Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

4. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

 

Доказав существование конкурентного равновесия в математической модели рынка, естественно задаться вопросом: как найти конкурентное равновесие и, прежде всего, равновесные цены? Поиск равновесия, в отличие от ранее рассмотренных вопросов, по существу, является динамическим (развернутым во времени) действием.

Процесс последовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен. Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодаря законам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливает цены к вариациям спроса и предложения во времени. В начале была обнаружена «геометрическая» картина такого приспособления. Здесь наша задача состоит в обнаружении аналитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.

Итеративный процесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., в конечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью. В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентное равновесие) называется устойчивым.

Таким образом, задача регулирования цен преследует цель определения условий, заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям. Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений специально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнение называется динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть как непрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения о непрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальных уравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е. фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенные промежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностных уравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Их преимущество состоит в возможности применения удобного аппарата дифференцирования. Будем рассматривать только дискретный случай, наиболее понятный с точки зрения практического восприятия.

Перейдем к конкретным построениям. Для определенности процесс регулирования рассмотрим в модели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряд дополнительных сведений.

Во-первых, цены будем снабжать параметром времени t:  – цена k‑го товара в момент t.

Во-вторых, будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматривать отдельные моменты времени t₁, t₂,… Причем для упрощения формул будем считать, что . Это дает возможность вместо последовательности  рассматривать последовательность моментов t, t+1,…, начиная с t = 0.

В-третьих, вместо пространства товаров  будем рассматривать пространство , где дополнительная n+1‑ая координата соответствует особому виду товара – «деньгам». Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна n+1. Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве . Причем дополнительная n+1 – ая компонента p₀ будет интерпретироваться как «цена денег».

Для некоторого вектора цен  и соответствующих ему векторов совокупного спроса  и совокупного предложения  обозначим

(4.1)

Величина F(p) имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина  имеет смысл избыточного предложения). Рассматривая эту величину для всех , можно говорить о функции избыточного спроса F, определенной на множестве P.

Для равновесного вектора цен имеем (см. (2.7), (2.8))

(4.2)

(4.3)

Если предположить все цены строго положительными, т.е. , k=0,1,…, n, то равенство (4.3) будет иметь место только в случае строгого равенства в (4.2), т.е.

(4.4)

Так как это равенство понимается покомпонентно (, k=1,…, n, где  – функция избыточного спроса для товара k), то условие (4.3) становится следствием равенства (4.4). Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется одним условием (4.4).

Функция F обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых  и постоянного числа  . Это свойство означает, что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существенны лишь относительные цены.

Рассмотрение функции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен. В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисления равновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональна изменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание) функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному) росту спроса по сравнению с предложением (см. (4.1)), а это, согласно закона спроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Сказанное математически можно отразить формулой

или в координатной форме

, k=0,1,…, n

где  – коэффициент пропорциональности,  – функция избыточного спроса для товара k. Здесь предположим, ради простоты, что пропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарам одинакова (и равна числу ).

Из последнего уравнения по определению производной получаем:

Отсюда для достаточно малых  можно принять приблизительно

Принимая величину  как «следующий» за t момент времени, для дискретного случая приходим к следующему закону изменения цен:

, k=0,1,…, n

или в векторной форме:

, t=0,1,… (4.5)

Это есть рекуррентное уравнение, когда последующее (по времени) значение цены вычисляется с помощью предыдущего значения. Для его последовательного решения нужно иметь «начальное» условие. Им является значение цены  в «начальный» момент времени t=0, которое считается известным.

Для того, чтобы в уравнении (4.5) было учтено условие положительности цен, можно написать

, t=0,1,… (4.6)

Таким образом, динамика процесса регулирования цен описана.

Процесс регулирования можно проводить в нормированных ценах или без нормирования цен. В первом случае вектор  нормируется с помощью какого-то выделенного товара (например, нулевого), и получается новый вектор , компоненты которого , k=0,1,…, n, являются относительными ценами. В ненормированном процессе все товары являются равноправными. С математической точки зрения ненормированный процесс усложняется множественностью равновесных векторов цен, так как все точки луча  () будут равновесными векторами цен.

Устойчивость конкурентного равновесия, т.е. сходимость итеративного процесса (4.6) к равновесной цене, можно изучать на двух уровнях – на уровне локальной устойчивости и на уровне глобальной устойчивости. Равновесие называется локально устойчивым, если итеративный процесс сходится при начальной точке , достаточно близкой к . Если устойчивость имеет место независимо от местонахождения начальной точки , то равновесие глобально устойчиво.

Одним из условий сходимости процесса (4.6) является так называемая строгая валовая зависимость. Говорят, что для ненормированного процесса регулирования цен имеет место строгая валовая зависимость, если для каждого k функция избыточного спроса  есть строго возрастающая функция цены  . Экономический смысл этого условия состоит в том, что при повышении цены k‑го товара и постоянстве других цен можно ожидать увеличения спроса на остальные (взаимозаменимые) товары.

Приводимая ниже теорема сходимости для уравнения (4.6) предполагает ненормированный процесс регулирования и содержит критерий глобальной устойчивости.

Теорема 4.1. Пусть  – строго положительный равновесный вектор в модели Эрроу-Дебре. Пусть функции избыточного спроса , k=0,1,…, n, обладают свойством строгой валовой зависимости. Тогда существует такое положительное число , что для всех система цен , удовлетворяющая уравнению (4.6), сходится к равновесному вектору цен.

Рассмотренные задачи

 

1) Производственная функция описывается уравнением , где L – объем используемого труда. Функция спроса потребителей в экономике равна . Какой объем продукции будет произведен в равновесии, какой объем труда будет использован?

Решение: Перепишем функцию спроса в виде . В ситуации равновесия спрос равен предложению: . Отсюда  и , . Исключая первый случай, окончательно получаем , тогда .

2) Спрос и предложение некоторого товара заданы соответственно уравнениями , . Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед. Найдите, что потеряют при этом покупатели, а что – продавцы данного товара.

Решение: До введения налога равновесие определяется условием , откуда - равновесная цена,  – равновесный объем продаж стоимостью 900. Налог с продажи, уплачиваемый покупателями, приводит к тому, что цена для них увеличивается на 1,5 и условие равновесия записывается как , откуда  и . Общий объем налогового сбора за 250 ед. товаров составит 375 ден. ед. В этой ситуации покупатели потратят  ден. ед., сэкономив тем самым 25 ден. ед. Однако, они недополучат 50 ед. товара, за который готовы были заплатить  ден. ед. Тогда общие потери покупателей составят  ден. ед. Общие потери продавцов равны 250 ден. ед. (потери от продажи 250 ед. товара по цене на 1 ден. ед. ниже).

3) Функция спроса на капусту имеет вид , функция предложения имеет вид , где t обозначает номер периода времени. Определите объемы продаж и цены на капусту в периоды 1,2,…, 5, если . Определите равновесную цену и равновесный объем продаж.

Решение:

Период
1	250	140	160
2	160	68	232
3	232	125,6	174,4
4	174,4	79,52	220,48
5	220,48	116,384	183,616

Приравнивая спрос и предложение, получаем:  или . Цена равновесия  определяется из условия  и равна . Тогда равновесный объем продаж

Заключение

 

Рассматривая модели, которые описывают рынок в условии конкуренции можно сказать, что они наиболее точно дают нам представление о поведении рынка при изменении спроса и предложения на тот или иной товар. Но всё же ни одна модель не может описать поведение рынка с 100% точностью.

Список литературы

 

1.   Данилов Н.Н. Курс математической экономики, М. Высшая школа – 2006

2.   Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов, М.: Изограф – 1997

3.   Ивашковский С.Н. Микроэкономика, Дело – 2002

4.   Economicus.ru / www.economicus.ru