Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993

22.                                                                                                                             Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.

23.                                                                                                                              Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.

Приложение

 

Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».

Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.

Цели:

1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.

2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.

Место изучения.

Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

Ход факультатива:

Учащимся предлагается попробовать решить уравнение  самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α, или х=cosα, α, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.

«Поскольку функция 4х³-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)= : 1- х² ≥0, значит х. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок .

Подставим х=cosα в уравнение, получим

Так как α, то sinα ≥0 и можно опустить модуль:

Условию α удовлетворяют три значения α₁=, α₂=,α₃=.

x₁=cos α₁=cos=,

x₂=cos α₂=cos=-sin= =

x₃= cos α₃=cos =-cos=.

Ответ: x₁=, x₂=, x₃=.

Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение

 При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α. Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на , причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α». Уравнение примет вид

Условию α удовлетворяют четыре значения α₁=, α₂=, α₃=, α₄=.

Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х²+y²=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y= cosα, α, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.

Пусть х= sinα, y= cosα, α Второе уравнение системы примет вид

Условию α удовлетворяют четыре значения α₁=, α₂=, α₃=, α₄=.

х₁= y₁=

х₂= y₂=

х₃= y₃=

х₄= y₄=

Ответ: х= , y= ; x= , y= ; x= ,

y= ; x= , y= .

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a²+b²=1, c²+d²=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α, c=sinβ, d=cosβ, β. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

Преобразуем выражение ab+cd:

Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α - β)=0, a значит ab+cd=0.

Ответ: ab+cd=0»

После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgα, α и x=ctgα, α.

Пример 5. Доказать, что при любых действительных х и у

.

Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

Положим , где . Тогда

Так как все значения выражения

лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось доказать.

 

* более подробно эти вопросы изложены в параграфе 3

1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение тригонометрических функций только в начале 11го.