Поиск нулей функции. Итерационные методы

Реферат по курсу “Численные методы”

Тема: “ Поиск нулей функции. Итерационные методы”

Содержание

 

Введение

1. Поиск нулей функции

2. Метод простой итерации

3. Итерационный процесс Ньютона

Литература

Ведение

 

Поиск нулей функции является важнейшей процедурой при исследовании и построении различных функций зависимостей, исследовании непрерывных процессов. Фактически поиск нулей функций сводится в постепенному приближению к области, в которой функция приобретает нулевое значение и исследованию ее.

Если уравнение представлено в форме , то нахождение корня такого уравнения формулируется как задача поиска такого значения (или таких значений) , при котором .

1. Поиск нулей функций

Характерным признаком наличия корня у функции в некотором интервале служит различие знаков у значений функции слева и справа от точки . Первой проблемой, непременно возникающей при поиске нулей функции, является обнаружение и минимизация размеров области нахождения нужного корня.

Многие уравнения благодаря пониманию физики описываемых ими явлений, как правило, дают представления об областях расположения нулей и обычно не требуют проведения аналитических исследований. В общем же случае, когда требуется найти все корни, область определения функции должна быть любыми известными эвристическими или аналитическими приемами расчленена на подобласти, включающие по одному корню. Это означает, что для каждой подобласти указаны границы возможного изменения каждой независимой переменной заданной системы нелинейных алгебраических уравнений. Для сжатия подобласти в точку, соответствующую корню, теперь могут быть предложены численные процедуры, из которых рассмотрим наиболее простые и популярные.

2. Метод простой итерации

Метод простой итерации (последовательного приближения) начинается с неявного разрешения заданной системы алгебраических уравнений  относительно вектора переменной , например, так:

,

где , матрица масштабирующих коэффициентов, в общем случае недиагональная.

Итерационный процесс начинается с подстановки в правую часть произвольного значения  и вычисления очередного вектора для последующей подстановки:

Сходимость к решению такого процесса зависит от вида функции правой части и, следовательно, от величин масштабирующих коэффициентов . Сходимость будет, если скалярная функция , однозначно характеризующая изменение вектора  за один цикл, больше значения этой функции при подстановке в нее соответствующих :

.

Если  и , условие  именуют условием Липшица.

Если  – диагональная матрица, то величины  можно выбрать из условия отрицательности скорости изменения . Для этого достаточно взять производную от рекуррентной формулы и установить соответствующее соотношение с нулем:

Таким образом, знание максимальных значений производных системы функций в области [a, b] нахождения корня , позволяет выбрать масштабирующие коэффициенты, обеспечивающие сходимость процесса.

3. Итерационный процесс Ньютона

Вторым по важности и популярности итерационным процессом для случая аналитического задания системы уравнений и локализации области нахождения корня является итерационный процесс Ньютона.

 .

Пусть отклонение начального вектора искомого решения отличается от точного на величину , тогда, выполнив разложение в ряд Тейлора неявных функций  в окрестности  и ограничившись слагаемыми с частными производными первого порядка, получим систему уравнений для вычисления добавок к начальному вектору, приближающих последний к значению корня:

.

Обозначим частные производные  (). Система уравнений для вычисления вектора  будет:

,

где  – матрица, обратная матрице Якоби из частных производных:

 .

Итерационную процедуру Ньютона для вычисления корней нелинейной системы уравнений можно в результате представить так:

,

.

Здесь верхний индекс в обозначениях частных производных указывает на подстановку в них значения x , полученного на k-той итерации.

Остановка итерационного процесса осуществляется тогда, когда по всем компонентам вектора x достигнута заданная относительная погрешность , т.е. должна быть истинной конъюнкция:

В одномерном случае итерации для уравнения g(x)=0 выглядят так:

Нетрудно заметить одну и ту же природу коэффициентов, стоящих перед значением функций у трех вариантов итерационных процедур и обеспечивающих сходимость процесса : все они учитывают значение производных в области нахождения нулей функции.

Литература

 

1.         Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

2.         Блинов И.Н., “Об одном итерационном процессе Ньютона”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 33:1 (1969), 3–14

3.         Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

4.         Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. - 383с.

5.         Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

6.         Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 250 с.

7.         Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. - 255с.