Математические методы в теории принятия решений

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Институт бизнеса и делового администрирования

Кафедра: ММЛ

Курсовая работа

по дисциплине:

"Математические методы в теории принятия решений"

Выполнил:

студент 4 курса З/О

47 А группы

Кулахметов Д.А.

Проверил:

Розен В.В.

Саратов 2006

Содержание

Введение

Принятие решения по многим критериям (многокритериальная оптимизация)

Учет неопределенных пассивных условий

Заключение

Список используемой литературы

Введение

В настоящее время мы все чаще начинаем задавать себе вопрос: "Как применить математические методы расчета в бизнесе, предпринимательстве, производстве, да и просто в жизни"? Как добиться "теоретической подкованности" в решении многих возникающих перед нами задач? Как рассчитать процент мешающей делу конкуренции и вычислить долю успеха в наших, суперначинаниях, когда, порой на карте стоит благополучие всей семьи? Как снизить вероятные промахи до минимума? Оказывается, на самом деле, сделать это довольно просто.

Цель этой курсовой работы будет не только заключаться в теоретическом доказательстве, но и будут сделаны реальные практические расчеты и вычисления, применяемые нами в предпринимательском деле. В большинстве теоретических задачах речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащих неопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Однако, из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается за человеком (ЛПР). Мы рассмотрим действие теории математических решений, целесообразность применения критериев Вальда, Лапласа, Гурвица, Сэвиджа, для каждого случая, научимся действовать практически разумно, найдем их плюсы и минусы, а также будет доказана суть всей работы и эффективность применения их в различных ситуациях. Для нас этот вопрос является "Архиважным", потому что стремительно развивающий российский рынок не прощает ошибок и мы обязаны доказать главную суть применения математики на практике.

Принятие решения по многим критериям (многокритериальная оптимизация)

В экономических задачах основными критериями служат экономическая эффективность и стоимость при этом каждый из этих критериев может быть подразделен на более частные критерии.

Если исходы оцениваются по m критериям, где m > 1, то такая задача принятия решения называется многокритериальной.

Основная сложность логического анализа многокритериальных задач: эффект несравнимости исходов.

Несравнимость исходов является формой неопределенности, которая связана со стремлением принимающего решения "достичь противоречивых целей".

Математическая модель ЗПР при многих критериях может быть представлена в виде (D; f1,…,f m), где D - некоторое множество допустимых исходов, f1 - числовая функция, заданная на множестве D, при этом f1 (a) - оценка исхода a по j - му критерию.

Критерий f j называется позитивным, если принимающий решение стремится к его увеличению, и негативным, если он стремится к его уменьшению.

В многокритериальной ЗПР с позитивными критериями цель принимающего решение: получение исхода, имеющего как можно более высокие оценки по каждому критерию.

Для всякого исхода a є D набор его оценок по всем критериям, т.е. (f1 (a),…,fm (a)) есть векторная оценка исхода a. Векторная оценка исхода содержит полную информацию о ценности этого исхода для принимающего решение и сравнение любых исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

Основное отношение, по которому производится сравнение векторных оценок - это отношение доминирования по Парето.

Определение: говорят, что векторная оценка y = (y1,…,ym) доминирует по Парето векторную оценку y´= (y1´,…,ym´), если каждого j =1,…,m выполняется неравенство y ≥ y´, причем, по крайней мере, для одного индекса неравенство должно быть строгим.

Определение: векторная оценка y* называется Парето-оптимальной в некотором множестве векторных оценок, если она является максимальным элементом этого множества относительно Парето-доминирования (т.е. если в этом множестве не существует такой векторной оценки, которая доминирует по Парето векторную оценку y*).

Перенесём теперь эти понятия на исходы.

Определение: говорят, что исход a1 доминирует по Парето исход a2, если векторная оценка исхода a1 доминирует векторную оценку исхода a2.

Определение: исход a*є D называется Парето-оптимальным исходом в множестве D, если он не доминирует по Парето никаким другим исходом их множества D (т.е. если векторная оценка исхода a* является Парето-оптимальной в множестве векторных оценок).

Парето-оптимальность исхода a* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Перейдем к проблеме оптимальности для многокритериальных ЗПР. Сформулировать единый принцип для класса таких задач не представляется возможным, так как понятие векторного оптимума не определено. Укажем вначале необходимое условие оптимальности: если исход a*є D не является Парето-оптимальным. Он не может "претендовать на роль" оптимального исхода. Однако в типичных случаях Парето-оптимальных исходов может быть несколько.

Общая методика исследования ЗПР на основе математического моделирования может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной ЗПР находится множество Парето - оптимальных исходов. А выбор конкретного оптимального исхода из этого множества предоставляется принимающему решение.

Второй подход. Производится сужение множества Парето-оптимальных исходов с помощью формальных процедур, что облегчает окончательный выбор исхода для принимающего решения.

Рассмотрим некоторые простейщие способы сужения Парето-оптимального множества.

Указание нижних границ критериев.

Дополнительная информация об оптимальном исходе a*є D в этом случае имеет следующий вид fj (a*) ≥yj j =1,…,m

При указании нижних границ критериев оптимальным может считаться только такой Парето-оптимальный исход, для которого оценка по каждому из критериев j =1,…,m не ниже назначенной оценки fj. Таким образом, происходит сужение Парето-оптимального множества за счет условия. Окончательный выбор Парето-оптимального исхода производится из суженного Парето-оптимального множества принимающего решение.

Основной недостаток состоит в том, что оптимальное решение становится субъективным, так как зависит от величины назначенных границ критериев и от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.

Субоптимизацию производят следующим способом: выделяют один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.

Всякие задачи принятия решения является:

Альтернативы (варианты, планы, допустимые альтернативы)

Исходы (Результаты)

Оптимальные решения (Наилучшие решения)

Математическая модель ЗПР включает в себя формальное описание этих компонентов.

X - множество допустимых альтернатив

A - множество возможных исходов

В математической модели ЗПР: а) реализационная структура

б) целевая структура.

Реализационная структура устанавливает связь между альтернативами и исходами. Следует иметь в виду, что в общем случае выбор той или иной альтернативы не определяет получающий исход: он зависит также от других факторов. Чаще всего связь между альтернативой и исходом устанавливается с помощью среды и введением дополнительной компоненты Y - множество всех состояниях среды. Среда это то, что при выбранной альтернативе определяет однозначно результат.

Определение: Функция реализация это отображение каждой пары вида (x,y) єX,Y.

где x альтернатива (xєX)

y состояние среды (yєY)

отображение каждого вида ставит в соответствии её исход.

(x,y) →a

По характеру организационной структуры все задачи делятся на три вида:

1. Принятие решений в условиях определенности характеризуется тем, что принимающий решение знает состояние среды.

2. Принятие решений в условиях неопределенности характеризуется тем, что принимающий решение не знает состояние среды, но знает множество всех сред.

3. Принятие решений несет информацию о вероятных появлений тех или иных состояний среды, тогда говорят что принятие решений происходит в условиях риска.

Компонента ЗПР.

Целевая структура ЗПР дает оценку исходов с точки зрения принимающего решения. Эта оценка представляет функция: φ: A→ΙR каждому исходу ставится число в соответствии оценки с точки зрения принимающего решения. В экономике в качестве оценки выступает прибыль, доход, но не всегда. Время выполнение какого-нибудь проекта, доля рынка завоевание фирмой.

Компонента φ ·F есть функция которая каждой паре вида (x,y) ставит в соответствии число-оценку исхода F (x,y).

Компонента действует последовательно!

φ ·F (x,y) = φ (F (x,y)) - есть число, которое является оценкой ситуации (x,y).

Принятие решений в условиях определенности.

При принятие решений в условиях определенности состояние среды известно, поэтому мы его исключаем из вопроса. Оценочная функция задается сразу на множестве их допустимых альтернатив и представляет собой числовое значение: f׃ x→R

f (x) Оценка альтернативы x (с точки зрения принимающего решение)

оценка альтернативы есть некоторый критерий, который может быть позитивным и негативным.

Позитивный критерий такой, каким мы хотим увеличить, а негативный наоборот, уменьшить. Принцип оптимальности алтернативы называется оптимальной если она максимизирует позитивный критерий (или миминизирует негативный).

x*єx ↔f (x*) =maxf (x) позитивный критерий

xєX

f (x*) =minf (x) негативный критерий

xєX

Учет неопределенных пассивных условий

Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

о вероятности появления состояния V_j ничего не известно;

с появлением состояния V_j необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

не допускается никакой риск.

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

вероятность появления состояния V_j известна и не зависит от времени;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

,

где r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

При r = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r = 0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления состояния V_j ничего не известно;

с появлением состояния V_j необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления состояния V_j ничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.

Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние

субъективного фактора. Кроме того, в области технических задач различные критерии часто приводят к одному результату.

Критерий наиболее вероятного исхода.

Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.

Задание 1

Найти оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице эффективностей:

Среда Варианты	В1	В2	В3	В4
А1	10	8	4	11
А2	9	9	5	10
А3	8	10	3	14
А4	7	7	8	12

Таблица эффективностей

Решение:

	В1	В2	В3	В4	Критерий Вальда	Крит. Лапласа	Критерий Гурвица
А1	10	8	4	11	4	8,25	5,4 8,9
А2	9	9	5	10	5	8,25	6 8,5
А3	8	10	3	14	3	8,75	5,2  10,7
А4	7	7	8	12	7	8,5	8 10,5
	10	10	8	14

Критерий Лапласа:

L (1) =1/4*33=8,25

L (2) =1/4*33=8,25

L (3) =1/4*35=8,75

L (4) =1/4*34=8,5

Вывод: по критерию Лапласа оптимальным решением являет выбор 3 типа электростанции.

Критерий Вальда: по критерию Вальда оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Критерий Гурвица:

Н (1) =0,8*4+ (1-0,8) *11=5,4

Н (2) =0,8*5+ (1-0,8) *10=6

Н (3) =0,8*3+ (1-0,8) *14=5,2

Н (4) =0,8*7+ (1-0,8) *12=8

Н (1) =0,3*4+ (1-0,3) *11=8,9

Н (2) =0,3*5+ (1-0,3) *10=8,5

Н (3) =0,3*3+ (1-0,3) *14=10,7

Н (4) =0,3*7+ (1-0,3) *12=10,5

Вывод: по критерию Гурвица оптимальным решением является выбор 3 и 4 типа электростанции.

Критерий Сэвиджа:

	В1	В2	В3	В4	Критерий Сэвиджа
А1	0	2	4	3	4
А2	1	1	3	4	4
А3	2	0	5	0	5
А4	3	3	0	2	3

Вывод: по критерию Сэвиджа оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Ответ: оптимальное решение - выбор 4 электростанции.

Задание 2

Найти оптимальное решение задачи о бурении нефтяной скважины по критерию математического ожидания с учетом результата эксперимента:

Состояние скважины	Тип грунта
	Открытый	Замкнутый
С	50	2
М	8	10
Б	12	28

Таблица результатов сейсморазведок

	С	М	Б
Х	-50	30	250
Х	0	0	0

Таблица прибылей

Решение:

Х₁ - бурить; Х₂ - не бурить.

Р (С) =0,52; Р (М) =0,18; Р (Б) =0,4

Состояние скважины	Тип грунта		Всего
	Открытый	Замкнутый
С	50	2	52
М	8	10	18
Б	12	28	40
Всего	70	40	110

Построенное дерево определяет игру руководителей группы с природой. Найдем вероятность каждого хода.

Р (А) =Р (А∩В)

Р₀ (С) =Р (С∩О) /Р (О) =0,5/0,7=0,71

Р₀ (М) =Р (М∩О) /Р (О) =0,08/0,7=0,11

Р₀ (Б) =Р (Б∩О) /Р (О) =0,12/0,7=0,17

Р₃ (С) =Р (С∩З) /Р (З) =0,02/0,4=0,05

Р₃ (М) =Р (М∩З) /Р (З) =0,1/0,4=0,25

Р₃ (Б) =Р (Б∩З) /Р (З) =0,28/0,4=0,7

а=а₁*р₁+а₂*р₂+а₃*р₃

b=max{b₁,b₂,b₃}

а=-50*0,52+30*0,18+250*0,4=-26+5,4+100=79,4

а=-50*0,71+30*0,11+250*0,17=-35,5+3,3+42,5=20,3

а=-50*0,05+30*0,25+250*0,7=-2,5+7,5+175=180

Задание 3.

При выборе квартиры в качестве существенных признаков взяты: Р₁ - метраж (м²), Р₂ - время поездки на работу (мин), Р₃ - время поездки в зону отдыха (мин).

а) найти варианты, оптимальные по Парето;

б) найти единственный оптимальный вариант методом субоптимизации, назначив верхние границы по критериям Р₁ и Р₂.

Критерии Варианты	Р1	Р2	Р3
1	45	30	20
2	60	40	30
3	42	20	10
4	45	30	15
5	48	45	25

Таблица критериев

Решение:

	Р1	Р2	Р3
1	45	30	20
2	60	40	30
3	42	20	10
4	45	30	15
5	48	45	25

а) варианты, оптимальные по Парето: 1>4

б) р₁ - не менее 45

р₂ - не более 30

Вывод: оптимальным вариантом при выборе квартиры является 4 вариант.

Ответ: вариант 4

Заключение

Применение математических методов в бизнесе и конкурентной борьбе за выживание (процветание) производства стало неотъемлемой частью российской экономике и с каждым годом становится все прогрессивнее. Мы доказали практической частью работы, что это возможно, этим надо пользоваться и научиться внедрять теории Лапласа и других в управление и способы исследования рынка сбыта и производства. Времена "простой коммерции" давно забылись и мы, будучи людьми образованными, обязаны применять свои знания и главные постулаты на практике. Математические методы применимы не только в экономике, конечно, ими удобно пользоваться и обыденных ситуациях, например в огородничестве (при выращивании какой-либо культуры). Уменье рассуждать, делать правильные выводы, обосновывать свои суждения, то есть умение мыслить логически является неотъемлемым качеством интеллигентного человека. Кроме интеллигентности мы затрагиваем тот факт, когда присутствует возможность экономии денежных ресурсов и материальных. Ведь применив математические теории и сделав правильные расчеты, мы не будем гнать технику за тысячу километров и закупать необходимые комплектующие, зная, что выводы показали, что кампания убыточна! Это накладывает на нас ответственность перед подчиненными, за будущие ошибки, да и просто это интересно. Интересно знать то, чего не знают другие. Мудрость и знания делают из нас, настоящих людей. Человек с большой буквы, думает не только о себе и учится не на своих ошибках. И потом, предвидеть ситуацию дар только избранных, а мы учимся это делать без всякого дара природы. Надо лишь применять логику и мышление и у нас всё получиться.

Список используемой литературы

1.         Розен В.В. "Теория игр и экономическое моделирование" 1996 год

2.         Розен В.В. "Математические модели принятия решений в экономике"

3.         Е.С. Венцель "Исследование операций" Москва Сов. родно 1972 год

4.         Браверманн Э.М. "Математические модели планирования правления в экономических системах" Москва "Наука" 1976 год

5.         Гейл Д. "Теория линейных экономических моделей" Москва ИЛ 1963год

6.         Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 1999.200 с.

7.         Моисеев Н.Н., Математические методы системного анализа М. Наука 1981 487 с.

8.         Е.С. Вентцель Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М. Наука 1988 206 с.