Теория статистики

Задание 1

За отчетный период работа заводов, выпускающих одноименную продукцию, характеризуется следующими данными

№ завода	Фактически произведено продукции, тыс. шт.	Общая сумма затрат на производство продукции, млн. руб.
1	10,6	61,8
2	6,4	39,7
3	4,6	39,8
4	10,7	62,6
5	4,7	29,1
6	9,4	55,3
7	4,0	26,4
8	6,7	41,6
9	11,8	64,9
10	3,9	28,5
11	4,2	28,6
12	4,3	28,8
13	3,9	24,9
14	5,0	36,6
15	10,1	57,0
16	11,3	67,2
17	3,0	22,2
18	2,6	19,0
19	8,0	48,0
20	6,7	41,9
21	6,0	40,9
22	1,8	13,3
23	7,1	44,7
24	6,3	40,3
25	8,4	49,6
26	9,0	58,6
27	8,8	54,6
28	5,9	34,1
29	6,2	38,4
30	7,0	42,9

С целью выявления зависимости между объемом произведенной продукции и ее себестоимостью произведите аналитическую группировку по объему произведенной продукции, образовав 5 групп заводов с равными интервалами. По каждой группе и в целом посчитайте число заводов, объем произведенной продукции всего и в среднем на один завод, общую сумму затрат на производство продукции, себестоимость единицы продукции. Составить групповую таблицу, сделать краткие выводы.

Решение

Строим ранжированный ряд заводов по величине объема произведенной продукции.

Ранг	Фактически произведено продукции, тыс. шт.	Общая сумма затрат на производство продукции, млн. руб.	№ завода
1	1,8	13,3	22
2	2,6	19	18
3	3	22,2	17
4	3,9	24,9	13
5	3,9	28,5	10
6	4	26,4	7
7	4,2	28,6	11
8	4,3	28,8	12
9	4,6	39,8	3
10	4,7	29,1	5
11	5	36,6	14
12	5,9	34,1	28
13	6	40,9	21
14	6,2	38,4	29
15	6,3	40,3	24
16	6,4	39,7	2
17	6,7	41,9	20
18	6,7	41,6	8
19	7	42,9	30
20	7,1	44,7	23
21	8	48	19
22	8,4	49,6	25
23	8,8	54,6	27
24	9	58,6	26
25	9,4	55,3	6
26	10,1	57,0	15
27	10,6	61,8	1
28	10,7	62,6	4
29	11,3	67,2	16
30	11,8	64,9	9

При n = 5 получаем размер интервала

= (11,8-1,8)/=2.

Номер группы	Фактически произведено продукции, тыс. шт.
1	1,8-3,8
2	3,8-5,8
3	5,8-7,8
4	7,8-9,8
5	9,8-11,8

Составим разработочную таблицу

Группа	Номер завода	Фактически произведено продукции, тыс. шт.	Общая сумма затрат на производство продукции, млн. руб.
1 (1,8-3,8)	22	1,8	13,3
	18	2,6	19
	17	3	22,2
2 (3,8-5,8)	13	3,9	24,9
	10	3,9	28,5
	7	4	26,4
	11	4,2	28,6
	12	4,3	28,8
	3	4,6	39,8
	5	4,7	29,1
	14	5	36,6
3 (5,8-7,8)	28	5,9	34,1
	21	6	40,9
	29	6,2	38,4
	24	6,3	40,3
	2	6,4	39,7
	20	6,7	41,9
	8	6,7	41,6
	30	7	42,9
	23	7,1	44,7
4 (7,8-9,8)	19	8	48
	25	8,4	49.6
	27	8,8	54.6
	26	9	58.6
	6	9,4	55.3
5 (9,8-11,8)	15	10,1	57
	1	10,6	61.8
	4	10,7	62.6
	16	11,3	67.2
	9	11,8	64.9

Составим конечную аналитическую таблицу

Группа	Количество заводов	Фактически произведено продукции, тыс. шт.		Общая сумма затрат на производство продукции, млн. руб.
		в целом	в среднем на 1 завод	в целом	в среднем на 1 завод
1 (1,8-3,8)	3	7,4	2,47	54,5	18,17
2(3,8-5,8)	8	34,6	4,325	242,7	30,338
3(5,8-7,8)	9	58,3	6,48	364,5	40,5
4 (7,8-9,8)	5	43.6	8.72	266.1	53.22
5 (9,8-11,8)	5	54.5	10.9	313.5	62.7
Итого	30	198.4	-	819,3	-

Таким образом, данные этой таблицы будут представлять искомую аналитическую группировку. По ней делаем выводы. Группировка показала наличие прямой зависимости между объемом фактически произведенной продукции и общей суммой затрат на производство продукции: с ростом значений факторного признака растут значения результативного признака.

Задание 2

Имеются данные об урожайности и посевной площади зерновых культур в колхозе

№ бригады	Базисный период		Отчетный период
	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц
1	24	210	21	5190
2	27	240	24	6020
3	31	200	32	6270
4	34	230	36	8640

Требуется исчислить среднюю урожайность пшеницы в базисном и отчетном периоде.

Указать, какие виды средних применялись.

Решение

Средняя урожайность зерновых с одного гектара в хозяйстве за базисный период составила:  ц с га.   Мы применили формулу средней арифметической взвешенной, так как имеются данные первичных значений признака и числа единиц совокупности. Средняя урожайность зерновых с одного гектара в хозяйстве в отчетном периоде составила:  ц с га

Мы применили формулу средней гармонической, так как известны не первичные, а вторичные носители признака, и отсутствуют данные о частотах.

Задание 3

При выборочном обследовании 0,5% партии кирпича установлено, что из обследованных 400 образцов 80 отнесены к нестандартной продукции, а распределение выборочной совокупности по весу следующее:

Вес изделия, г.	Число образцов, шт.
До 3000	25
3000-3100	65
3100-3200	130
3200-3300	100
Свыше 3300	80
Итого	400

По этим данным определите для всей партии продукции:

1.   С вероятностью 0,954 возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия всей партии изготовленных изделий.

2.   С вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса стандартной продукции.

Указания:

1.   Обследование проведено по схеме случайной бесповторной выборки.

2.   При расчете среднего веса одного образца в выборке и среднего квадратического отклонения надо использовать способ моментов. Величина открытого интервала условно приравнивается к величине интервала закрытого.

Решение

1. Для нахождения среднего значения признака необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный, вычислив центр интервала в каждой группе:

Вес изделия, г.	Число образцов, шт.	Вес изделий всех образцов, г.
2950	25	73750
3050	65	198250
3150	130	409500
3250	100	325000
3350	80	268000
Итого	400	1274500

Средний вес изделия:  г. Расчет среднего квадратического отклонения проведем на основе составленной вспомогательной таблицы:

Вес изделия, г.	Число образцов, шт.	Вес изделий всех образцов, г.	x-	(x-)2	(x-)2f
2950	25	73750	-236.25	55814.0625	1395351.5625
3050	65	198250	-136.25	18564.0625	1206664.0625
3150	130	409500	-36.25	1314.0625	170828.125
3250	100	325000	63.75	4064.0625	406406.25
3350	80	268000	163.75	26814.0625	2145125
Итого	400	1274500	-	-	5324375

г.  г.
Вычислим пределы среднего веса изделия: 3186,25-11,51≤≤3186,25+11,51 3174,74≤≤3197,76 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя масса изделия всей партии изготовленных изделий колеблется в пределах от 3174,74 г. до 3197,76 г. 2. Всего стандартной продукции 320 шт. Определим удельный вес обследованных образцов: W=. Предельная ошибка выборки:  или 6%.

W-≤p≤ W+

0.8-0.06≤p≤0.8+0.06

0.74≤p≤0.86

С вероятностью 0,997 можно гарантировать, что доля образцов будет находиться в пределах от 0,74 до 0,86.

Задание 4

Производство тракторов в СССР характеризуется следующими данными

Годы	Производство тракторов, тыс. шт.
1965	383,5
1966	392,5
1967	415,1
1968	423,4
1969	441,7
1970	459,0

Для анализа ряда динамики исчислите:

1.         Показатели, характеризующие рост производства тракторов: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году).

Результаты изложите в табличной форме.

2.         Средний уровень ряда и среднегодовой темп динамики.

Изобразите динамику производства тракторов на графике.

Решение

1.         Показатели, характеризующие рост производства тракторов, рассчитываются по следующим формулам:

·           Абсолютный прирост:

·           Темп роста:

 

·           Темп прироста:

Полученные данные представим в таблице:

 

Годы	Производство тракторов, тыс. шт.	Абсолютный прирост, кв. м.		Темпы роста, %		Темпы прироста, %
		к баз.	к отч.	к баз.	к отч.	к баз.	к отч.
1965	383,5	0	-	100	-	0	-
1966	392,5	9	9	102,3	102,3	2	2
1967	415,1	31,6	22,6	108,2	105,8	8,2	5,8
1968	423,4	39,9	8,3	110,4	102	10,4	2
1969	441,7	58,2	18,3	115,2	104,3	15,2	4,3
1970	459,0	75,5	17,31	119,7	103,9	19,7	3,9

Среднегодовой абсолютный прирост определим по формуле:

 тыс. шт.

Среднегодовые темпы роста и прироста:

или 104%

=104-100 = 4%,

то есть ежегодно уровни ряда возрастали в среднем на 4%.

Представим динамический ряд на графике:

 

Задание 5

 

Себестоимость продукции заводов характеризуется следующими данными:

Вид продукции	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.		Выработано продукции, тыс. ед.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
Завод №1
К-220	10,0	12,0	1,9	1,2
С Р-1	9,0	8,0	7,4	9,3
З-322	12,0	10,0	16,0	15,2
Завод №2
С Р-1	6,0	6,5	7,0	5,5

На основании имеющихся данных вычислите:

1.   Для завода № 1 (по трем видам продукции вместе):

а) общий индекс затрат на производство продукции;

б) общий индекс себестоимости продукции;

в) общий индекс физического объема производства продукции.

2. Для двух заводов вместе (по продукции С Р-1):

а) индекс себестоимости переменного состава;

б) индекс себестоимости постоянного состава.

Поясните полученные результаты.

Решение

1.   а) общий индекс затрат на производство продукции рассчитывается по формуле:

б) общий индекс себестоимости продукции равен 86,59%

 в) общий индекс физического объема производства продукции равен 100,18%.

Это значит, что затраты на производство продукции для завода № 1уменьшились на 13%. Это произошло за счет снижения себестоимости на 13,41% и увеличения физического объема на 0,18%.

2.

а) индекс цен переменного состава рассчитаем по формуле:

б) индекс цен постоянного состава:

.

Следовательно, цена товара СР-1 уменьшилась на 1,33%, в том числе за счет уменьшения цен на заводах на 5,7%.

Задание 6

Имеются данные о продаже сахара на рынках города

Рынки	Базисный период		Отчетный период
	Количество, кг.	Цена за 1 кг, руб.	Количество, кг.	Цена за 1 кг, руб.
Центральный	700	530	755	550
Октябрьский	550	545	600	560
Ленинский	470	600	574	600

Определите:

1.   Изменение цен на сахар на каждом рынке города.

2.   Общее изменение цен на сахар на рынках города.

3.   Изменение объемов проданного сахара на рынках города.

4.   Изменение товарооборота.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

Сделайте выводы.

Решение 1.

На центральном рынке 550/530=1,04

На октябрьском рынке 560/545=1,03

На ленинском рынке 600/600=1

Это значит, что на центральном рынке цены в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличились на 4%, на октябрьском – на 3%, на ленинском рынке цены не изменились.

2.

Цены на сахар на рынках города изменились на 2%.

3.

На центральном рынке 755/700=1,08

На октябрьском рынке 600/550=1,09

На ленинском рынке 574/470=1,2

Это значит, что на центральном рынке сахара в отчетном периоде по сравнению с базисным продали на 8% больше, на октябрьском – на 9%, на ленинском – на 20%.

4.

В отчетном периоде товарооборот увеличился на 12%

Задание 7

Для изучения тесноты связи между выпуском продукции на одно предприятие (результативный признак - Y) и общей суммой затрат на производство продукции (факторный признак – X) определите по данным задания 1 эмпирическое корреляционное отношение и поясните его значение.

Решение

Исходная информация			Расчетные показатели
Выпуск продукции на один завод, тыс. шт. ()	Количество заводов (n)	Общая сумма затрат на производство продукции, млн. руб. (x)	Выпуск продукции, тыс. шт. i*n	Отклонение i-yср	(i-y)2	(i-y)2n
2,47	3	54,5	7.41	-4.14	17.14	51.42
4,33	8	242,7	34.6	-2.29	5.24	41.92
6,48	9	364,5	58.32	-0.13	0,02	0.18
8.72	5	266.1	43.6	2.11	4.45	22.25
10.9	5	313.5	54.5	4.29	18.4	92
Итого	30	819,3	198.43	-	-	207.77

Средний выпуск продукции: y_ср = 198.43/30 = 6.61тыс. шт. Межгрупповая дисперсия:

тыс. шт.

Фактически произведено продукции, тыс. шт., y	y2	yi-y	(yi-y)2
1,8	3.24	-4.81	23.14
2,6	6.76	-4.01	16.08
3	9	-3.61	13.03
3,9	15.21	-2.71	7.34
3,9	15.21	-2.71	7.34
4	16	-2.61	6.81
4,2	17.64	-2.41	5.81
4,3	18.49	-2.31	5.34
4,6	21.16	-2.01	4.04
4,7	22.09	-1.91	3.65
5	25	-1.61	2.59
5,9	34.81	-0.71	0.5
6	36	-0.61	0.37
6,2	38.44	-0.41	0.17
6,3	39.69	-0.31	0.1
6,4	40.96	-0.21	0.04
6,7	44.89	0.09	0.01
6,7	44.89	0.09	0.01
7	49	0.39	0.15
7,1	50.41	0.49	0.24
8	64	1.39	1.93
8,4	70.56	1.79	3.2
8,8	77.44	2.19	4.8
9	81	2.39	5.71
9,4	88.36	2.79	7.78
10,1	102.01	3.49	12.18
10,6	112.36	3.99	15.92
10,7	114.49	4.09	16.73
11,3	127.69	4.69	22
11,8	139.24	5.19	26.94

Общая дисперсия:

тыс. шт.

Корреляционное отношение:

Вывод: Выпуск продукции на одно предприятие зависит от общей суммы затрат на производство продукции на 98,59%, влияние других факторов составляет 1,41%. Взаимосвязь между изучаемыми показателями очень высокая.

Список литературы

1.      Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1996 г., с. 105-110

2.      Ефимова М.Е., Петрова Е.В., Румянцев В.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1996 г.,с. 215-216

3.      Спирина А.А., Башина О.Э. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001 г., с. 58-63

4.      Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001 г., с.98-117

5.      Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. Статистика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003 г., с. 116-119