Особливості вивчення теми "Дроби" в початковій школі

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Наочна концепція дробу

1.1 Особливості прийнятого способу ознайомлення учнів з дробами

1.2 Історичний корінь наочної концепції дробу

1.3 Вимірювання величин як предметне джерело дробу

Розділ 2. Методика вивчення дробів

2.1 Ознайомлення з частками

2.2 Ознайомлення з дробами

Висновки

Список використаних джерел

 

ВСТУП

 

Особливості формування поняття про дроби у молодших школярів являє особливий інтерес як для педагогічної психології навчання, так і для вікової психології. Дроби мають широке застосування в повсякденному житті. Це зумовлює потребу у викладанні уявлень про дроби уже в початковій школі. Разом з тим викладання дробів у молодших класах пов‘язане з певними труднощами, які з однієї сторони, змушують різко обмежити об‘єм знань про дроби, з якими ознайомлюють молодших школярів, а з другої сторони, викликає тенденцію до такого способу введення дробів, який не відповідає поняттю про них.

В чому ж полягають труднощі ознайомлення з дробами? Ось що пише з цього приводу методист І.Н. Шевченко: «Звичайно, дроби дуже складні числа …», - і продовжує: «В силу того, що дріб – число більш складне, ніж ціле, вивчення дробів пов‘язане з деякими труднощами. Щоб зрозуміти дроби і вивчити дії над ними, потрібно оволодіти механізмом спільних дій не над одним, а над двома числами … Тут від учнів вимагається трохи більше напруження їх розумових сил» [12; 80,86-87].

Як бачимо, труднощі дробів з точки зору вивчення полягає в тому, що тут дитина повинна засвоїти механізм дії зразу над двома числами. Як же ці числа пов‘язані між собою? І.Н. Шевченко пише: «Дріб – це число, яке являє собою сукупність двох чисел» [12; 86]. Тут не вказується характер особливостей, які властиві дробу, але по способах практичного його використання можна зробити висновок, що він являє собою відношення двох чисел. Поняття дробу припускає виділення цього відношення і вміння орієнтуватися на нього.

Засвоєння відношення чисел якраз і пов‘язане з тими труднощами, які виділяють методисти і психологи. Цей момент, дуже важливий для вікової психології, у свій час був спеціально виділений П.П. Блонським: «Шкільний курс арифметики ясно ділиться на дві частини: цілі числа і дроби, причому іменовані числа являються частіше за все переходом від першої частини до другої. Арифметика цілих чисел припадає на молодше дитинство, арифметика дробів – на старше. Якщо в молодшому дитинстві, вивчаючи арифметику цілих чисел, дитина ступає на першу сходинку абстрагування від якісних ознак предмета, на сходинку кількості і величини, то, вивчаючи арифметику дробів, вона ступає на другу сходинку – кількісного відновлення; це – сходинка абстрактного мислення відношення предметів, позбавлених всіх властивостей. Так за стадією мислення якісних абстракцій іде стадія мислення абстрактних відношень» [6; 126].

Стадія мислення «абстрактних відношень» пов‘язана з вивченням арифметики дробів. Зрозуміло, що дітям молодшого шкільного віку ця друга сходинка абстракції дається важко і тут у викладанні допускається тільки проподевтика дробів, а систематичний їх курс повинен даватися пізніше, за межами початкових класів, хоч і там залишається найбільш трудною серед інших тем [12; 87].

І так, серед інших причин, що суттєво ускладнюють зміст теми «Дроби» в молодших класах чи взагалі, які виходять за межі її початкового вивчення, не менш важливе значення мають дані вікової психології, відповідно до яких розгорнуте засвоєння арифметики дробів, пов‘язане з розумінням кількісних відношень, перевищує «максимум» інтелектуальних можливостей дітей молодшого шкільного віку (відповідно до висновків П.П. Блонського, цей «максимум» в молодшому шкільному віці забезпечує тільки засвоєння арифметики цілих чисел, які приводять дітей до абстракції «кількості і величини» [6; 162-163]. Тому об‘єктом курсової роботи обрано процес вивчення дробів в початковій школі, а предметом – пошук ефективних методичних прийомів, які враховують психологічні особливості молодших школярів при вивченні теми «Дроби».

Мета – особливості вивчення теми «Дроби» в початковій школі.

Завдання курсової роботи:

1. розкрити особливості прийнятого способу ознайомлення учнів з дробами;

2. дослідити історичний корінь «наочної концепції дробу»;

3. розглянути вимірювання величин як предметне джерело дробу;

4. ознайомитися з методикою викладання дробів в початкових класах.

РОЗДІЛ 1. “НАОЧНА КОНЦЕПЦІЯ ДРОБУ”

1.1 Особливості прийнятого способу ознайомлення учнів з дробами

Формування поняття про дроби рекомендується проводити по трьох основних етапах:

1) спочатку діти засвоюють фактичне роздроблення (ділення) різноманітних конкретних предметів на рівні (“частки”), коли кожен предмет виступає як ціла одиниця; вони утворюють різні частини цих предметів (половину, чверть і т.д.), а із частин – дроби (одна друга, одна четверта, три четвертих);

2) потім цю ж роботу діти проробляють уже на кресленнях (малюнки кругів, відрізків);

3) діти оперують дробами по уявленню, без будь-яких інших зовнішніх опор, крім самих записів ( і т.д.). Розглянемо детальніше зміст роботи на кожному з цих етапів.

На першому з них знаходить своє вираження життєвий досвід самих дітей, що і створює надійну основу для успішної роботи по засвоєнню цього нового розділу арифметики [11; 325]. Ще в дошкільному віці дітям приходилося розламувати яблука, пряники – і вже тоді вони говорили про половину чого-небудь, про чверть і про деякі другі частини цілого [12; 87]. В школі ж діти уже в 1 класі знайомляться з розбиттям сукупності предметів на рівні частини, уточнюють зміст термінів «половина», «чверть» тощо, працюючи з кругами, квадратами, відрізками, а пізніше відносять їх до таких мір, як кілограм, метр, літр. Завдяки цьому з 1 по 4 клас, розширюються і удосконалюються уявлення про ціле і частини, прийоми розбиття окремих предметів і їх груп на рівні частини.

Діти помічають зв‘язок між числом рівних частин і назвою кожної частини (щоб получити чверть круга, потрібно розділити його на чотири рівні частини тощо), а потім вже без наочних засобів вирішують, наприклад, такі задачі, як знаходження сьомої, дев‘ятої частини числа. В 3 класі вони можуть пояснити графічно різні частини даного відрізка (половину, третину, шосту частину тощо).

Приступаючи до спеціальної навчальної роботи над дробами, необхідно опиратися на ці знання учнів, поновити їх і систематизувати. Перші кроки в цьому напрямі можуть бути “грубо наочними: береться яблуко і розламується на дві рівні частини, в кожній руці буде половина яблука; береться стакан, наповнений водою, і половина води виливається в кольорову банку, значить у стакані залишається півстакана води” [12; 88]. Дальше можуть демонструватися частини одиниць виміру (наприклад, сантиметр – одна десята дециметра).

Вивчення часток краще всього проводити з допомогою картонних чи фанерних кругів, цілих і поділених на сектори, так як частина круга, яка демонструє ту чи іншу частину одиниці, значно відмінну від цілого круга – одиниці. Але і відрізки, і квадрати, і прямокутники, зроблені з картону чи фанери і розбити на частини, також повинні використовуватися як наочні засоби (на рис.1 показані зразки таких засобів, взяті із праці А.С. Пчілки) [11; 326-327].

Рис. 1

З їх допомогою виділяються наступні частини: половина, чверть, восьма, п‘ята і десята, а потім демонструються дроби, які складаються з цих частин [11; 326].

На перших уроках цієї теми проводиться така робота:

Вчитель (показує згинання круга наполовину, а потім розрізає, отримуючи дві рівних частини круга). Скільки отримали половин?

Учні. Дві половини.

Вчитель. Що можна сказати про обидві половини? Які вони між собою за розміром?

Учні. Половини рівні.

Вчитель. Прикладіть до цілого круга половину. Скільки всього стало половин?

Учні. Три половини.

Вчитель. Ці три половини – дві з них демонструють цілий круг – утворюють півтора круга ... Скільки половин буде в двох кругах?

Учні. В двох кругах чотири половини.

Вчитель. Тепер я покажу вам як записується половина. Пишеться вона

так: . Щоб отримати половину ми ділимо круг на дві рівні частини. Число 2 пишеться під рискою. Таких частин ми взяли одну. Одиниця пишеться над рискою.

Учні (пишуть на кожній половині круга цифрами ) [11,с.327-328].

Подібним способом учні знайомляться з чвертю. (), а потім з трьома четвертими ().

Вчитель. Як можна получити чверть з цілого круга?

Учні. Цілий круг потрібно розділити на чотири рівних частини.

Вчитель. Як получити з цілого круга три чверті?

Учні. Потрібно цілий круг розділити на чотири рівних частини і взяти три таких частини.

Вчитель. Одна четверта пишеться так: , три четвертих: .

Потім діти ділять смужку паперу, прямокутники і повторюють ті висновки, які зроблені при діленні круга на чотири рівних частини [11; 329].

На наступних уроках вивчаються інші дроби:  тощо. Вчитель просить, наприклад, утворити  листка паперу (квадрата паперу, круга). Учні відповідають: «Щоб отримати  листка паперу, потрібно цілий листок розділити на 8 рівних частин і взяти три таких частини (одиницю розділити на 8 рівних частин і таких частин взяли 3) [11,330-331].

Виділення частин і вивчення відповідних дробів можна проводити і на дерев‘яних моделях куба, допускається поділ на 2, на 4 і на 8 рівних частин

[12; 95].

Ділення предметів, яке приводить до появи дробового числа, дітям можна показати і на такому прикладі потрібно розділити 3 яблука порівну між чотирма дітьми. Зрозуміло, що кожному дістанеться не ціле яблуко, а тільки деяка його частина. Розрізавши два яблука на половину, можна дати кожному по половині, а потім, розрізавши ще одне яблуко на чотири частини, дати кожному по його чверті. Спираючись на наочність, можна показати, що кожна дитина отримала по  яблука [12; 94].

На наступних етапах ця робота проводиться уже на кресленнях (діти малюють круги, квадрати, відрізки прямої). Особливе значення має демонтстрація частин за допомогою відрізків. Намалювавши декілька відрізків однакової довжини, учні ділять кожен з них на те чи інше число рівних частин ( на 2, 3, 4, …, 12 частин). При цьому вони сприймають «на око довжину кожної з отриманих частин» і помічають, що «при збільшенні знаменника частини зменшуються» [13; 89].

За допомогою малюнків дітям легко розкрити зміст мішаних чисел. Так, учні (по зразку, який дав вчитель) малюють у зошиті певну кількість цілих кругів і його частини, а потім позначають все це деяким мішаним числом (наприклад, 2 , 3; рис.2) [11; 331].

Робота з малюнками дозволяє оперативно замінити одні частини другими, одну кількість – іншою, що створює сприятливі умови для переходу до вивчення властивостей самих дробів – до перетворення мішаного чи цілого числа у неправильний дріб і до виділення цілого числа із неправильного дробу, до перетворення одних частин у інші; до додавання і віднімання однойменних і кратних частин) [11; 327].

Поступово звільняючись від опори на малюнок, діти переходять до третього етапу: перетворення дробів (наприклад, виділення цілого числа із неправильного дробу або скорочення дробу і т.д.), маючи перед собою тільки його запис або лише слуховий образ. На цьому етапі можна переходити до логічного обгрунтування правил дій з дробами. Правда, в межах початкового вивчення методисти рекомендують залишатися на такому рівні, коли дії з дробами здійснюються не за цими правилами, а на основі роздумів, які випливають із наочного уявлення [11; 325].

Описані вище конкретні рекомендації можуть отримати чітке теоретичне обгрунтування, наприклад, у праці І.К. Андронова. Тут говориться наступне: «В природі можна спостерігати як елементи множин іноді розпадаються на нові елементи. Так, наприклад, горошина, прорастаючи, розпадається на дві частини, а якщо з апельсина зняти шкірку, то він легко розділяється на 10 частин.

Можна підібрати скільки завгодно прикладів подібного поділу елементів множин на рівні частини, які в свою чергу стають елементами інших множин

[4; 7]. Таке розбиття на частини допускають, наприклад, яблука, картопля, грядки, але воно неможливе на інших предметах: чашку, наприклад, на рівні частини роз‘єднати не можна [4; 7]. Спостерігаючи випадки розбиття, легко дати відповідне визначення поняття «частина елемента» - це кожна із рівних частин

[4; 8]. Звідси випливає і визначення дробового числа як пари натуральних чисел, одне з яких показує кількість частин, а інше – скільки таких частин взято

[4; 12].

Для всієї цієї лінії знайомства учнів з дробовим числом характерні наступні основні особливості:

1. Учням демонструють те, що деякі предмети (“одиниці”) можуть розпадатися, розбиватися на рівні частини або останні можуть бути виділені на цих предметах самою людиною. Кожна із частин, всі вони разом або деяка сукупність з них можуть бути об‘єктом прямого спостереження.

2. Учні визначають за допомогою цілого числа ту чи іншу кількість частин самих по собі (“Три частинки апельсина”), але після цього вони вказують одночасно і всю ту кількість частин, з яких виділена перша сукупність (“три частинки апельсина з десяти наявних” тощо).

1.  В житті вироблені конкретні словесні вираження для подібного одночасного вказування пари цілих чисел “одна з семи” або “одна сьома”, “три з десяти” або “три десятих”. Ця пара чисел і є дріб. Діти вчаться користуватися цими вираженнями при спостереженні за відповідними ситуаціями або на вимогу вчителя “взяти” ту чи іншу кількість частин із їх групи.

2.  Таким чином, тут мова йде про виникнення дробу із деякої конкретної реальності. Такою реальністю являється, як підкреслив І.Н. Шевченко, поділ можливих речей. Це і є “наочна концепція дробу” [12; 94]

А.С. Пчілка прямо говорить про “сприйняття дробових чисел”, про те, що завдання пропедевтики дробів “дати дітям наочне, цілком конкретне, образне уявлення про частини [11; 325]. Звичайно, що, відповідно до цих настанов, «при вивченні дробів процес навчання повинен проходити повільніше, ніж це було на множині цілих чисел» [11; 325]. Завдання пропедевтики полягає в тому «щоб учень початкової школи ясно уявляв собі дріб як одну чи декілька рівних частин цілого – круга, квадрата, одиниці».

«Наочна концепція дробу» являється тепер провідною в методиці викладання математики як у нас, так і за кордоном. Вона здається цілком логічною і життєвою, яка спирається на загальні уявлення про те, що числа являють собою своєрідне відображення реальності. Але тут є моменти, які так сказати «насторожують». У праці А.С. Пчілки говориться: «Із всіх способів вивчення дробового числа на цій сходинці розглядається тільки один спосіб ділення предметів на рівні частини [11; 327].

Звичайно, є і другі способи вивчення дробів, які не розглядаються у початковій школі. Вони перелічуються у методичній праці І.Н. Шевченка. Тут вказуються два основних джерела виникнення дробів. Вимірювання і ділення

[12; 81]. Ділення у свою чергу має дві форми: ділення речей, предметів і величин і ділення чисел. При цьому “фізичний акт ділення – прототип ділення виділених чисел, і ми говоримо про ділення цілих чисел як про джерело виникнення дробів, опираючись на наочні уявлення і на особистий досвід школярів [12; 81].

Таким чином, ділення речей як способів вивчення дробів, прийнятий у початковій школі, і відповідна йому “наочна концепція дробу” направлені на наступне введення дробів як часткового від ділення цілих чисел.

Ну, а вимірювання? Як справа з його вивченням у школі? Вражаюче, але факт – у початкових класах при вивченні дробів воно взагалі не застосовується [11; 302]. Основний же акцент у викладанні робиться на введення дробів через ділення предметів і частин. При цьому ні в теоретичному, ні в практичному плані тут навіть не робиться спроб якось поєднати виділені два джерела вивчення дробів або обґрунтувати домінуюче значення одного з них перед другим. Вимірювання просто ігнорується як важливе джерело цієї форми чисел, хоча зовні воно і вказується.

1.2 Історичний корінь «Наочної концепції дробу»

Як показує історія становлення основних математичних понять, зокрема

поняття числа, дійсна необхідність у дробах виникла при вимірюванні величин за

допомогою обраної одиниці [8; 239]. «...Історично дроби виникли у зв'язку з потребою вимірювати». Вимірювання різних величин за допомогою обраних мір (одиниць) показувало людям, що вираження його результату цілими числами найчастіше носить наближений характер. Для уточнення результатів вимірювання необхідно було вибирати інші, менші одиниці, які мали певне відношення до колишнього. «Таким чином, практика привела людину до необхідності використання різних одиниць, а з відношень одиниць цих конкретних мір виникло абстрактне поняття дробу» [8; 240].

Дробові числа широко застосовувалися древніми єгиптянами, вавилонянами, індусами, потім греками, а в середньовіччя - арабами. При цьому є підстави думати, що й у математиці як науці дроби спочатку розглядалися у зв'язку із задачами виміру величин. Так, стародавні греки раціональний дріб виду  навіть не називали числом - це було для них відношення, розгляд якого поклало початок теорії звичайних дробів [8; 243]. Виклад звичайних дробів, даний Симоном Стевином наприкінці XVI в., супроводжувався виданням праці того ж автора про десяткові дроби [8; 245], які традиційно пов'язані з потребами саме вимірювання. Разом з тим уже з XIIст. у працях по арифметиці при описі ділення чисел з остачею дроби розглядаються як частини чисел (ця точка зору може бути вловлена ще в єгиптян) [8; 255].

Аж до ХVП-ХVПІст. у математиці вироблялися самі правила дій із дробовими числами. У підручники європейських шкіл викладання дробів стало проникати в XVIIIст. При цьому Хр. Вольф у своєму керівництві вперше висловлює вимогу про те, щоб закони арифметичних дій, раніше встановлені при обігу із цілими числами, обґрунтовувалися й для дробів. Але методи цього обґрунтування були розроблені тільки в XIX в. [8; 245-263].

Практика дій із самими дробами, вірніше з їх символами, наприклад з вираженням відношення , поступово приводила до того, що усередині математики форма цих «нових» чисел усе більше й більше відділялась від їхньої першооснови, від вимірювання. «Останній, і самий істотний, крок, - пишуть

Р. Курант і Г. Роббінс, торкаючись цього питання, - був зроблений уже усвідомлено, після багатьох сторіч нагромадження окремих зусиль: символ був звільнений від його конкретного зв'язку із процесом вимірювання й самих вимірюваних величин і став розглядатися як абстрактне число, самостійна сутність, зрівняна у своїх правах з натуральним числом».

Такий свідомий перехід до розгляду дробів як «самостійної сутності» був зроблений при розв‘язуванні особливих пізнавальних задач, пов‘язаних із внутрішнім розвитком самої математики як теоретичної дисципліни. Справа, в тому, що в межах тільки натуральних чисел не завжди здійсненні операції виділення й ділення. З розвитком математичного апарата виникає теоретична потреба в знятті цих обмежень. «Введення» дробових чисел усувало перешкоди, що заважають виконувати ділення (подібно тому як негативні числа усували перешкоди для виділення), але без порушення основних арифметичних законів (асоціативного, комутативного й дистрибутивного). Подібне розширення області чисел (тут - побудова системи раціональних чисел) є одним із проявів основного способу утворення нових понять у сучасній алгебрі [9; 8]. Це - «одна з форм характерного в математиці процесу узагальнення».

Ця форма узагальнення й відповідний їй алгебраїчний спосіб утворення нових понять був розроблений в XIXст. («принцип сталості формальних законів»). Потім в абстрактній формі цей спосіб розширення числової області застосовується в теорії пар, що використається, зокрема, і для введення дробових чисел. Якщо операція над двома числами неможлива в області наявних чисел, то вводиться новий символ у вигляді пари колишніх чисел (а,в, для якої встановлюються визначення рівності, більше, менше й т.д. Якщо арифметичні дії над новими символами підкоряються законам дій над колишніми, тонові символи визнаються числами [8; 264].

Теорія пар прийнята в сучасній математиці, дозволяє логічно бездоганно будувати числові системи без якого-небудь звертання до «конкретної дійсності», у випадку раціональних чисел - без звертання до вимірювання. Вона стала потужним знаряддям теоретичного дослідження й, природно, уважається єдино й справді науковою.

Ця установка в теорії числових систем поступово стала проникати й поширюватися на викладання математики як у вищих, так й у середніх навчальних закладах. Цілком природне прагнення педагогів до відновлення курсу математики приводило до того, що зазначений підхід до введення чисел став сприйматися як єдино сучасний і строгий. Створилася ситуація, що ще в 30-і роки була в такий спосіб охарактеризована А. Н. Колмогоровим: «...Дуже поширена думка, що найбільш «науковим» підходом до введення раціональних чисел є підхід з боку довільного розширення області цілих чисел для досягнення необмеженої реалізації дії ділення... Часто учням повідомляють помилкові твердження, що справді наукова побудова раціональних чисел не повинна мати нічого загального з вимірюванням величин. Часто говорять, що правила дії над дробами є лише «зручні угоди», що зберігають незмінними закони дій» [9; 8-9].

Однак зазначена думка, розповсюджена серед методистів, послужила причиною того положення речей, коли вимірювання величин як джерело дробів стало ігноруватися. Це відношення до реального вимірювання було б, видимо, правомірним, якби традиційний зміст шкільної математики змінився б настільки, що злився б з поняттями абстрактної алгебри як навчанні про операції. Але тоді, звичайно, це був би інший навчальний предмет, з іншими загальними освітніми цілями, у якому, до речі, різні види чисел мали б й іншу пізнавальну цінність, чим у нинішньому навчальному предметі. Однак так далеко ні в недалекому минулому, ні в найближчому майбутньому перебудова курсу не зайшла й не зайде. Цей курс усе ще далекий від способів утворення понять у загальній (абстрактній) алгебрі, що у свій час саме й було відзначено А. Н. Колмогоровим: «Вся ця концепція занадто абстрактна не тільки для того, щоб у явному вигляді викладатися в середній школі, але й для того, щоб служити опорою для вчителя в цьому викладанні». І потім він констатує справжнє положення речей: «У дійсності, звичайно, ніхто й не намагається викладати в школі ідеї сучасної абстрактної алгебри» [ 9; 9].

Іншими словами, хоча ідеї абстрактної алгебри в школі й не викладаються, однак їхній непрямий вплив на спосіб введення раціональних чисел у наявності. Варто мати на увазі, що такий вплив зовні виразився як негативно (ігнорування виміру), так і позитивно - через ідею про те, що одним із джерел дробів є ділення самих чисел. Оскільки ця дія загальноприйнята, а випадки ділення з остачею або при наявності діленого,, що менше дільника, часті, то в принципі неважко задачі такого ділення поставити у зв'язок з поняттям «числової пари», скористатися відсвітом алгебраїчного способу розширення числової області. Але саме його відсвітом, зовнішньою подібністю, а не суттю, що вимагає інших підстав, чим ті, які можуть бути поки дані в школі.

Таким чином, поряд з вимірюванням у методиці було зазначено ще одне і справді математичне джерело дробів - ділення чисел. Переважне положення цього джерела підкріплювалося ще тією загальною тенденцією, що властива всьому викладанню математики і яку А. Н. Колмогоров описав так: «...На різних щаблях навчання з різним ступенем сміливості незмінно проявляється та сама тенденція: можливо скоріше справитися із введенням чисел і далі вже говорити про числа й співвідношення між ними» [9; 10]. При наявності такої тенденції співвідношення цілих чисел, наявні в діленні, були, звичайно, зручною підставою для знайомства учнів із дробами.

Але тут необхідно було враховувати й фактори психологічного характеру. П'ятикласникам, а тим більше молодшим школярам, не можна задати в чисто знаковому, символічному плані принцип того ділення, що приводить до дробів. Потрібно було знайти його наочний корелят. У цій ролі й виступило так зване ділення самих речей, їхній поділ на частини, що у ході навчання може бути відносно легко пов‘язане з термінами, характерними для визначення звичайних дробів. Так цілком закономірно виникла «наочна концепція дробу», описана вище. Досить хитрими шляхами в історії викладання математики справжнє джерело утворення дробів - вимірювання - було замінено у дидактичних цілях сурогатом ділення чисел, так називаним «діленням речей». Подібна концепція одержала широкий резонанс не тільки в середніх навчальних закладах, а й у молодших класах, тим більше що тут немудро було зв'язати виділення «часток» з життєвим досвідом дитини в поділі предметів, наприклад у розламуванні яблук або розрізуванні кавунів.