Математическая статистика

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Литература

Задание 1. Исследовать сходимость рядов:

а)

 

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится.

б)

 

Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:

p ===

== =5

Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

Решение:

Рассмотрим ряд из модулей:

Сравним его с рядом

Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:

Ряд  исследуем при помощи интегрального признака:

т.е. ряд  расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница

|=

Задание 3. Найти область сходимости ряда:

Решение:

Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :

Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором

 

Следовательно, полученный ряд расходится.

Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:

Значит, полученный ряд сходится.

Областью сходимости заданного ряда является промежуток .

Задание 4. Вычислить с точностью

ε = 0,001  .

Решение:

Так как 8³ является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых:

520 = 8³ + 8.

Тогда

 =  = 8 = 8(1+0,001562)^1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,

  8 + 0,0416  8,0416

Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла  дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:

Решение:

Воспользуемся разложением

Так как по условию х = 0, то будем иметь

Найдем коэффициенты при х:

 ;

 ,  .

Подставляя найденные значения в формулу, получим

Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Решение:

Определимся с событием:

А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.

Вероятность этого события:

Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний:

Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А :

Тогда, искомая вероятность равна:

 

Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное?

Решение:

Определимся с событиями:

А₁ – выбор доброкачественного изделия из первой партии,

выбор бракованного изделия из первой партии,

А₂ – выбор доброкачественного изделия из второй партии,

выбор бракованного изделия из второй партии.

Тогда

.

а) А – хотя бы одно изделие бракованное.

б) В – оба изделия бракованные.

.

в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.

.

Задание 9. Из 1000 ламп п_i принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3,  В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

Решение:

Так как , то

 

Определимся с событиями:

А – выбрана бракованная лампа;

выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.

Найдем вероятности событий В_i :

п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,

Найдем вероятности события А при условии, что события B_i ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий :

По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность:

Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет т_i% изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода n_i % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом.

.

Решение:

Определимся с событиями:

А – купленное изделие первосортное;

изделие выпущено i-ым заводом, .

Запишем вероятности событий В_i :

Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:

Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:

Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:

 

k₁ = 75;

k₂ = 90

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :

где Ф(х) – функция Лапласа,

Найдем х₁ и х₂ :

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , получим

.

По таблице найдем :

Искомая вероятность

 

Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х₁ и х₂ , причем . Известна вероятность р₁ = 0,7 возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

 

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х₂ равна

р₂ = 1 – р₁ = 1 – 0,7 = 0,3.

Запишем закон распределения ДСВ Х :

Х	х1	х2
р	0,7	0,3

Для нахождения значений х₁ и х₂ составим систему уравнений и решим ее:

 или ;

 или

7x₁²+  =19 (x 3)

70x₁²-182x₁+112 = 0

По условию задачи . Следовательно, задаче удовлетворяет только решение , и искомый закон распределения будет иметь вид:

Х	1	2
р	0,7	0,3

Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется найти:

а) функцию плотности распределения ;

б) математическое ожидание ;

в) дисперсию ;

г) среднее квадратическое отклонение .

Построить графики функций  и .

 

Решение:

а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х :

б) Найдем математическое ожидание НСВ Х :

в) Найдем дисперсию НСВ Х :

г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х :

График функции распределения:

График функции плотности распределения:

Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется:

а) найти распределение относительных частот;

б) построить полигон относительных частот;

в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.

xi	1	3	4	6	7
ni	20	10	14	6	10

 

Решение:

а) Найдем объем выборки:

Относительные частоты определяем по формуле :

Запишем распределение относительных частот :

xi	1	3	4	6	7
wi	0,33	0,17	0,23	0,1	0,17

Контроль:

б) Построим полигон относительных частот:

в) Эмпирическая функция

где  число вариант, меньших х ;

п – объем выборки, может быть представлена в виде:

Тогда, искомая эмпирическая функция будет иметь вид :

Строим график функции

г) Несмещенной оценкой математического ожидания в генеральной совокупности является выборочная средняя:

Найдем эту оценку:

x_в =  (1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) = = 3,53;

Несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия:

 

где D_B – выборочная дисперсия.

Найдем выборочную D_В :

=

=  (400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;

Найдем исправленную дисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии:

Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее квадратическое отклонение:

.

Найдем эту оценку:

.

Задание 14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице

Х Y	7	14	21	28	35	42
10	5	1	-	-	-	-
15	-	6	5	-	-	-
20	-	-	6	35	9	-
25	-	-	8	9	2	-
30	-	-	-	7	1	6

 

Решение:

□ Определим частоты , т.е. суммы частот появления значений у в каждой строке таблицы. Аналогично, найдем частоты . Очевидно, что , т.е. суммы частот равны объему выборки. В результате получим таблицу:

Х Y	7	14	21	28	35	42	ny
10	5	1	-	-	-	-	6
15	-	6	5	-	-	-	11
20	-	-	6	35	9	-	50
25	-	-	8	9	2	-	19
30	-	-	-	7	1	6	14
nx	5	7	19	51	12	6	n=100

Уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

,

где выборочный коэффициент корреляции.

Найдем значения параметров выборочного уравнения линии регрессии:

;

;

;

;

;

;

;

.

Подставляем полученные значения параметров в выборочное уравнение регрессии:

.

Тогда выборочное уравнение регрессии примет окончательный вид:

.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 506с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986. – 415с.

3. Доценко А.Д., Нагулин Н.И. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика” (Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. – 38с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.