Необхідні і достатні умови існування єкстремумів

1.2. Необхідні і достатні умови існування єкстремумів

У даному підрозділі розглянуті теореми, у яких формулюються необхідні і достатні умови існування єкстремумів функції n перемінних . При цьому передбачається, що перша і друга частки похідні  безупинні в кожній крапці X

Теорема I. Якщо крапка Х₀ є екстремальною крапкою функції , то

З теореми 1 випливає, що умова  повинна виконуватися для будь-якої екстремальної крапки, тобто градієнт в екстремальній крапці повинний бути нульовим вектором. Для функції одна перемінної, наприклад, у ця умова записується в такий спосіб

Як було відзначено раніше, отримана умова задовольняється також у крапках перегину і сідлових крапках функції. Отже, воно є необхідним, але недостатнім для ідентифікації єкстремальних крапок. У зв'язку з цим крапки, задовольняючі рівнянню

будемо називати стаціонарними. Наступна теорема встановлює достатні умови для того, щоб Х₀ була екстремальною крапкою.

Теорема 2. стаціонарна крапка Х₀ є екстремальною, коли матриця Гессе Н^В крапці Х₀ виявляється (1) позитивно визначеною (тоді Х₀ – крапка мінімуму); (2) негативно визначеною (тоді Х₀ – крапка максимуму)

Теорема 3. Якщо в стаціонарній крапці в₀ перші (n - 1) похідних функцій  звертається в нуль, а , то при в=у₀ функція  має:

(1) крапку перегину, якщо n – непарне;

(2) екстремальну крапку, якщо n – парне. Екстремальній крапці відповідає максимум при і мінімум при .

1.3. Екстремальні задачі при наявності обмежень у виді рівності

Існує два методи оптимізації при наявності обмежень у виді рівностей. Один з них — метод Якобі. Він являє собою узагальнення симплекса-методу лінійного програмування. Дійсно, усі процедури, зв'язані з реалізацією симплекса-методу, можна обґрунтувати, користаючись методом Якобі. Інший метод, метод множників Лагранжа, тісно зв'язаний з методом Якобі і є його логічним розвитком.

2. АНАЛІЗ ЧУТЛИВОСТІ ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ ЯКОБІ

2.1 Метод Якобі

Метод Якобі може бути використаний для дослідження чутливості оптимального значення f м малим змінам у правих частинах обмеження. Припустимо, наприклад, що в правій частині i-го обмеження gi(x)=0 фігурує величина , а не нуль. Як це відіб'ється на оптимальному значенні f. Дослідження такого роду носять назви аналізу чутливості; вони мають визначену подібність з відповідними процедурами в лінійному програмуванні. Однак слід зазначити, що результати, одержувані при аналізі чутливості в нелінійному програмуванні, справедливі лише для малої околиці екстремальної крапки, і обумовлені можливістю локальної лінеаризації. Проте, знайомство з такими процедурами виявляється корисним при вивченні методу множників Лагранжа. Вище було показано, що

Нехай ; тоді

Підставивши останнє вираження в рівняння для  одержавши рівняння

 що відповідає введеному раніше визначенню. Вираження для (Y,Z) може бути використане при аналізі змін  у припустимій околиці крапки Х⁰, викликуваних такими змінами  і . В екстремальній (точніше, у будь-якій стаціонарній) крапці Хо=(Уо, Zо) приведений градієнт  повинний звертатися в нуль. Таким чином, у крапці Хо справедлива рівність

  чи

Отже, вплив малих змін на оптимальне значення f можна досліджувати шляхом оцінювання швидкості зміни f стосовно змін д. Ці величини звичайно називають коефіцієнтом чутливості.

В екстремальній крапці коефіцієнти  не залежать від конкретного вибору перемінний, формуючий вектор Y. Це обумовлено тим обставиною, що вираження, що визначає коефіцієнти чутливості, не містять Z.

Тому розбивка вектора Х на Y і Z у даному випадку не є істотним чинником. Таким чином, зазначені коефіцієнти залишаються постійними при будь-якому виборі вектора Y. Вище показано, що коефіцієнти чутливості

можна використовувати для дослідження впливу малих змін у правих частинах обмежень на оптимальне значення f. Крім того, було так само відзначене, що ці коефіцієнти є постійними величинами. Перераховані властивості коефіцієнтів чутливості виявляються корисними при рішенні задач з обмеженнями у виді рівностей. Нехай  відкіля .

Це рівняння відбивають необхідні умови стаціонарності крапок, тому що формула  була отримана з урахуванням припущення про те, що . Рівняння можна записати в більш зручній формі, якщо перейти до часток похідним по всім Xj, що приводить до системи  J=1,2…n

Отримані рівняння разом з обмеженнями g=0 дають можливість визначити припустимі вектори х і , що задовольняють необхідні умови стаціонарності.

Похожие работы

Основи стандартизації та сертифікації

Скачать

349442

3

2

... побудови і функціонування системи сертифікації, її структура, функції та порядок виконання цих функцій регламентовані нормативними документами міжнародних організацій із стандартизації і сертифікації, насамперед документами І50, ІЕС, НАС, Європейської співдружності, а також ДСТУ. До правових аспектів сертифікації належать питання поширення відповідальності за спостереженням правил процедури ...