Метод конечных разностей или метод сеток

5519
знаков
0
таблиц
12
изображений
Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image002.gif (2.24)

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image004.gif  (2.25)

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image006.gif,

где http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image008.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image010.gif, и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image012.gif непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image014.gif.

Точки разбиения

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image016.gifhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image018.gif

называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image020.gif и ее производных http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image022.gif http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image024.gif обозначим соответственно через

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image026.gif.

Введем обозначения

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image028.gif

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image030.gif(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image032.gif.  (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image034.gif, (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image036.gif (2.28)


Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image038.gif. (2.29)

Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image040.gif, представляющими собой значения искомой функции http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image042.gif в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image044.gif. (2.30)

Введя обозначения

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image046.gif

получим

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image048.gif, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image050.gif. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image052.gif:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image054.gif. (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащийhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image056.gif. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image058.gif, (2.34)

где http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image060.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image062.gif должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image064.gif

Исключая из этих двух уравнений http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image066.gif, найдем

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image068.gif.

Выразим теперь отсюда http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image070.gif:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image072.gif (2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image074.gif (2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image076.gif (2.37)


Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image078.gif по формуле (2.34), получим:

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image080.gif.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image082.gif.

Разрешая полученное уравнение относительноhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image084.gif, находим

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image086.gif, или

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image088.gif. (2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image060.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image062.gif рекуррентные формулы:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image092.gif (2.39)

Так как http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image094.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image096.gif уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image060.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image062.gif до http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image099.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image101.gif включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image103.gif

Разрешая эту систему относительноhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image105.gif, будем иметь

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image107.gif. (2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image109.gif. Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image111.gif (2.41)

Для простейших краевых условий http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image113.gif

формулы для http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image115.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image105.gif упрощаются. Полагая в этом случае http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image117.gifиз формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image119.gif

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image121.gif

причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая


Теорема

Если http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image008.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image012.gif дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image123.gif

равномерно сходится к точному с погрешностью http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image125.gif при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image127.gif

Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image129.gif 

имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image131.gif

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image133.gif, (2.42)

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image135.gif, (2.43)

i=1, 2,..., n.

Погрешность формулы (2.42) выражается так:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image137.gif

то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image139.gif (2.44)

Где http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image141.gif.

Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image143.gif (2.45)

Затем определяют коэффициенты http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image145.gif по следующим рекуррентным формулам:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image147.gif (2.46)

Обратный ход начинается с нахождения http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image105.gif:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image149.gif (2.47)

После этого находим http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image151.gif по формулам:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image153.gif, (2.48)

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image155.gif. (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

 

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image157.gif иhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image159.gif,

и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image161.gifhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image159.gifhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image164.gif

то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/12_files/image166.gif.

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.


Информация о работе «Метод конечных разностей или метод сеток»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 5519
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 12

Похожие работы

Скачать
39796
9
22

... суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения Dy:  где Метод четвертого порядка для q = 3, имеет вид  где Особо широко известно другое вычислительное правило Рунге-Кутта четвертого порядка точности:  где Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h4 ). Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно ...

Скачать
33577
0
0

... с помощью рекурентных соотношений? 104) Приведите конечно-разностные выражения для первой производной. 105) Подынтегральная функция y = f(x) задана таблицейВзяв h = 0,3, вычислить интеграл  на отрезке [0,3; 0,9] методом Симпсона. Зав. кафедрой --------------------------------------------------   Экзаменационный билет по предмету ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Билет № 22 106) Как ...

Скачать
47503
2
14

... задачи, а именно: 1. Создана расчетная схема анализа на основании сравнительного анализа численных методов, а также программных и технических средств их осуществления; 2. Создан выбор метода автоматизированного анализа объекта проектирования; 3. Спланирован и проведен эксперимент, анализируя результаты которого, приходим к выводу, что данная модель может использоваться с параметрами: r = 5 R = ...

Скачать
11306
2
0

... системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать ...

0 комментариев


Наверх