Эконометрика

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАЧА 1.

ЗАДАЧА 2.

ЗАДАЧА 3.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ЗАДАЧА 1.

По данным представленным в таблице, изучается зависимость результативного признака (У) от факторного (У).

Номера результативного, факторного признаков, наблюдений определяются в соответствии с номером варианта.

№ п/п	Запасы влаги в почве, мм	Бонитировочный балл
Номер признака	Х	У
1	144	75
2	110	54
3	110	61
4	177	64
5	186	72
6	112	69
7	148	79
8	151	73
9	110	60
10	151	72
11	131	54
12	113	77
13	110	57
14	127	72
15	136	72
16	136	67
17	144	72
18	100	55
19	148	68
20	129	68

 

 

Задание

1. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии.

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

4. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня (). Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение

Для решения задачи составим вспомогательную таблицу:

№ п/п	Запасы влаги в почве, мм	Бонитировочный балл
	х	у	ху	х2	у2
1	144	75	10800	20736	5625	68,798	6,202	38,465	10,350	107,123
2	110	54	5940	12100	2916	63,256	-9,256	85,674	-23,650	559,323
3	110	61	6710	12100	3721	63,256	-2,256	5,090	-23,650	559,323
4	177	64	11328	31329	4096	74,177	-10,177	103,571	43,350	1879,223
5	186	72	13392	34596	5184	75,644	-3,644	13,279	52,350	2740,523
6	112	69	7728	12544	4761	63,582	5,418	29,355	-21,650	468,723
7	148	79	11692	21904	6241	69,45	9,55	91,202	14,350	205,923
8	151	73	11023	22801	5329	69,939	3,061	9,370	17,350	301,023
9	110	60	6600	12100	3600	63,256	-3,256	10,602	-23,650	559,323
10	151	72	10872	22801	5184	69,939	2,061	4,248	17,350	301,023
11	131	54	7074	17161	2916	66,679	-12,679	160,757	-2,650	7,023
12	113	77	8701	12769	5929	63,745	13,255	175,695	-20,650	426,423
13	110	57	6270	12100	3249	63,256	-6,256	39,138	-23,650	559,323
14	127	72	9144	16129	5184	66,027	5,973	35,677	-6,650	44,223
15	136	72	9792	18496	5184	67,494	4,506	20,304	2,350	5,522
16	136	67	9112	18496	4489	67,494	-0,494	0,244	2,350	5,522
17	144	72	10368	20736	5184	68,798	3,202	10,253	10,350	107,123
18	100	55	5500	10000	3025	61,626	-6,626	43,904	-33,650	1132,323
19	148	68	10064	21904	4624	69,45	-1,45	2,103	14,350	205,923
20	129	68	8772	16641	4624	66,353	1,647	2,713	-4,650	21,623
итого	2673	1341	180882	367443	91065	1342,22	-1,219	881,640	10,500	110,250
Средн. Знач	133,65	67,05	9044,1	18372,2	4553,25
	509,827	57,548
	22,579	7,586

1. Построение уравнения регрессии сводятся к оценке ее парамет­ров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна т.е

Для линейных уравнений, решается следующая система уравнений:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Уравнение регрессии:

2.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное – об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая уменьшается. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7, и слабой, если меньше 0,4. При равенстве его нулю связь полностью отсутствует. Это коэффициент дает объективную оценку тесноты связи лишь при линейной зависимости переменных.

Рассчитаем коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.

3. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации , которая показывает среднее отклонение расчетных значеий от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

4. Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.:

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Если табличное значение показателя меньше фактического, то значения коэффициентов не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х, Если наоборот, то признается случайная природа формирования коэффициентов.

 для числа степеней свободы  и .

Определим случайные ошибки:

тогда

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр признается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать отрицательное и положительное значение.

5. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит  тогда прогнозное значение результата будет

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза:

6. Аналитическая записка:

Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,484, следовательно связь изучаемых явлений является умеренной, прямой.

Коэффициент детерминации равен 0,234, т.е. вариация результата на 23,4% объясняется вариацией фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации равна 4,010%, что попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 4%.

Полученное значение F-критерия превышает табличное, следовательно параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

Полученные значения t-критерия показывают, что параметры a и b статистически незначимы, т.к. их фактические значения t-критерия меньше табличного. А коэффициент парной корреляции статистически значим, т.к. фактическое значение его t-критерия больше табличного.

Определение доверительных интервалов показало, что параметр b является статистически незначимым и равен нулю, т.к. в границы его доверительного интервала попадает ноль:

ЗАДАЧА 2.

По данным, представленным в таблице, изучается зависимость бонитировочного балла (У) от трех факторов .

№ п/п	Внесено минеральных удобрений на посевную площадь, ц	Коэффициент износа основных средств	Запасы влаги в почве, мм	Бонитировочный балл
	Х1	Х2	Х3	У
1	13,9	57,6	144	75
2	8,8	41,6	110	54
3	4	66,5	110	61
4	0,01	52,8	177	64
5	4,2	51,6	186	72
6	0,7	37,3	112	69
7	6,7	44,2	148	79
8	15,9	46,3	151	73
9	1,9	39,6	110	60
10	1,9	28,3	151	72
11	0,01	64,6	131	54
12	0,01	49,4	113	77
13	0,01	58,4	110	57
14	1,2	58,9	127	72
15	0,01	49,6	136	72
16	0,01	51,9	136	67
17	3,7	49,7	144	72
18	0,01	37,6	100	55
19	0,01	50,3	148	68
20	1,6	43,2	129	68
21	2,5	36,2	125	73
22	0,01	53,5	113	61
23	6,3	49,6	129	70
24	0,01	54,3	168	70
25	13,1	42,9	125	69
26	0,4	31,1	125	75
27	0,01	49,7	131	47
28	0,8	24,6	146	70
29	0,01	58,7	88	66
30	0,01	56,3	127	66
31	0,5	48,4	113	69
32	0,01	50,6	151	68
33	2,3	49,4	129	68
34	0,01	56,8	177	67
35	0,01	40,1	131	46

Задание следует решить с помощью ППП MS EXCEL или любого другого статистического пакета прикладных программ.

Задание.

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите какие факторы мультиколлинеарны.

2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

4. Отберите информативные факторы по пунктам 1 и 3. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

5. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение.

Для проведения корреляционного анализа воспользуемся программой «Excel»:

1) загрузить среду Excel ;

2) выделить рабочее поле таблицы;

3) выбрать пункт меню «Сервис» и в появившемся меню выбрать «Анализ данных» (рис. 1);

Рис. 1 Меню «Сервис».

4) в появившемся диалоговом окне «Анализ данных» (рис. 2) выбрать «Корреляция;

Рис. 2. Диалоговое окно «Анализ данных».

5) в появившемся диалоговом окне «Корреляция» (рис. 3) убедиться, что все проставленные в нем установки соответствуют таблице исходных данных. После выполнения этих операций нажать клавишу «ОК»;

Рис. 3. Диалоговое окно «Корреляция».

В результате получим:

	Х1	Х2	Х3	У
Х1	1
Х2	-0,03376	1
Х3	0,098684	0,033191	1
У	0,26943	-0,13538	0,312057	1

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. бонитировочный балл имеет слабую прямую связь со всеми независимыми переменными, т.к. значения коэффициентов парной корреляции ниже 0,4.

Мультиколлинеарность отсутствует

2.Для проведения регрессионного анализа, также используем Excel.

1) загрузить среду Excel ;

2) выделить рабочее поле таблицы;

3) выбрать пункт меню «Сервис» и в появившемся меню выбрать «Анализ данных» (рис. 4);

Рис. 4. Меню «Сервис».

4) в появившемся диалоговом окне «Анализ данных» (рис. 5) выбрать «Регрессия»;

Рис. 5. Диалоговое окно «Анализ данных».

5) в появившемся диалоговом окне «Регрессия» (рис. 6) убедиться, что все проставленные в нем установки соответствуют таблице исходных данных. После выполнения этих операций нажать клавишу «ОК»;

Рис. 6. Диалоговое окно «Регрессия».

В результате получим:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,416713
R-квадрат	0,17365
Нормированный R-квадрат	0,09368
Стандартная ошибка	7,58219
Наблюдения	35
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	374,508	124,836	2,171453	0,111346483
Остаток	31	1782,178	57,4896
Итого	34	2156,686
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	56,84826	10,01268	5,677626	3,08E-06	36,42724917	77,26927	36,42725	77,26927
Х1	0,440965	0,306967	1,436523	0,16087	-0,185098139	1,067027	-0,1851	1,067027
Х2	-0,11314	0,13485	-0,83899	0,407899	-0,388166847	0,161891	-0,38817	0,161891
Х3	0,104629	0,058561	1,786669	0,083775	-0,014806871	0,224065	-0,01481	0,224065

Уравнение регрессии полученное с помощью Excel, имеет вид:

3. По данным проведенного корреляционного и регрессионного анализа оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии. Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного значения F-критерия Фишера.

Частные F-критерии оценивают статистическую значимость присутствия факторов в уравнении регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого.

t-критерий проверяет гипотезу о статистической значимости факторов уравнения регрессии.

4. Согласно проведенному анализу информативными факторами являются х₁ и х₂, а также коэффициенты b₁ и b_2. Следовательно уравнение регрессии со статистически значимыми факторами будет иметь вид: