Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда

1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.

2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

К методам сглаживания относятся:

·          Метод усреднения по левой и правой половине - Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда[2] на графике.

·          Метод простой скользящей средней - Заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего, и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название — скользящая средняя.

  

·          Метод взвешенной скользящей средней - Основное отличие от предыдущего метода состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами, т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:

,

где i — порядковый номер уровня интервала сглаживания.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями.

Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить:

1)используя полусумму уровней, расположенных рядом с интерполируемыми;

2) по среднему абсолютному приросту;

3) по темпу роста.

Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. Логический анализ при выборе вида уравнения может быть основан на рассчитанных показателях динамики, а именно:

·          если относительно стабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживание может быть выполнено по прямой;

·          если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительно равны), можно принять параболу второго порядка;

·          при ускоренно возрастающих или замедляющихся абсолютных приростах - параболу третьего порядка;

·          при относительно стабильных темпах роста показательную функцию.

Для аналитического выравнивания наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей: прямая (линейная), парабола второго порядка, показательная (логарифмическая) кривая, гиперболическая.

Целью аналитического выравнивания является - определение аналитической или графической зависимости. На практике, по имеющемуся временному ряду, задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Не следует смешивать выравнивание статистических рядов динамики со сглаживанием статистических рядов.

Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики является укрупнение интервалов. При использовании этого метода ряд динамики, состоящий из мелких интервалов, заменяется рядом, состоящим из более крупных интервалов (например, преобразование месячных периодов в квартальные, квартальных в годовые и т.д.). Или уровни исходного динамического ряда объединяются по более крупным периодам. Например, сравнивают уровни урожайности не за отдельные годы, а в среднем по пятилетиям. Особое внимание при этом следует обращать на обоснование периодов укрупнения. Например, поскольку плодоношение садов в ряде случаев подвержено периодическим колебаниям, нельзя брать период с нечетным числом лет. При подобных циклических колебаниях в большинстве случаев интервал берут равным продолжительности цикла. В общем укрупненный интервал должен обеспечивать взаимное погашение случайных отклонений уровней.

Так как на каждый уровень исходного ряда влияют факторы, вызывающие их разнонаправленное изменение, то это мешает видеть основную тенденцию. При укрупнении интервалов влияние факторов нивелируется, и основная тенденция проявляется более отчетливо. Расчет среднего значения уровня по укрупненному интервалу осуществляется по формуле простой средней арифметической. Недостаток этого способа заключается в том, что сокращается число уровней ряда, а это не позволяет учитывать изменения внутри укрупненного интервала. Но преимущество в том, что сохраняется природа явления.

По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней первоначальных рядов. Для других случаев рассчитывают средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

Задача № 3

№ магазина	Товарооборот по плану,  тыс. грн.	Товарооборот фактический, тыс. грн.	Затраты оборота, тыс. грн.	Количество продавцов	№ магазина	Товарооборот по плану,  тыс. грн.	Товарооборот фактический, тыс. грн.	Затраты оборота, тыс. грн.	Количество продавцов
1.	89,0	88	4,8	12	31.	46,2	45,1	2,2	7
2.	29,1	29	2,5	5	32.	67,5	66,3	3,9	7
3.	59,3	60,8	3,2	8	33.	29,6	30,4	1,9	5
4.	135,2	155	6,8	18	34.	31,2	32,1	2,1	5
5.	52,6	53,2	5,8	7,0	35.	156,4	157,2	8,2	20
6.	117,4	120,0	5,3	12	36.	26,8	28,4	1,9	4
7.	20,6	20,0	1,7	3	37.	11,3	11,5	1,1	3
8.	156,6	157,2	9,2	19	38.	7,0	7,4	0,2	3
9.	18,8	19,4	1,6	3	39.	26,8	27,0	1,6	5
10.	94,2	95,4	4,3	13	40.	36,2	38,1	2,1	6
11.	102,6	112,1	5,6	14	41.	41,7	43,2	1,8	6
12.	196,7	198	9,8	22	42.	80,6	80,9	5,8	11
13.	44,9	45,4	2,6	7	43.	52,4	52,5	2,1	7
14.	42,5	43,1	2,4	6	44.	270,6	271	1,5	30
15.	49,4	49,6	2,6	7	45.	43,2	44,0	1,7	6
16.	28,0	28,6	2,5	5	46.	40,2	40,8	2,4	6
17.	89,7	90,6	4,2	7	47.	30,6	30,8	2,5	5
18.	19,8	19,6	1,6	3	48.	16,2	16,3	2,1	3
19.	26,6	27,3	2,1	4	49.	237,2	237,5	3,7	27
20.	31,5	31,9	1,8	5	50.	52,	53	2,4	8
21.	43,2	43,0	2,6	6	51.	68,3	68,9	3,6	10
22.	26,9	28,4	1,5	5	52.	84,6	85,0	4,8	12
23.	14,0	14,4	1,1	3	53.	166,5	166,0	10,2	22
24.	42,8	43,6	2,9	6	54.	179,4	178,1	7,5	24
25.	16,6	16,9	1,5	3	55.	46,3	44,2	3,0	7
26.	40,6	41,2	1,8	5	56.	26,0	26,2	1,5	5
27.	55,5	55,9	2,3	7	57.	41,2	41,8	1,8	6
28.	46,5	46,8	2,6	7	58.	270,8	271,6	1,8	30
29.	60,3	60,0	3,4	9	59.	40,5	40,0	2,2	6
30.	12,6	13,1	0,5	3	60.	237,0	235,6	3,9	28

По данным таблицы построить групповую таблицу, разбив все магазины торга на 4 группы по уровню выполнения плана товарооборота: - магазины, которые не выполнили план товарооборота;

- магазины, которые выполнили план на 100-102%;

- магазины, которые выполнили план на 100-104%;

- магазины, которые выполнили план более, чем на 104%.

Каждую группу охарактеризуйте количеством магазинов, объемом розничного товарооборота по плану и фактически в целом на все магазины и в среднем на один магазин.

Вариант	Номера магазинов, входящие в совокупность
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1-40 3-42 5-44 8-47 10-49 12-51 14-53 15-54 17-56 20-59

Задача № 8

По следующим данным расчитать все возможные виды относительных величин.

Вариант	Основные фонды предприятий, тыс. грн.				Объем товарной продукции, тыс. грн.
	производственные		непроизводственные
	Года
	2003	2004	2003	2004	2003	2004
1	400	440	190	200	1400	1350
2	250	240	110	115	600	680
3	470	500	240	245	1200	1150
4	340	360	150	160	910	920
5	420	400	140	145	800	700

Задача № 10

По данным о распределении колхозов по урожайности зерновых культур, которые приведены в таблицы определить размер посевной площади в среднем на один колхоз, среднюю урожайность зерновых культур по всем колхозам вместе, моду и медиану.

Урожайность, ц/га	Число колхозов						Посевная площадь в среднем на один колхоз , га
	Вариант						Вариант
	1	2	3	4	5		1	2		3		4		5
до 16	12	24	15	21	24		5	24		10		8		21
16-18	20	28	14	45	40		20	26		12		24		26
18-20	30	14	25	24	35		35	10		14		12		14
20-24	10	12	30	40	38		10	12		25		16		9
24-26	8	10	10	12	24		8	18		9		20		12
26-30	12	8	25	20	16		13	6		18		7		8
более 30	3	6	15	16	10	9		4	12		13		10

Задача № 16

Зароботная плата работников, грн/чел.	Количество работников по вариантам
	1	2	3	4	5
до 550	46	8	12	20	15
550-600	58	10	28	50	35
600-650	102	15	50	70	60
650-700	70	29	95	85	95
700-750	45	50	25	30	110
750-800	30	22	16	22	45
800-850	24	18	10	17	29
более 850	16	4	7	8	14

Рассчитать все показатели вариации; на основании коэффициента асимметрии определить форму распределения варианта в совокупности. Объяснить результаты расчетов.

Задача № 22

По приведенным ниже данными рассчитать:

а) на сколько абсолютных и относительных единиц отличался выпуск продукции последнего года данного периода от выпуска продукции этот же период предыдущего года;

б) выпуск продукции за последний год данного периода;

в) среднегодовой абсолютный прирост продукции в данном периоде.

Вариант	Объем выпуска продукции за период предыдущего года, тыс. грн.	Продолжительность периода, года	Среднегодовой темп прироста объема за рассмотренный период, %
1	380	4	3,5
2	440	5	-1,8
3	556	5	2,6
4	492	6	- 5,4
5	580	4	- 0,9
6	636	3	- 2,3
7	350	3	- 1,1
8	470	5	- 4,4
9	375	4	1,5
10	915	6	2,7

Задача № 24

По приведенным данным о цепных темпах прироста реальных прибылей на душу населения (%) рассчитать:

а) среднегодовой темп прироста за пять лет;

б) среднегодовой абсолютный прирост реальных прибылей (прибыли на душу населения в 1999 году составили 320 грн.);

в) абсолютное значение одного процента прироста в 2002 году;

г) среднегодовой темп роста доходов за исследуемый период;

д) на сколько абсолютных и относительных единиц изменились реальные прибыли за исследуемый период.

Варианты	Цепные темпы прироста реальных прибылей, по годам, %
	2000	2001	2002	2003	2004
1	- 0,5	1,2	- 4,2	8,3	6,2
2	- 2,4	- 7,2	5,2	6,3	- 0,8
3	5,4	6,2	- 8,9	- 10,2	- 0,7
4	- 0,8	- 6,4	- 5,2	8,3	7,2
5	2,4	5,3	- 0,8	- 6,2	1,3
6	1,8	- 1,9	- 3,8	5,8	0,7
7	1,4	- 0,3	5,2	2,8	- 6,2
8	- 5,2	- 0,7	4,2	6,8	2,3
9	2,8	5,4	- 0,8	- 1,8	- 8,4
10	2,3	2,6	- 0,7	- 4,2	3,2

Задача № 30

По приведенным данным рассчитать процент изменения средней заработной платы, средней производительности труда, денежных затрат на производство продукции, зарплатоемкость продукции:

Вариант	Процент изменения
	фонда зароботной платы	численность роботников	випуска продукции	себестоимость единицы продукции
1	2,7	4,5	6,6	1,4
2	-8,9	-0,1	-8,1	-3,7
3	3,3	-0,6	1,4	4,5
4	4,2	1,1	-9,2	-2,2
5	-0,8	-0,8	0,6	7,3
6	3,6	7,2	3,3	8,1
7	-2,7	3,3	-1,3	-1,7
8	-5,2	-7,4	9,2	-0,1
9	0,9	2,8	2,4	2,8
10	-6,1	1,5	-0,9	-1,3

Задача № 34

По приведенным ниже данными рассчитать:

а) индексы средней выработки на одного работника сменного, постоянного состава и структурных изменений, объяснить содержание каждого индекса, показать их взаимосвязь;

б) абсолютное изменение средней выработки за месяц (общую, в частности, за счет изменения средней выработки рабочих по цехам и структурных изменений в численности работающих), сделать проверку;

в) абсолютное изменение общей выработки за месяц (общую, и в частности, за счет изменения: продуктивности труда изменений в структуре численности рабочих предприятия по цехам, общего количества работающих в двух цехах), сделать проверку:

Вариант	Цех	Средняя выработка на одного работника за месяц по цехам ед./чел.		Общая выработка за месяц по цехам, тыс. ед.
		базовый	отчетный	базовый	отчетный
1	1	320	328	15,04	14,76
	2	330	336	11,88	13,44
2	1	364	392	12,74	14,88
	2	360	370	9,72	9,62
3	1	270	276	5,94	6,90
	2	264	280	17,16	17,64
4	1	168	160	7,56	7,52
	2	160	176	11,68	13,20
5	1	140	148	4,62	5,18
	2	150	156	5,70	5,46
6	1	300	310	10,80	10,54
	2	308	312	6,16	7,80
7	1	128	130	13,44	13,52
	2	136	140	10,20	10,78
8	1	284	290	19,88	19,14
	2	288	300	15,84	17,10
9	1	124	128	8,68	9,60
	2	132	136	7,26	6,80
10	1	156	160	11,70	12,32
	2	152	156	12,16	12,48

Задача № 40

По приведенным данным о производстве товаров народного потребления рассчитать:

а) общие индексы затрат труда на производство всей продукции, трудоемкости продукции и продуктивности труда;

б) абсолютное изменение общих затрат труда в отчетном периоде в сравнении с базовым (общее и за счет отдельных факторов). Сделать проверку.

Вариант	Продукция	Общие затраты труда в базовом периоде, тыс. чел. час	Абсолютное изменение затрат труда за отчетный период в сравнении с базовым, тыс. чел. час	Изменнение затрат труда на единицу продукции, %
1	А	400	42	- 0,4
	Б	250	30	5,2
2	А	80	-14	- 1,8
	Б	95	28	3,6
3	А	74	20	4,2
	Б	175	25	0,8
4	А	215	-10	- 0,7
	Б	186	-24	1,8
5	А	292	-30	- 0,3
	Б	308	42	2,6
6	А	196	15	9,4
	Б	124	16	5,2
7	А	92	- 8	- 1,8
	Б	74	16	- 0,3
8	А	176	- 40	- 5,2
	Б	152	24	4,2
9	А	168	- 15	- 2,1
	Б	132	12	- 0,7
10	А	141	- 26	12,4
	Б	126	24	6,2

Задача № 43

 

В результате случайного неповторяющегося отбора рабочих из общего количества в 1000 человек получены такие данные о распределении рабочих по уровню продуктивности труда (дет/чел).

Группы работников по уровню продуктивности труда (дет/чел)	Количество работников по вариантам
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50-60	10	15	12	15	16	17	20	15	16	14
60-70	20	20	16	25	30	41	16	25	30	42
70-80	30	25	38	36	38	39	35	40	24	28
80-90	40	35	35	42	45	50	55	54	45	48
90-100	60	40	30	26	28	30	32	25	24	28
100-110	25	24	24	18	14	15	16	20	18	19

Рассчитать пределы значений продуктивности труда с вероятностью 0,954 и 0,997, а также доли рабочих с выработкой 80 деталей и больше с вероятностью 0,683 и 0,954.

Список литературы:

1.          Сивец С.А. «Статистические методы в оценке недвижимости и бизнеса» - Запорожье, 2001

2.          Батуева А.Д., Петецкая Е.П., Кокарев М.А. Статистика: Учебное пособие для вузов. – Москва, 2008

3.          Филимонов В.С., Гуртовник Е.А. Практикум по статистике: Учебное пособие. – Москва, 1987

4.          Иода Е.В., Герасимов Б.И. Статистика: Учебное пособие. – Тамбовский государственный технический университет, 2004

5.          Громыко Г.Л. Теория статистики: Учебник. – Москва, 2002

6.          Швойлова Р.А. Теория статистики: Учебник, 3-е издание, Финансы и статистика. – Москва, 2000

7.          Интернет-страница ООО Центр «БИЗНЕСИНФОРМ» (http://www.binfo.zp.ua/books.shtml#b1 ).

8.          Васнев С.А. Статистика: Учебное пособие. – Москва, 2001

9.          Степанов В.Г. Статистика: Учебное пособие. – Московский институт экономики, 2007

[1] При анализе используется константа сглаживания a, величина которой определяет степень влияния на прогнозы погрешностей в предыдущем прогнозе.

[2] Тренд - основная тенденция развития динамического ряда.