Локальные формации с метаабелевыми группами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Локальные формации с метаабелевыми группами"

ГОМЕЛЬ 2006

Содержание

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

Введение

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.

Формация. Произведение формаций

Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой  и все группы, изоморфные .

Если группа (подгруппа) принадлежат классу , то она называется -группой (-подгруппой).

Определение 1.2. Класс групп  называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из  также принадлежит ;

2) из  всегда следует .

Если формации  и  таковы, что , то  называется подформацией формации .

По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество  всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация  – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс  всех -групп, класс  всех абелевых групп, класс  всех нильпотентных групп, класс  всех -групп ( – фиксированное простое число), класс  всех нильпотентных -групп, класс  всех разрешимых групп, класс  всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.

Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого множества формаций также является формацией;

2) если  – некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения , то объединение  является формацией.

Доказательство осуществляется проверкой.

Определение 1.3. Пусть  – непустая формация. Обозначим через  и назавем - корадикалом группы  пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых .

Очевидно, -корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы  обозначают иначе через  и называют -корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, -разрешимый корадикал, - сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, -корадикал сохраняется при гомоморфизмах.

Лемма 1.2. Пусть  – непустая формация, . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2) если  то

3) если  и , то

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны,

откуда получаем . Из  и  следует равенство . Утверждение 1) доказано.

Пусть  – естественный гомоморфизм группы  на  Очевидно,

откуда следует равенство . В частности, если , то . Лемма доказана.

Определение 1.4. Пусть  и  – некоторые формации. Если , то положим  Если , то обозначим через  класс всех тех групп , для которых  Класс  называется произведением формаций  и .

Из определения 1.4 следует, что произведение формаций  является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций  является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций  причем произведение  уже определено, то  В частности, если  для любого  то мы приходим к понятию степени

Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.

Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.

Лемма 1.3. Пусть  и  – нормальные подгруппы группы . Тогда каждый главный фактор группы  -изоморфен либо некоторому главному фактору группы , либо некоторому главному фактору группы

Доказательство вытекает из рассмотрения -изоморфизма

Теорема 1.2. Пусть  – некоторая формация,  – класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат  Пусть  – объединение формаций  Тогда  – подформация формации

Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что  – формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс  является формацией. Если  – минимальная нормальная подгруппа группы , то по индукции  для некоторого натурального . Но тогда либо , либо  – -корадикал группы . Так как , то отсюда вытекает, что , и теорема доказана.

 

Операции на классах групп

Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.

Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции , примененной к классу  обозначается через  Степень операции  определяется так:  Произведение операций определяется равенствами:

Введем операции  следующим образом:

 тогда и только тогда, когда  вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;

 тогда и только тогда, когда  вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;

 тогда и только тогда, когда  является гомоморфным образом некоторой -группы;

 тогда и только тогда, когда  совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

 тогда и только тогда, когда  имеет нормальные подгруппы  такие, что

 тогда и только тогда, когда  является расширением -группы с помощью -группы;

 тогда и только тогда, когда  имеет нормальную подгруппу  такую, что

Если , то вместо  пишут  Обратим внимание на тот факт, что если  – нормальные подгруппы группы , причем  для любого , то  Заметим еще, что операцию  можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа  прямого произведения  называется подпрямым произведением групп  если проекция  на  совпадает с  Легко видеть, что  тогда и только тогда, когда  есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.

Определение 2.2. Класс  называется замкнутым относительно операции  или, более коротко, - замкнутым, если

Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).

Лемма 2.1. . Если класс групп  содержит единичную группу и -замкнут, то

Доказательство. Относительно операций  и  утверждение очевидно. Пусть  – произвольный класс групп. Ясно, что  Если , то в  найдется нормальная подгруппа  такая, что . Группа  имеет нормальную подгруппу  такую, что  и  Но тогда  Так как , то , а значит,  Таким образом, , что и требуется.

Пусть . Если , то  имеет нормальную -подгруппу  такую, что  Группа  имеет нормальную -подгруппу  такую, что . Так как  и , то из -замкнутости класса  следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.2. Для любого класса  справедливо следующее утверждение:

Доказательство. Если , то  Пусть  Если , то , а значит, . Таким образом, . Пусть . Тогда  имеет такие нормальные подгруппы , что  Группа  имеет такие нормальные подгруппы , что  Так как , то , что и доказывает равенство

Лемма 2.3. Для любого класса  имеет место включение

Доказательство. Если , то . Пусть  и группа  является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию  . Функция  является гомоморфизмом группы  в группу . Ясно, что

есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.

Лемма 2.4.

В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.

Определение 2.3. Класс групп  называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть  непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через  и назовем - радикалом группы  произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы  являются радикальными. -радикал группы  – это ее подгруппа Фиттинга  -радикал обозначают иначе через  и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным;  – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть  и  – формации, причем либо , либо  замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда  – формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть  – некоторое множество групп. Пусть  – пересечение всех тех формаций, которые содержат  класс  называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию  часто обозначают иначе через  Если  то пишут  вместо , причем в этом случае  называют формацией, порожденной группой .

Теорема 2.2. Для любого класса  имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс  является -замкнутым.  есть класс и  по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

Последнее означает -замкнутость класса . Итак,  – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов  группы  выполняются равенства  Если  – подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:

1)

2)  для любого гомоморфизма  группы ; в частности, если группа  из  нормализует  и , то  нормализует и

Лемма 2.6 Пусть  – подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном  выполняется включение:

При  это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если  – такая подгруппа группы , что , то

Доказательство. Пусть  – нильпотентная нормальная подгруппа группы , а  – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения

Очевидно, подгруппа  нормализует  и . Обозначим через  подгруппу группы , порожденную подгруппами . Поскольку проекции  на множители прямого произведения  равны , то . Заметим еще, что , где  нормальна в  и нильпотентна как подпрямое произведение из .

Пусть  – центр подгруппы , . Легко видеть, что , причем  и  поэлементно перестановочны; аналогично,  и  поэлементно перестановочны. Но тогда , абелева и нормальна в . Если , то , где , и если , то , что влечет . Следовательно, . Если  абелева, то , и мы имеем

Предположим теперь, что . Ясно, что . Так как

то  нильпотентна ступени . Так как , то  изоморфна  и имеет ступень , а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание  в  имеет ступень . Так как  нормализует  и , то  нормальна в . Итак, , причем . По индукции

Для группы  и ее нильпотентной нормальной подгруппы  ступени  теорема также верна по индукции. Поэтому

Теорема доказана.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.

Доказательство. Пусть  – подформация формации . Если , то по теореме 2.3 имеет место , что и требуется.

Экраны

Недостатком понятия групповой функции  является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.

Определение 3.1. Отображение  класса  всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы  выполняются следующие условия:

1)  – формация;

2)  для любого гомоморфизма  группы ;

3) .

Из условия 2) вытекает, что экран  принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если  – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией .

Лемма 3.1. Пусть  – экран,  – группа операторов группы ,  – некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если  обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

Пусть . Тогда ряд

будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и -изоморфизмы:

Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;

2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов  является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности , введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы  множество формаций  линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение  является формацией. Тем самым лемма доказана.

Определение 3.2. Экран  назовем:

1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы  и ее силовской p – подгруппы  имеет место ;

2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;

3) локальным, если он является локальной групповой функцией;

4) композиционным, если для любой группы  имеет место , где  пробегает все крмпозиционные факторы группы

5) пустым, если  для любой неединичной группы ;

6) -экраном, если  для любой группы .

-экран при  будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть  и  – непустые формации, причем , а групповая функция  такова, что  для каждой нееденичной примарной группы  и  для любой непримарной группы . Тогда  – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть  – непустая формация, а групповая функция  такова, что для любой нееденичной группы  выполняются условия:

1) , если  не имеет абелевых композиционных факторов;

2) , если  имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда  – композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран , достаточно каждому простому числу  поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы  положить , где  пробегает .

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран , нужно каждой простой группе  поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы  положить , где  пробегает все композиционные факторы группы .

Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;

2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;

3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.

Доказательство. Пусть экран  является пересечением множества экранов . Предположим, что все экраны  являются локальными, т.е. для любых  и  имеет место равенство:

где  пробегает все примарные подгруппы группы . Тогда

а значит,  – локальный экран.

Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.

Доказательство. Пусть  – некоторая цепь экранов,  – ее объединение, . По лемме 3.3 функция  является экраном, причем ясно, что примарная постоянность  влечет примарную постоянность экрана . Предположим, что все  являются однородными экранами. Тогда, если  – любая группа и , то . Следовательно,

что и доказывает однородность экрана .

Экраны формаций

Каждой групповой функции  соответствует формация .

Лемма 3.5.  является непустой формацией для любой групповой функции .

Определение 3.3. Пусть  – некоторая формация. Если  – такой экран, что , то формация  называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что

 – экран формации ,

 имеет экран ,

экран  определяет формацию ,

 определяется экраном .

Формация  имеет единичный экран. Единичная формация  имеет пустой экран.

Определение 3.4. Экран  назовем внутреним, если  – внутреняя групповая функция, т.е.  для любой неединичной группы .

Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.

Доказательство. Пусть  – экран формации . Определим функцию  следующим образом:  для любой группы . Легко видеть, что  – экран, причем . Если  и  – главный фактор группы , то . Так как класс  -замкнут, то , а значит,  -централен в . Таким образом, . Итак, , т.е.  – искомый внутренний экран.

Лемма 3.7. Пусть  – экран формации . Тогда  является экраном формации .

Доказательство. Пусть  – произвольный главный фактор группы . Пусть . Так как , то . Значит, , т.е.  -централен в . Отсюда следует, что .

Обратно, если , то главный ряд группы  будет -центральным для любого , т.е. . Итак, .

Лемма 3.8. Пересечение  любого непустого множества  экранов формации  снова является экраном формации . Кроме того, если в  имеется хотя бы один внутрений экран, то  – внутрений экран.

Доказательство. То, что  – экран формации , непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в  имеется внутренний экран . Тогда  для любой группы . Значит,  – внутренний экран.

Формация с однородным экраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией.

Доказательство. Пусть формация  имеет однородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация  имеет внутренний однородный экран . Построим локальный экран , удовлетворяющий следующему условию:  для любого простого . Тогда  и, следовательно, . Предположим, что формация  обладает группами, не входящими в , и выберем среди всех таких групп группу , имеющую наименьший порядок. Тогда  является единственной минимальной нормальной подгруппой группы . Так как , то для любого  имеет место

Если  неабелева, то  и . Если же  – -группа, то получается, что  -центральна в . А это противоречит тому, что . Теорема доказана.

Локальная формация

Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.

Определение 4.1. Формация  называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Определение 4.2. Пусть  – внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда  называется максимальным внутренним локальным экраном формации .

Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация  имеет единственный максимальный внутренний локальный экран , причем  удовлетворяет следующему условию:  для любого простого числа p.

Определение 4.3. Пусть  – локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации  назавем минимальным локальным экраном формации .

Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.

Доказательство. Пусть  – множество всех локальных экранов формации , причем . Обозначим через  пересечение множества экранов . В множестве  имеется внутренний экран, поэтому  – внутренний экран формации . По лемме 3.4 экран  является локальным. Ввиду леммы 3.8  – искомый экран.

Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация  обладает локальным экраном  таким, что  для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация  имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных -групп. Пусть  – формация всех нильпотентных -групп,  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Очевидно,  – минимальный локальный экран формации .

4. Формация -групп. Пусть  – формация всех -групп,  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Очевидно,  – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация -нильпотентных групп. Пусть  – формация всех -нильпотентных групп ( – фиксированное простое число),  – такой локальный экран, что  для любого простого числа , отличного от . Покажем, что  – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что  -нильпотентна. Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции  -нильпотентна. Если  – -группа, то отсюда следует, что и  -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь  – -подгруппа из , то ввиду  подгруппа  -нильпотентна, а значит, и  -нильпотентна. Тем самым показано, что .

Теорема 5.1. В любой -группе  подгруппа  совпадает с пересечением централизаторов в  всех главных -факторов группы .

Следствие 5.1.1. В любой группе  подгруппа Фиттинга  совпадает с пересечением централизаторов в  всех главных факторов группы .

Следствие 5.1.2. Для любой -разрешимой группы  имеет место включение .

Следствие 5.1.3. (Фиттинг).  для любой разрешимой группы .

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант -сверхразрешимой группы -нильпотентен.

6. Формация -замкнутых групп. Пусть  – формация всех -замкнутых групп ( – некоторое фиксированное множество простых чисел),  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Покажем, что  – экран формации .

Очевидно, . Предположим, что класс  не пуст, и выберем в нем группу  наименьшего порядка. Тогда  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем  не является -группой. Пусть . Так как , то , а значит, . Поэтому  – абелева -группа. Так как  -замкнута, то и  -замкнута, т.е.  имеет нормальную -подгруппу . Ясно, что . Так как , то . Легко видеть, что , а значит, и группа  -замкнута. Тем самым показано, что .

7. Формация -дисперсивных групп. Пусть  – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел,  – формация всех -дисперсивных групп. Покажем, что  локальна.

Рассмотрим всевозможные множества  простых чисел, обладающие следующим свойством:  для всех . Пусть  – формация всех -замкнутых групп. Очевидно, . Так как формации  локальны, то по лемме 3.4 формация  также является локальной.

8. Формация -разрешимых групп. Пусть  – формация всех -разрешимых групп,  – такой локальный экран, что  для любого простого . Нетрудно заметить, что  – максимальный внутрений локальный экран формации . В частности, формация  является локальной.

9. Формация -сверхразрешимых групп. Пусть  – формация всех -сверхразрешимых групп. Обозначим через  формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей . Построим локальный экран  такой, что  для любого  для любого . Покажем, что . Ясно, что . Пусть ,  – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции . Если  – -группа, то  -сверхразрешима. Пусть порядок  делится на некоторое число . Тогда, если , то

Отсюда следует, что  – -группа.

Лемма5.1. Пусть  – некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов -группы  и . Тогда  – циклическая группа порядка, делящего . Кроме того,  – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению .

Доказательство. Будем считать, что  – аддитивная абелева группа. Тогда  можно рассматривать как правое векторное пространство размерности  над полем  из  элементов. Пусть  – коммутативное подкольцо кольца , порожденное элементами  и . Ввиду условия  является неприводимым правым -модулем (определения, связанные с -модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура,  – тело. Так как  коммутативно, то . Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из  замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому  – поле. Так как -модуль  неприводим, то  для любого ненулевого ; но тогда отображение , является -гомоморфизмом -модуля  на . Так как ядро  есть идеал поля , то  – изоморфизм. Следовательно, . Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому  циклическая и  делит .

Пусть  – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению . Тогда  делит . Хорошо известно, что поле  порядка  содержит подполе  порядка . Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и  делит , то . Но тогда  и . Лемма доказана.

10. Формация . Пусть  – непустая формация,  – такой локальный экран, что  для любого простого . Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что  – экран формации . В частности, формации  и  являются локальными формациями.

Пусть  – локальный экран некоторой подформации  из . Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что  является локальным -экраном формации . Таким образом, каждая локальная подформация формации  имеет внутренний локальный -экран. В частности, любая локальная подформация формации  имеет внутренний локальный -экран.

Локальные формации с заданными свойствами

Пусть  – некоторая операция,  – локальный экран формации . Естественно возникают два вопроса:

1) Будет ли  -замкнутой, если  -замкнута для любого простого ?

2) Будет ли  -замкнутой для любого простого , если  -замкнута?

Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.

Теорема Слепова 1 Пусть  – некоторый класс групп,  – максимальный внутренний локальный экран формации ,  – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если , то ;

2) если , то .

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть  – одна из операций , . Предположим, что . Пусть  – (нормальная) подгруппа группы  и . Рассмотрим регулярное сплетение , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Ошибка! . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

Пусть . Так как  и , то

для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 (Ошибка!) подгруппа  является -группой. Так как  и формация  является по теореме 3.3 Ошибка! -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация  -замкнута (-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация  -замкнута (соответственно -замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что  -замкнута (-замкнута). Полагая  и применяя теорему 1, мы получаем, что  -замкнута (-замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого  формация  является -замкнутой (-замкнутой). Пусть  – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то  обладает -центральным главным рядом

Пусть . Так как

то , где . Пусть . По условию  и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

является -центральным рядом группы . Теорема доказана.

Для любого натурального числа  -замкнутый класс  содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения  нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп  назовем слабо -замкнутым, , если  содержит всякую группу , имеющую  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если  и  – подгруппы группы  причем  и  взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3 Пусть  – локальный экран формации  и пусть для некоторого натурального числа  выполняется следующее условие: для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является слабо -замкнутой. Тогда  слабо -замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу  наименьшего порядка. Таким образом,  не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы  с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы  неединичны.

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . В  подгруппы  имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для  теорема верна, то . Ясно, что  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем  и  для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где  пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть . Тогда  неабелева и . Отсюда и из единственности  вытекает, что . Но тогда  и, следовательно,  можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла  нильпотентна. Так как  к тому же нормальна в , то . Но тогда  для любого , а так как формация  слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как  и по условию . Получили противоречие.

Случай 2. Пусть . Тогда  входит в  и является -группой. Так как , то  абелева. Пусть  – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10  является -группой. Но тогда и  является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что  для любого . Но тогда , так как  слабо -замкнута. Последнее означает, что  -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 4 Пусть группа  имеет две нормальные -сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда  -сверхразрешима.

Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы 3 при .

Следствие 5 Пусть группа  имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда  сверхразрешима.

Теорема Слепова 6 Пусть формация  имеет такой локальный экран , что для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является -замкнутой. Тогда  -замкнута.

Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы 3.

Теорема Слепова 7 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация  -замкнута (слабо -замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация  -замкнута (соответственно слабо -замкнута).

Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 3 и 6. Пусть  -замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где  – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .

Пусть , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Ошибка!  для любого . Так как  -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если  – пересечение централизаторов в  всех -главных факторов группы , то

Так как , то по лемме 3.10 подгруппа  является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8 Пусть , , . Тогда . В частности, если  и , то  непростая.

Доказательство. Из равенства  следует, что

Следовательно, . Отсюда, ввиду  для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9 Группа  разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа  имеет разрешимые подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть  – минимальная нормальная подгруппа из . Так как  разрешима, то ,  – простое число. Ввиду условия теоремы,  не делит одновременно  и . Пусть, для определенности,  не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из  является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как  и , то по лемме 8 . Таким образом,  – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. По индукции  разрешима, но тогда и  разрешима. Теорема доказана.

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп  называется -замкнутым ( – натуральное число), если  содержит всякую группу , имеющую  -подгрупп, индексы которых в  при  попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация -замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10 Пусть  и  – -замкнутые классы групп. Тогда  также -замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11 Пусть формация  содержится в  и -замкнута, . Тогда формация  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в  попарно взаимно просты. Так как , то по теореме 9 группа  разрешима. При любом гомоморфизме группы  образы подгруппы  принадлежат  и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал  группы  является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что  является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга  группы  также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому  содержится по крайней мере в  подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как  является -группой, то  и  поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия Ошибка! вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12 Пусть  – такой локальный -экран формации , что для любого простого  формация  -замкнута, . Тогда  -зaмкнута.

Доказательство. Так как  – -экран, то  для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 Ошибка! . Если , то  и  -замкнута; если же , то по лемме формация  -замкнута. В любом случае  -замкнута. По лемме  -замкнута. Применяя лемму 10, мы видим, что и формация  -замкнута. Теорема доказана.

Так как формация  имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы 12 при , то мы получаем

Следствие Кегель 13 Группа  нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14 Класс всех -замкнутых групп -замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы 9.

Лемма 15 Каждая формация нилъпотентных групп является -замкнутой.

Доказательство. Пусть  – некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию 13 группа  нильпотентна. Если  – наивысшая степень простого числа , делящая , то  делит  для некоторого , так как  не может делить одновременно индексы всех подгрупп ,  и . Если  делит , то силовская -подгруппа  из  входит в  и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы  являются -группами. Так как  – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16 Пусть  – некоторый -замкнутый гомоморф -замкнутых групп. Тогда класс  -замкнут.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. По лемме 14  имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку  является силовской -подгруппой в  и  – гомоморф, то . В группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости  имеем . Лемма доказана.

Лемма 17 Для любого простого  и любой формации нильпотентных групп  класс  является -замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме 15 класс  -замкнут. По лемме 16 класс  -замкнут и по теореме 1.1 Ошибка! является формацией.

Теорема 18 Пусть  – локальная подформация формации ,  – максимальный внутренний локальный экран формации . Если для любого простого  формация  -замкнута, , то  -замкнута.

Доказательство. Пусть . Ввиду теоремы 3.3 Ошибка! и леммы 4.5 Ошибка!, . Формация  -замкнута. По лемме 10 формация  -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть  – локальная подформация формации .  имеет внутренний локальный -экран . Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3 для любого простого  имеет место равенство . Так как , то по лемме 17 формация  -замкнута. Тогда по теореме 18 формация  -замкнута. Теорема доказана.

Следствие Дрк 20 Пусть группа  имеет четыре сверхразрешимые подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты. Тогда  сверхразрешима.

Заключение

В данной курсовой работе мы дали определение формации, произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились с понятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации  формации  всех групп с нильпотентным коммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.

Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теории формаций.

Литература

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.

2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.:Наука, 1969.

3 Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.

4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука», 1978.