Завдання №3 (варіант №9)

3. Завдання №3 (варіант №9)

 

Є наступні дані вибіркового обстеження студентів одного з вузів:

Затрати часу на дорогу до інституту в год.	Число студентів , % до підсумку
До 0,5	7
0,5 – 1,0	18
1,0 – 1,5	32
1,5 – 2,0	37
Більше 2,0	6
Разом	100

Розрахуйте абсолютні та відносні показники варіації

Рішення

1. На рис.3.1 наведений графічний вигляд вихідної інтервальної статистичної вибірки (інтервальний варіаційний ряд) у вигляді гістограми.

2. Для інтервального ряду показник центру розподілу – середнє значення ряду розраховується за формулою [9]:

(3.1)

де f – частота на інтервалі;

x’ – середина кожного інтервалу інтервальної вибірки;

Рис.3.1. Гістограма вихідної інтервальної статистичної вибірки задачі

 

3. Показники варіації вибірки характеризуються:

абсолютним значення s середньоквадратичного відхилення від середнього рівня  вибірки:

 (3.2)

-           відносним рівнем варіації  відношенням середньоквадратичного відхилення до середнього рівня вибірки:

 (3.3)

Для розрахунку варіації складається наступна допоміжна таблиця 3.1

Таблиця 3.1 Результати допоміжних розрахунків для розрахунку показників варіації вибірки

 

Абсолютне значення варіації вибірки дорівнює:

Відносне значення варіації вибірки дорівнює:

 

4. Завдання №4 (варіант №9)

 

Виробництво продуктів землеробства в регіоні характеризується наступними даними, млн.т.:

Рік	Льноволокно, млн..т.
1984	486
1985	456
1986	443
1987	402
1988	478
1989	509
1990	480
1991	384
1992	311
1993	284
1994	263
1995	414
1996	471
1997	478

Для вивчення загальної тенденції виробництва продукті землеробства зробіть:

а) згладжування рівнів рядів динаміки за допомогою тричленної ковзної середньої;

б) аналітичне вирівнювання.

Виразіть загальну тенденцію розвитку кожного виду продуктів землеробства за 1984 – 1997 рр. відповідними математичними рівняннями. Визначте вирівняні (теоретичні) рівні рядів динаміки і нанесіть їх на графік з фактичними даними. Зробіть висновки за результатами розрахунків.

Рішення

1. Для обробки ряду динаміки з метою зменшення коливань його рівнів використовується метод рухомої середньої [9]. Суть цього методу полягає у тому, що первинний ряд динаміки замінюється рядом середніх значень, підрахованих на основі рухомих сум. Рухома сума визначається шляхом додавання рівнів ряду, включених в інтервал вирівнювання (переважно це 3, 5, 7 рівнів).

Головним недоліком даного методу є те, що вирівняний ряд стає коротшим від вихідного за рахунок втрати рівнів на початку та в кінці ряду.

Рівняння тричленної ковзної середньої наступне ( перша та остання точка фактичного ряду динаміки не осереднюється) [9]:

 (4.1)

В табл..4.1 та на рис.4.1 наведені результати розрахунків осереднених значень вихідного ряду динаміки, заданого в завданні.

Рис.4.1. Результати розрахунку осереднення ряду тричленною ковзною

Таблиця 4.1 Результати розрахунку осереднення тричленною ковзною

2. Найбільш ефективним методом виявлення тенденції динаміки є аналітичне вирівнювання. Його суть полягає у тому, що вихідний ряд динаміки описують рівнянням тренду, яке розглядається як аналітичний вираз загальної тенденції зміни у часі (тренду). На практиці найчастіше використовують наступні рівняння тренду:

— лінійне
— параболічне
— показникове
— степеневе
— гіперболічне

Виконаємо аналітичне вирівнювання на прикладі лінійного рівняння тренду.

Одновимірна лінійна регресійна модель представляється як [9]:

, (2.1)

де  – постійна складова  (початок відліку);

 – коефіцієнт регресії;

– відхилення фактичних значень доходу  від оцінки (математичного сподівання)  середньої величини доходу в ітий період.

Існують різні способи оцінювання параметрів регресії. Найпростішим, найуніверсальнішим є метод найменших квадратів [2]. За цим методом параметри визначаються виходячи з умови, що найкраще наближення, яке мають забезпечувати параметри регресії, досягається, коли сума квадратів різниць  між фактичними значеннями прогнозує мого параметра та його оцінками є мінімальною, що можна записати як

. (2.2)

За методом найменших квадратів параметри регресії  і  є розв’язком системи двох нормальних рівнянь [9]:

При використанні прямолінійного тренду  параметри  і  можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь

 (2.3)

або по формулах

 (2.4)

Таблиця 4.2 Розрахунки сум для розрахунку коефіцієнтів а₀ та а₁ лінійної регресії

Таким чином, враховуючи розрахункові дані ряду динаміки в табл.4.2, коефіцієнти аналітичного рівняння лінійної регресії розраховуються як:

Рис.4.2. Аналітичне вирівнювання ряду лінійним трендом

Середньоквадратична помилка регресії, знаходиться за формулою

, (2.5)

Коефіцієнт детермінації для даної моделі

 (2.6)

повинен дорівнювати: >0,75 – сильний кореляційний зв’зок, 0,36>>0,75 кореляційний зв’язок середньої щільності; <0,36 кореляційній зв’язок низької щільності [10].

Як показують дані, наведені на рис.4.2, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного лінійного тренду становить =0,1054 <0,36 тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного лінійного тренду є низької щільності.

Як показує спільний аналіз даних таблиць 4.1 та 4.2, а також графіків рис.4.1 та 4.2:

 сума абсолютних відхилень кривої осереднення ряду тричленною ковзною становить 12,33;

 сума абсолютних відхилень кривої аналітичного вирівнювання ряду лінійним трендом становить 0;

 дисперсія відхилень кривої осереднення ряду тричленною ковзною від фактичних даних становить S²=634;

 сума абсолютних відхилень кривої аналітичного вирівнювання ряду лінійним трендом від фактичних даних становить S²=5347;

Таким чином, вирівнювання ряду осереднюючою тричленою ковзною має кращі показники по мінімуму відхилень від фактичної кривої , але має зміщену середню оцінку, що пов’язано з алгоритмом розрахунку та неможливістю осереднення першої та останньої точки ряду.

На рис.4.3 – 4.4 за допомогою „електронних таблиць” Excel2000 побудовані аналітичні вирівнювання заданого ряду динаміки поліноміальними трендами 2 та 4 ступеню.

Як показують дані, наведені на рис.4.3, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного параболічного тренду є вищим, ніж у лінійного тренду, та становить =0,243654 <0,36 тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного параболічного тренду також є низької щільності.

Як показують дані, наведені на рис.4.4, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного тренду поліномом 4 ступеню є значно вищим, ніж у лінійного тренду, та становить =0,6024 (0,36>>0,75) тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного тренду полінома 4 ступеня є середньої щільності.

Рис.4.3. Аналітична вирівнювання ряду параболічним трендом за допомогою “електронних таблиць” Excel2000

Рис.4.4. Аналітичне вирівнювання ряду поліномом (трендом) 4ступеня за допомогою “електронних таблиць” Excel2000