Математические программирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

по мат.программированию

«Графический и симплексный методы решения ОЗЛП»

Для изготовления 2-х различных изделий А и В используется 3 вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить сырья 1-го вида а1 кг, сырья 2-го вида – а2 кг, сырья 3-го вида – а3 кг. На производство единицы изделия В требуется затратить сырья 1-го вида в1 кг, сырья 2-го вида – в2 кг, сырья 3-го вида – в3 кг. Производство обеспечено сырьём 1-го вида в количестве Р1 кг, сырьём 2-го вида в количестве Р2 кг, сырьём 3-го вида в количестве Р3 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет  ден.ед., а изделия В – ден.ед.

№	а1	а2	а3	в1	в2	в3	Р1	Р2	Р3
8	11	7	8	10	5	6	425	450	550	2	4

 

Математическая модель задачи

 Обозначим количество произведенной продукции 1-го вида через х1, 2-го вида – х2. Тогда линейная функция примет вид: Z (х1, х2) =2*х1+4*х2.

 Это есть цена произведенной продукции. Наше решение должно обеспечить максимальное значение этой функции.

Условие налагает на величины х1 и х2 ограничения следующего вида:

Построенная линейная функция называется функцией цели и совместно системой ограничений образует математическую модель рассматриваемой экономической задачи.

Графическое решение задачи

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х1Ох2 на плоскости изобразим граничные прямые

 

 

х1	0	68,75
х2	91,66	0

х1	0	64,28
х2	90	0

х1	0	38,63
х2	42,5	0

Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Многоугольником решений данной задачи является треугольник АОВ. Для построения прямой 2*х1+4*х2=0 строим радиус-вектор N=(2;4)=2.5*(2;4)=(5;10) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z =0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке А (0;42,5), где функция Z принимает максимальное значение.

Оптимальный план задачи: х1=0; х2=42,5.

Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmax=2*0+4*42.5=170 у.е.

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 170 у.е., необходимо запланировать производство 42,5 ед. продукции В.

Решение задачи симплексным методом

Запишем систему в векторной форме

 

х1*А1+х2*А2+х3*А3+х4*А4+х5*А5=Ао, где

Составляем симплексную таблицу.

i	Базис	Сбаз	Ао	С1=2	С2=4	С3=0	С4=0	С5=0	С.О.
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	0	425	11	10	1	0	0	42,5
2	А4	0	450	7	5	0	1	0	90
3	А5	0	550	8	6	0	0	1	91,66667
m+1	Zj-Cj		0	-2	-4	0	0	0

Среди полученных оценок имеются две отрицательные: Z1-C1=-2<0 и Z2-C2=-4<0. Это означает, что первоначальный опорный план не является оптимальным и его можно улучшить, включив в базис вектор, которому соответствует максимальное по модулю отрицательное число в m+1 строке. Разрешающий вектор-столбец А2. Разрешающий элемент находим по минимальному симплексному отношению. Разрешающий элемент – число 10.

Составим вторую симплексную таблицу.

i	Базис	Сбаз	Ао	С1=2	С2=4	С3=0	С4=0	С5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А2	4	42,5	1,1	1	0,1	0	0
2	А4	0	237,5	1,5	0	-0,5	1	0
3	А5	0	295	1,4	0	-0,6	0	1
m+1	Zj-Cj		170	2,4	0	0,4	0	0

Просмотрев m+1 строку, убеждаемся, что опорный план – оптимален.

Оптимальный план предусматривает изготовление 42,5 ед.изделия В и не предусматривает изготовление изделий А. Изготовление изделий А привело бы к уменьшению прибыли на 2,4 у.е. Сырье 1-го вида используется полностью. Неиспользованными остается 450-237,5=212,5 тонн 2-го вида и 550-295=255 тонн 3-го вида сырья. Максимальная прибыль составляет 170 у.е.

Решение задачи на компьютере

Выполним следующие действия:

– В ячейку А1 вводим формулу для целевой функции=2*х1+4*х2

– В ячейку А3 вводим формулу для ограничения: =11*с1+10*с2.

– В ячейку А4 вводим формулу для ограничения: =7*с1+5*с2.

– В ячейку А3 вводим формулу для ограничения: =8*с1+6*с2.

– В ячейку С1:С2 вводим начальные значения переменных (0:0).

–Выполним команду Сервис > Поиск решения.

 

Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 42,5 изделий В является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье 1-го вида и остаётся неиспользованным 450-237,5=212,5 тонн 2-го вида и 550-295=255 тонн 3-го вида сырья, а стоимость производимой продукции равна 170 у.е.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

по мат.программированию

«Транспортная задача»

Имеются 3 пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и 5 пунктов В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1-А3 находится груз соответственно в количестве а1-а3 тонн. В пункты В1-В5 требуется доставить соответственно в1-в5 тонн груза. Стоимости перевозок 1 тонны груза между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в матрице D. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

Пункты поставки	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	12	10	15	12	13	350
А2	16	14	17	10	8	150
А3	15	10	13	14	15	280
Потребн.	100	120	200	160	200

 

Математическая модель задачи

Математическая модель транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений

при которых целевая функция

 

F=12*x11+10*x12+15*x13+12*x14+13*x15+16*x21+14*x22+17*x23+10*x24+8*x25+15*x31+10*x32+13*x33+14*x34+15*x35

принимает минимальное значение.

Опорный план найдем методом северо-западного угла.

Пункты поставки	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1						350
А2						150
А3						280
Потребн.	100	120	200	160	200

Для проверки плана на оптимальность необходимо построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие Ui+Vj=Cij

 

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=	V2=	V3=	V4=	V5=
А1	U1=						350
А2	U2=						150
А3	U3=						280
Потребн.		100	120	200	160	200

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=	V2=	V3=	V4=	V5=
А1	U1=						350
А2	U2=						150
А3	U3=						280
Потребн.		100	120	200	160	200

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=	V2=	V3=	V4=	V5=
А1	U1=						350
А2	U2=						150
А3	U3=						280
Потребн.		100	120	200	160	200

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=	V2=	V3=	V4=	V5=
А1	U1=						350
А2	U2=						150
А3	U3=						280
Потребн.		100	120	200	160	200

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=	V2=	V3=	V4=	V5=
А1	U1=						350
А2	U2=						150
А3	U3=						280
Потребн.		100	120	200	160	200

Пункты поставки		Пункты потребления					Запасы
		В1	В2	В3	В4	В5
	Потенциалы	V1=7	V2=5	V3=8	V4=7	V5=8
А1	U1=5	100	40		160	50	350
А2	U2=0					150	150
А3	U3=5		80	200			280
Потребн.		100	120	200	160	200

Все незанятые клетки удовлетворяют условию Ui+Vj<=Cij.

Общая стоимость плана составляет

S=100*12+40*10+12*160+13*50+8*150+10*80+13*200=8770 у.е.

Решение задачи на компьютере

Объём перевозок
12	10	15	12	13
16	14	17	10	8
15	10	13	14	15
Объём перевозок					Всего поставлено
100	40	0	160	50	350
0	0	0	0	150	150
0	80	200	0	0	280
100	120	200	160	200	Всего получено
Затраты на перевозки
1200	400	0	1920	650
0	0	0	0	1200
0	800	2600	0	0		8770

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист2
Отчет создан: 17.12.2004 9:44:11
Целевая ячейка (Минимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$G$13		0	8770
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$A$6	Объём перевозок	0	100
	$B$6		0	40
	$C$6		0	0
	$D$6		0	160
	$E$6		0	50
	$A$7	Объём перевозок	0	0
	$B$7		0	0
	$C$7		0	0
	$D$7		0	0
	$E$7		0	150
	$A$8	Объём перевозок	0	0
	$B$8		0	80
	$C$8		0	200
	$D$8		0	0
	$E$8		0	0