1. Дайте определение парной регрессии.

Аналитическое выражение связей между признаками может быть представлена виде уравнений регрессии:

yx = a0+a1x

где х – значение факторного признака

у – значение результативного признака (эмпирические)

ух – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии.

а0 и а1 – это коэффициенты регрессии, которые определяются путем решения следующей системы уравнений:

na0+a1∑x = ∑y

a0∑x+a1∑x = ∑xy2

В основе решения данной системы уравнений лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

∑(yi-yx)2 → min


а0 - показывает влияние неучтенных в модели факторов и четкой интерпретации не имеет

а1 – показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения [5]

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (табл. 1):

Таблица 1

Месяц Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (y) Средний денежный доход на душу населения, руб. (x)
Январь 69 1954,7
Февраль 65,6 2292,0
Март 60,7 2545,8
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь 53,3 3042,8
Ноябрь 50,9 3107,2
Декабрь 47,5 4024,7

Для оценки зависимости y от x построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a + bx + e, где а = 196/4, b = 1/196

Парный коэффициент корреляции rxy = 1/ (-196) * 78

Средняя ошибка аппроксимации: А = 196/46 + 4,6

Известно, что Fтабл. = 4,96, а Fфакт = 196/2 + 5

Определите коэффициент детерминации. Определите линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

Найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели:

а = 196/4 = 49

b = 1/196 = 0,0051

Получим уравнение регрессии:

y = 49 + 0,0051x + e,

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,0051 %.

Линейный коэффициент парной корреляции

rxy = 1/ (-196) * 78 = -0,39

(связь умеренная, обратная)

Найдем коэффициент детерминации

rxy2 = (-0,39)2 = 0,158. Вариация результата на 15,8 % объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка аппроксимации А = 196/46 + 4,6 = 8,86, что говорит о высокой ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,86 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним Fтабл. и Fфакт.

Fтабл. = 4,96

Fфакт.=103

Fтабл. < Fфакт. (4,96<103), значит гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод: линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.

 


Задание 3

В табл. 2 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2

Район, а/б Жилая площадь, м2 Площадь кухни, м2 Этаж, средние/крайние Дом, кирпич/панель Срок сдачи, через сколько мес. Стоимость квартиры, тыс. долл
1 17,5 8 1 1 6 17,7
1 20 8,2 1 2 1 31,2
2 23,5 11,5 2 2 9 13,6
1 77 17 2 1 1 56,6
2 150,5 30 2 2 2 139,2
2 167 31 2 1 5 141,5

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

жилая площадь квартиры;

площадь кухни;

этаж (средний или крайний);

тип дома (панельный или кирпичный);

срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки Nmin. Для оценки зависимости y от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x3 + e

где a0 = -196/11,5

a1 = -196/8-10

a2 = 1/196+0,79

a3 = 0,1-1/196

a4 = 196/5 - 16

a5 = 0,12*196

a6 = 1/196-0,4

Какие фиктивные переменные были использованы в модели? Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Найдем минимальный объем выборки Nmin. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

Nmin. = 5 (6+1) = 35

Найдем коэффициенты линейной множественной модели:

a1 = -196/8-10 = -34,5

a2 = 1/196+0,79 = 0,79

a3 = 0,1-1/196 = 0,095

a4 = 196/5 – 16 = 23,2

a5 = 0,12*196 = 23,52

a6 = 1/196-0,4 = -0,39

Получили уравнение регрессии:

y = a0 – 34,55x1 + 0,79x2 + 0,095x3 + 23,2x4 + 23,52x5 -0,39x3 + e

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 34,55% дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,095 %. Квартиры на средних этажах стоят на 0,095 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 23,2 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39%.

Фиктивные переменные – это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).


Задание 4

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье, по данным, приведенным в табл. 2, изобразите графически.

Таблица 2

Месяц Доход, тыс. руб.
Январь 58,33+112* (1/196) = 58,90
Февраль 52+112* (1/196) = 52,57
Март 43,67+112* (1/196) = 44,24
Апрель 41,02+112* (1/196) = 41,59
Май 42,77+112* (1/196) = 43,34
Июнь 50,01+112* (1/196) = 50,58
Июль 56,6+112* (1/196) = 57,17
Август 64,74 + 112* (1/196) = 65,31
Сентябрь 71,04+112* (1/196) = 71,61
Октябрь 73,54+112* (1/196) = 74,11
Ноябрь 72,16+112* (1/196) = 72,73
Декабрь 66,3+112* (1/196) = 66,87

Воспользуйтесь вспомогательной таблицей 3.

Таблица 3

t соs t sin t
0 1,00 0,00
0,523599 0,87 0,50
1,047198 0,50 0,87
1,570796 0,00 1,00
2,0944395 -0,50 0,87
2,617994 -0,87 0,50
3,141593 -1,00 0,00
3,665191 -0,87 -0,50
4,18879 -0,50 -0,87
4,712389 0,00 -1,00
5,235988 0,50 -0,87
5,759587 0,87 -0,50


Решение:

Если мы рассматриваем год как цикл, то n = 12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

a0 = ∑y/n

a1 =2/n ∑y соs t

b1 =2/n ∑y sin t

Составим вспомогательную табл. 4.

Таблица 4

Доход, тыс. руб. соs t y соs t sin t y sin t
58,90 1,00 58,85 0,00 0,00
52,57 0,87 45,69 0,50 26,26
44,24 0,50 22,09 0,87 38,44
41,59 0,00 0,00 1,00 41,54
43,34 -0,50 -21,64 0,87 37,66
50,58 -0,87 -43,96 0,50 25,56
57,17 -1,00 -57,12 0,00 0,00
65,31 -0,87 -56,77 -0,50 -32,63
71,61 -0,50 -35,78 -0,87 -62,26
74,11 0,00 0,00 -1,00 -74,06
72,73 0,50 36,34 -0,87 -63,23
66,87 0,87 58,13 -0,50 -33,41
∑= 699,02 5,83 96,13

Получили:

a0 = 699,02/12 = 58,25

a1 =2/12 *5,83 = 0,97

b1 =2/12 *96,13 = 16,02

Получили

yt = 58,25+0,97 соs t + 16,02 sin t

Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье (табл. 5).

Таблица 5

Месяц t yt
Январь 0 58,25+0,97*1 +16,02 *0 = 59,22
Февраль 0,523599 58,25+0,97*0,87 +16,02 *0,5 = 67,1
Март 1,047198 58,25+0,97*0,5 +16,02 *0,87 = 72,67
Апрель 1,570796 58,25+0,97*0 +16,02 *1 = 74,27
Май 2,0944395 58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *0,87 = 71,7
Июнь 2,617994 58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *0,5 = 65,41
Июль 3,141593 58,25+0,97*(-1) +16,02 *0 = 57,28
Август 3,665191 58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *(-0,5) = 49,40
Сентябрь 4,18879 58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *(-0,87) = 43,82
Октябрь 4,712389 58,25+0,97*(0) +16,02 *(-1) = 42,23
Ноябрь 5,235988 58,25+0,97*(0,5) +16,02 *(-0,87) = 44,79
Декабрь 5,759587 58,25+0,97*(0,87) +16,02 *(-0,5) = 51,08

Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3)

Рисунок 3 – Первая гармоника ряда Фурье

Задание 5

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять ее не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 - на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1,

Где Х1 = (196 – 90)/3

Х2 = (315-196)/5

Х3 = (196 – 90)/4

Требуется:

Построить граф состояний

Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений

Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года

Определить, какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом

Решение:

Найдем значения Х1, Х2 и Х3.

Х1 = (196 – 90)/3 = 35,33

Х2 = (315-196)/5 = 24

Х3 = (196 – 90)/4 = 26,5

Построим граф состояний (рис. 4):

Рисунок 4 – Граф состояний системы

Составим матрицу переходных вероятностей:

||Pij|| =  =

Зададим вектор начальных вероятностей

Р(0) =

Т.е. Р1 (0) = 1

Р2 (0) = 1

Р3(0) = 1

Определим вероятности состояния Рi (k) после первого шага (после первого года):

Р1(1) = Р1(0)Р11 + Р2(0)Р21 + Р3(0)Р31 = 1*0,647 + 1*0 + 1*0,265 = 0,912

Р2(1) = Р1(0)Р12 + Р2(0)Р22 + Р3(0)Р32 = 1*0,353 + 1*0,76 + 1*0 = 1,113

Р3(1) = Р1(0)Р13 + Р2(0)Р23 + Р3(0)Р33 = 1*0+ 1*0,24 + 1*0,735 = 0,975

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

Р1(2) = Р1(1)Р11 + Р2(1)Р21 + Р3(1)Р31 = 0,912*0,647 + 1,113*0 + 0,975*0,265 = 0,848

Р2(2) = Р1(1)Р12 + Р2(1)Р22 + Р3(1)Р32 = 0,912*0,353 + 1,113*0,76 + 0,975*0 = 1,167

Р3(1) = Р1(1)Р13 + Р2(1)Р23 + Р3(1)Р33 = 0,647*0+ 1,113*0,24 + 0,975*0,735 = 0,983

Вывод: через два года 84,8% покупателей будут приобретать продукцию А1, около 98,3 % покупателей – А3, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,67 раза.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.


Список литературы

1.                Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 1995

2.                Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М., Прогресс,1975.

3.                Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьютере. – М., Финансы и статистика,1991.

4.                Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Наука,1987.

5.                Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel : Научно-популярное издание. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2002. – 544 с.

6.                Справочник по математике для экономистов. – М., Высшая школа,1987.

7.                Эконометрика: Методические указания и задания контрольной работы/ Сост. канд.. тех.наук, доцент А.А. Алетдинова. – Новосибирск: СибУПК, 2003.


Информация о работе «Основы решения эконометрических задач»
Раздел: Экономико-математическое моделирование
Количество знаков с пробелами: 15296
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
94674
0
0

... ПО “Уралмаш”, “АвтоВАЗ”, МИИТ, Казахского политехнического института, Донецкого государственного университета и многих других. Затем Институт в качестве Лаборатории эконометрических исследований разрабатывал эконометрические методы анализа нечисловых данных, а также процедуры расчета и прогнозирования индекса инфляции и валового внутреннего продукта. Институт высоких статистических технологий и ...

Скачать
150656
26
5

... несколько уравнений, а в каждом уравнении - несколько переменных. Задача оценивания параметров такой разветвленной модели решается с помощью сложных и причудливых методов. Однако все они имеют одну и ту же теоретическую основу. Поэтому для получения начального представления о содержании эконометрических методов мы ограничимся в последующих параграфах рассмотрением простой линейной регрессии. ...

Скачать
79304
3
0

... что только что проведенное сравнение ранжировок (1) и (2) осуществлено не вполне строго. Ясно, что в эконометрическом инструментарии специалиста по проведению экспертных исследований должен быть алгоритм согласования ранжировок, полученных различными методами. Метод согласования кластеризованных ранжировок Рассматриваемая здесь проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора ...

Скачать
55804
11
2

... Федерации в 1996 году издано Методические рекомендации по планированию, учету и калькулированию себестоимости продукции (работ, услуг) в сельском хозяйстве. [13, с.124] Методические рекомендации призваны обеспечить единство состава и классификации затрат, методов их учета, исчисления себестоимости продукции во всех сельскохозяйственных организациях. Но указанные Методические рекомендации, по ...

0 комментариев


Наверх