Математическая статистика

Министерство образования и науки Российской Федерации.

Федеральное агентство по образованию.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования.

Самарский государственный технический университет.

Кафедра высшей математике

Курсовая работа

студент

руководитель:  .

ассистент: Н.

Самара

2004 г.

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.

Таблица 1

Х	Y	X	Y	X	Y	X	Y
70	60	97	62	27	25	57	35
73	60	96	85	43	25	60	34
80	55	67	34	24	19	92	85
41	30	80	80	24	20	93	75
56	25	82	78	27	19	100	65
103	92	90	80	100	90	120	115
104	92	120	92	101	110	120	90
104	114	115	115	102	112	92	75
93	62	123	115	145	118	123	112
118	115	127	120	150	118	123	100
121	92	127	117	150	119	96	72
117	92	130	120	150	120	130	119
112	110	135	125	131	120	142	119
96	78	153	125	132	142	142	140
127	120	153	142	202	175	145	144
130	125	153	135	202	173	157	150
130	140	153	145	205	202	180	180
130	119	162	172	180	202	180	200
150	140	165	165	188	225	180	175
140	120	165	150	210	220	180	190
140	125	165	146	221	225	200	200
162	170	170	152	225	220	200	175
155	170	170	165	225	230	240	228
157	160	154	170	227	232	240	232
157	165	154	165	237	232	132	140

1) Находим, что

 

Тогда длина интервала группирования

- число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,

2) Находим границы величины

,

3) Находим значение представителей

- середина i-того интервала.

4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения  (рис. 2)

а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной , основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь i-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в i-тый интервал.

Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала i, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала , числами значений в i-том интервале , накопленной частоты , относительной частоты , накопленной относительной частоты . Число строк таблицы равно числу интервалов r.

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки , причём при  , и при

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения

5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений  и . Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам

 

6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:

7) Определяем коэффициент вариаций

8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам

При заданной доверительной вероятности  по таблицам распределения Стьюдента , поэтому имеем

9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Х равно

10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н₀ о подчинении случайной величины Х нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции  и  составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины , определяем функцию Лапласа , значения функции распределения на концах отрезков  и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле

11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F(x), значения которой найдены на концах интервалов.

Рис. 3. Эмпирическая , теоретическая  функция распределения.

12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность  попадания опытных данных в i-тый интервал от  до на основе полученных значений функции  на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами  и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность  распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .

13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова:

Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 3) наблюдается в точке, близкой к представителю . Тогда

Вычисляем величину

где r – объём выборки из представителей интервалов

, следовательно . Так как , поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.

б) Для вычисления  таблицу 3 дополняем промежуточными результатами ,, . Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда . Получаем, что

 

Для нормального закона распределения . Тогда число степеней свободы . При  имеем . Поэтому гипотеза по критерию  Пирсона принимается.

14) Составляем точечную диаграмму в декартовой (рис. 5) системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение , а по оси ординат - . Пары значений  представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину  интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми – длину интервала  по оси ординат.

15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции

16) Находим

Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:

На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек  на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.

Таблица 2

№ интервала
1	24	34,8	6	6	0,06	0,06	208,8	-99,36	9872,41	59234,46
2	45,6	56,4	4	10	0,04	0,1	225,6	-77,76	6046,618	24186,47
3	67,2	78	5	15	0,05	0,15	390	-56,16	3153,946	15769,73
4	88,8	99,6	16	31	0,16	0,31	1593,6	-34,56	1194,394	19110,3
5	110,4	121,2	21	52	0,21	0,52	2545,2	-12,96	167,9616	3527,194
6	132	142,8	15	67	0,15	0,67	2142	8,64	74,6496	1119,744
7	153,6	164,4	13	80	0,13	0,8	2137,2	30,24	914,4576	11887,95
8	175,2	186	6	86	0,06	0,86	1116	51,84	2687,386	16124,31
9	196,8	207,6	7	93	0,07	0,93	1453,2	73,44	5393,434	37754,04
10	218,4	229,2	7	100	0,07	1	1604,4	95,04	9032,602	63228,21
11	240
	Сумма		100		1		13416			251942,4

Таблица 3

№ интервала
1	24	-2,18368	-0,4854	0,0146	0,0255	2,55	3,8025	0,224336
2	45,6	-1,75551	-0,4599	0,0401	0,0517	5,17
3	67,2	-1,32733	-0,4082	0,0918	0,0923	9,23
4	88,8	-0,89916	-0,3159	0,1841	0,1351	13,51	6,2001	0,458927
5	110,4	-0,47099	-0,1808	0,3192	0,1648	16,48	20,4304	1,239709
6	132	-0,04282	-0,016	0,484	0,164	16,4	1,96	0,119512
7	153,6	0,385355	0,148	0,648	0,143	14,3	1,69	0,118182
8	175,2	0,813527	0,291	0,791	0,1015	10,15	17,2225	1,696798
9	196,8	1,241699	0,3925	0,8925	0,06	6	25,8064	2,893094
10	218,4	1,669871	0,4525	0,9525	0,0292	2,92
11	240	2,098043	0,4817	0,9817

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.

Таблица 1

Х	Y	X	Y	X	Y	X	Y
70	60	97	62	27	25	57	35
73	60	96	85	43	25	60	34
80	55	67	34	24	19	92	85
41	30	80	80	24	20	93	75
56	25	82	78	27	19	100	65
103	92	90	80	100	90	120	115
104	92	120	92	101	110	120	90
104	114	115	115	102	112	92	75
93	62	123	115	145	118	123	112
118	115	127	120	150	118	123	100
121	92	127	117	150	119	96	72
117	92	130	120	150	120	130	119
112	110	135	125	131	120	142	119
96	78	153	125	132	142	142	140
127	120	153	142	202	175	145	144
130	125	153	135	202	173	157	150
130	140	153	145	205	202	180	180
130	119	162	172	180	202	180	200
150	140	165	165	188	225	180	175
140	120	165	150	210	220	180	190
140	125	165	146	221	225	200	200
162	170	170	152	225	220	200	175
155	170	170	165	225	230	240	228
157	160	154	170	227	232	240	232
157	165	154	165	237	232	132	140

1) Находим, что

 

Тогда длина интервала группирования

- число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,

2) Находим границы величины

,

3) Находим значение представителей

- середина j-того интервала.

4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения  (рис. 2)

а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной , основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь j-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в j-тый интервал.

Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала j, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала , числами значений в j-том интервале , накопленной частоты , относительной частоты , накопленной относительной частоты . Число строк таблицы равно числу интервалов r.

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки , причём при  , и при

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения

5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений  и . Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам

 

6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:

7) Определяем коэффициент вариаций

8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам

При заданной доверительной вероятности  по таблицам распределения Стьюдента , поэтому имеем

9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Y равно

10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н₀ о подчинении случайной величины нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции  и  составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины , определяем функцию Лапласа , значения функции распределения на концах отрезков  и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле

11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F(y), значения которой найдены на концах интервалов.

Рис. 3. Эмпирическая , теоретическая  функция распределения.

12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность  попадания опытных данных в j-тый интервал от  до на основе полученных значений функции  на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами  и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность  распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .

13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова

Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 2) наблюдается в точке, близкой к представителю . Тогда

Вычисляем величину

где r – объём выборки из представителей интервалов

, следовательно . Так как , поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.

б) Для вычисления  таблицу 3 дополняем промежуточными результатами ,, . Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда . Получаем, что

 

Для нормального закона распределения . Тогда число степеней свободы . При  имеем . Поэтому гипотеза по критерию  Пирсона принимается.

14) Составляем точечную диаграмму в декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение , а по оси ординат - . Пары значений  представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину  интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми – длину интервала  по оси ординат.

15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции

16) Находим

Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:

На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек  на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.

Таблица 2

№ интервала
1	19	29,65	10	10	0,1	0,1	296,5	-93,933	8823,408	88234,08
2	40,3	50,95	3	13	0,03	0,13	152,85	-72,633	5275,553	15826,66
3	61,6	72,25	10	23	0,1	0,23	722,5	-51,333	2635,077	26350,77
4	82,9	93,55	10	33	0,1	0,33	935,5	-30,033	901,9811	9019,811
5	104,2	114,85	26	59	0,26	0,59	2986,1	-8,733	76,26529	1982,898
6	125,5	136,15	10	69	0,1	0,69	1361,5	12,567	157,9295	1579,295
7	146,8	157,45	7	76	0,07	0,76	1102,15	33,867	1146,974	8028,816
8	168,1	178,75	10	86	0,1	0,86	1787,5	55,167	3043,398	30433,98
9	189,4	200,05	4	90	0,04	0,9	800,2	76,467	5847,202	23388,81
10	210,7	221,35	10	100	0,1	1	2213,5	97,767	9558,386	95583,86
11	232
	Сумма		100		1		12358,3			300429

Таблица 3

№ интервала
1	19	-1,89849	-0,4713	0,0287	0,0368	3,68	8,4681	0,421508
2	40,3	-1,51183	-0,4345	0,0655	0,0659	6,59
3	61,6	-1,12517	-0,3686	0,1314	0,0982	9,82
4	82,9	-0,73852	-0,2704	0,2296	0,1336	13,36	11,2896	0,84503
5	104,2	-0,35186	-0,1368	0,3632	0,1488	14,88	123,6544	8,310108
6	125,5	0,034799	0,012	0,512	0,1508	15,08	25,8064	1,7113
7	146,8	0,421457	0,1628	0,6628	0,1282	12,82	33,8724	2,642153
8	168,1	0,808114	0,291	0,791	0,092	9,2	30,6916	1,6626
9	189,4	1,194772	0,383	0,883	0,0599	5,99
10	210,7	1,58143	0,4429	0,9429	0,0327	3,27
11	232	1,968087	0,4756	0,9756
	Сумма							13,5927