывна и вогнута.

Пусть , . Линейное уравнение  называется гиперплоскостью в  (или (n‑1) – мерным линейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в . Гиперплоскость  делит все пространство  на две части:  и .

Пусть . Говорят, что гиперплоскость  разделяет X и Y, если для всех  , а для всех  . Например, если X и Y – выпуклые множества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющая гиперплоскость.

Лемма 3.2. Пусть  – выпуклое множество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом . Тогда найдется вектор , у которого хотя бы одна компонента строго положительна и  для всех .

Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.

Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.

Точка  называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если .

Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.

Теорема (Какутани). Пусть  – компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке  ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество . Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.

Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все p_k на одну и ту же величину . Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :

Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.

Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в , удовлетворяющее условиям:

a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех ;

b) для всех  . Тогда существуют такие  и , что .

Условие b) означает, что для каждого  множество  не имеет общих точек с неположительным ортантом . Действительно, для любой точки  и любого   (рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что  не пусто.

Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла

Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора  множество S(p) не имеет общих точек с . Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число  (не зависящее от p и z), что семейство  выпуклых множеств  также не касается неотрицательного ортанта  (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы

Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность  и точки , , для которых  при  (сходящаяся последовательность  найдется, так как  компактны и лежат в ограниченной области пространства ). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения  и , что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство  не пересекается с неотрицательным ортантом.

Тогда для каждого множества  из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость , такая, что для любого  .

Построим множественнозначное отображение , где множество  состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество  непусто. Отображение  полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество  выпукло и замкнуто, как и симплекс . Следовательно, отображение  удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку . Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство  при . Тогда  для . Последнее противоречит неподвижности точки p₀ в . Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.

Теперь перейдем к основному вопросу.

Теорема 3.1. В модели Эрроу-Дебре существует конкурентное равновесие.

Доказательство. Обозначим для каждого

(3.5)

Как следует из условий У‑1 и У‑5, множество  есть непустое, компактное и выпуклое множество. Обозначим через  отображение . Из непрерывности (линейности) функций , j=1,…, m, и из леммы 3.1. следует, что  есть ограниченное, полунепрерывное сверху отображение.

Исходя из того, что , j=1,…, m, задача (3.2) должна решаться при ограничении

(3.6)

где  – оптимальное решение задачи (3.1). Известно, что для оптимального решения задачи (3.2) в (3.6) должно иметь место строгое равенство:

(3.7)

Если это не так, то в силу условия У‑5 существует , для которого , а по условию У‑4 можно найти такое , где , что , причем  все еще удовлетворяет ограничениям (3.6). Но это противоречит определению  как точки максимума. Таким образом, равенство (3.7) действительно имеет место.

Так как по условию У‑1 , то по определению максимума . Отсюда и из условий У‑1 – У‑6 следует, что множество  оптимальных решений задачи (3.2) при ограничениях (3.6) есть непустой выпуклый компакт. Поэтому множество  также будет непустым выпуклым компактом. Из условий У‑4 – У‑6 и леммы 3.1 следует, что  есть полунепрерывное сверху множественнозначное отображение.

Построим отображение S для любого  следующим образом:

(3.8)

где

, ,

Как и выше, можно показать, что S есть ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение из P в  и что множество S(p) непусто, выпукло и замкнуто. Суммируя обе стороны равенства (3.7) по i=1,…, l, получаем

или

В обозначениях элементов множества S(p) это равенство записывается как

, (3.9)

Видно, что отображение S, порождающее для каждого  множество (3.8), удовлетворяет всем условиям леммы Гейла. Из этой леммы следует существование таких  и , что . Поэтому набор векторов , где , образует конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре. Действительно, условие (2.6) выполнено по построению векторов  и ; условие (2.7) следует из неравенства ; условие (2.8) вытекает из (3.9) и, наконец, отображения D и S являются функциями совокупных спроса и предложения в модели Эрроу-Дебре, так как они определены посредством соотношений (3.3) и (3.4) Теорема доказана.

В связи с тем, что наиболее жестким из всех условий, определяющих модель Эрроу-Дебре, является У‑6, обсудим одну возможность его ослабления.

Это условие в теореме 3.2 вместе с У‑3, У‑4 и леммой 3.1 обеспечивает непустоту бюджетных множеств  потребителей и полунепрерывность сверху функций их спроса . Эти свойства не изменятся, если У‑6 заменить следующими условиями:  для любого вектора ,  и , . Так как второе из условий не является жестким, то существование конкурентного равновесия, помимо условий У‑1 – У‑5, зависит от наличия положительного дохода у всех потребителей. Очевидно, что это условие слабее, чем У‑6, так как положительный доход у потребителя может существовать и при отсутствии начального запаса товаров (за счет участия в прибыли производственного сектора). Последнее условие выполняется, если хотя бы одно производственное предприятие рентабельно и все потребители участвуют в прибыли производственного сектора (как минимум, не являются безработными). Это условие представляется не столь жестким и, следовательно, существование экономического равновесия – реальным. Однако не следует забывать, что речь идет о моделях рынка, предполагающих выполнение не совсем реальных условий совершенной конкуренции.