Преобразования Галилея

2. Преобразования Галилея

 

Преобразования Галилея – это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. Событие определяется местом, где оно произошло (координаты ), и моментом времени , когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа:  – координаты события.

Пусть материальная точка  в системе отсчета  в момент времени  имела координаты , т. е. в системе  заданы координаты события – .

Найдем координаты  этого события в системе , которая движется относительно системы  равномерно и прямолинейно вдоль оси  со скоростью.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени  начала координат совпадали. Оси  и  направлены вдоль одной прямой, а оси  и ,  и  – параллельны.

Рис. 3

Тогда из рисунка очевидно:

.

Кроме того, ясно, что для наших систем координат

,

.

В механике Ньютона предполагается, что

,

т. е. время течет одинаково во всех системах отсчета.

Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

,

,

,

.

 

3. Программы

 

Курс общей физики

1.         Физические преобразования координат.

2.         Инерциальные системы отсчета, первый закон Ньютона.

3.         Классический закон сложения скоростей.

4.         Инвариантность длины, интервала времени, ускорения.

5.         Абсолютный характер понятия одновременности.

Курс школьной физики

1.         Относительность механического движения.

2.         Относительная, абсолютная, переносная скорости.

4. Сравнительный анализ методик

 

Преобразования Галилея – наиболее простой и естественный переход из одной системы отсчета в другую. Это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета.

Введение этого понятия в физике необходимо, т. к. с помощью преобразований Галилея мы можем рассматривать одно и то же событие в разных системах отсчета.

Если сравнивать программы изучения преобразований Галилея в курсе общей физики и в элементарной школе, то можем сделать вывод о том, что некоторые понятия впервые упоминаются лишь в курсе общей физики, в связи со сложностью их восприятия.

Для более точного сравнения методик, воспользуемся учебником по курсу общей физики И.В. Савельева и школьным учебником по физики за 9 класс Кикоина И.К. и Кикоина А.К.

В школьном учебнике эта тема изучается в § 8 «Относительность движения». Само понятие «преобразования Галилея» в этом параграфе не вводится, но зная о том, что преобразования Галилея связаны с рассмотрением одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета, то можем отнести это понятие к относительности движения. В общей физике мы впервые встречаемся с преобразованиями Галилея в седьмой главе «Элементы специальной теории относительности» в § 44 «Принцип относительности Галилея».

Для начала рассмотрим объяснение преобразований Галилея в учебнике для элементарной школы.

В начале параграфа вводится понятие тела отсчета. За тело отсчета можно выбрать любое тело. Тогда положение одного и того же тела можно рассматривать относительно разных систем отсчета. Чтобы в этом убедиться, приводится пример. Положение автомобиля на дороге (рис. 4) можно задать, указав, что он находится на расстоянии  к северу от населенного пункта 1. рис. 4

Но можно сказать, что автомобиль расположен на расстоянии  к востоку от населенного пункта 2. Это и значит, что положение тела относительно: оно различно относительно разных систем координат.

Также относительным может быть не только положение тела, но и его движение. Чтобы в этом убедиться, рассматриваются примеры относительности движения. Одним из них является такой пример. Каждому, наверное, приходилось наблюдать, как иногда трудно, находясь в вагоне поезда и глядя в окно на проходящий мимо по соседнему пути поезд, выяснить, какой из поездов движется, а какой покоится. Строго говоря, если видеть только соседний вагон и не видеть земли, строений, облаков и т. д., то узнать, какой из поездов движется прямолинейно и равномерно, а какой покоится, невозможно. Если пассажир одного из поездов утверждает, что движется «его» поезд, то пассажир другого поезда с таким же правом может сказать, что движется «его» поезд, а соседний неподвижен. Правы оба пассажира – движение и покой относительны.

Выяснив понятия тела отсчета, относительности тела отсчета и движения в параграфе вводится пункт об одном и том же движении с разных точек зрения. В нем рассматривается движение одного и того же тела относительно двух разных систем отсчета, движущихся одна относительно другой прямолинейно и равномерно. Одну из них условно считают неподвижной. Другая движется относительно нее прямолинейно и равномерно. Приводится простой пример. Лодка пересекает реку перпендикулярно течению, двигаясь с некоторой скоростью относительно воды. Вода в реке движется относительно берега со скоростью течения реки.

За движением лодки следят два наблюдателя: один неподвижный, расположился на берегу в точке  (рис. 5), другой – на плоту, плывущем по течению (со скоростью течения реки). Оба наблюдателя измеряют перемещение лодки и время, затраченное на него. Относительно воды плот неподвижен, а по отношению к берегу он движется со скоростью течения реки.

Мысленно проводится через точку  систему координат . Ось  направляется вдоль берега, ось  – перпендикулярно течению реки. Это неподвижная система рис. 5

отсчета. Другую систему координат  связывают с плотом. Оси  и  параллельны осям  и . Это – подвижная система координат.

Как движется лодка относительно этих двух систем?

Наблюдатель на плоту, двигаясь вместе со «своей» системой координат по течению, видит, что лодка удаляется от него к противоположному берегу все время перпендикулярно течению. Он видит это и в точке А, и в точке В, и в любой другой точке. А когда через некоторое время плот окажется в точке С, лодка достигнет противоположного берега в точке С’. Относительно подвижной системы координат (плота) лодка совершила перемещение . Разделив его на , подвижный наблюдатель получит скорость лодки  относительно плота:

.

Совсем другим представится движение лодки неподвижному наблюдателю на берегу. Относительно «его» системы координат лодка за то же время  совершила перемещение . За это же время подвижная система отсчета вместе с плотом совершила перемещение  (лодку, как говорят, «отнесло» вниз по течению). Схематически перемещения лодки показаны на рисунке. [3]

Далее в этом параграфе вводятся формула сложения перемещений

и формула сложения скоростей

,

а так же, чему равна скорость тела относительно неподвижной системы координат.

Мы видим, что и перемещение и скорость тела относительно разных систем отсчета различны. Различны и траектория движения ( – относительно подвижной системы и  – относительно неподвижной). В этом и состоит относительность движения.

Далее мы переходим к рассмотрению преобразований Галилея в курсе общей физики.

С объяснения этого понятия начинается изучение принципа относительности Галилея. Сопоставляются описания движения частицы в инерциальных системах отсчета  и, движущихся друг относительно друга со скоростью  (рис. 6).

Рис. 6

Для простоты выбираются оси координат так, как показано на рисунке. Отсчет времени начинается с того момента, когда начала координат  и  совпадали. Тогда координаты  и  произвольно выбранной точки  будут связаны соотношением . При сделанном выборе осей  и . В ньютоновской механике предполагается, что время во всех системах отсчета течет одинаково; поэтому . Таким образом, получается совокупность четырех уравнений:

, , , ,

называемых преобразованиями Галилея. Эти уравнения позволяют перейти от координат и времени одной инерциальной системы отсчета к координатам и времени другой инерциальной системы. [4]

Следуя по программе, далее рассматриваются инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона.

Законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета.

Затем необходимо познакомиться с классическим законом сложения скоростей. Мы знаем, что компоненты скорости частицы в системе  определяются выражениями

, , .

В системе  компоненты скорости  той же частицы равны

, , .

В ходе некоторых вычислений формулы преобразования скоростей при переходе от системы  к системе .

, , .

Далее по программе рассматривается инвариантность длины, интервала времени, ускорения, а также абсолютный характер понятия одновременности.

Сравнивая методики, мы видим, что более четко, сложно преобразования Галилея изучаются в курсе общей физики. В школьном курсе вводится лишь понятие относительности движения.

Заключение

 

Кинематика сложна для восприятия. Причина понятна: обилие математики (алгебра, геометрия, тригонометрия в полном объеме). Упрощение же математического аппарата выхолащивает суть кинематики – классификацию движений и описание моделей.

Кроме всех очень важных понятий в кинематике учащиеся также знакомятся с не менее важной для всего курса физики идеей – идеей относительности движения, изучение которой должно быть доведено до понимания учащимися относительности координат, траекторий, перемещений и скоростей.

От идеи относительности движения в классической механике учащиеся в дальнейшем своем развитии подходят к пониманию основ специальной теории относительности.

При изучении кинематики уже имеется возможность обратить внимание учащихся на заслуги Галилея в создании научного метода познания. Наиболее важным открытием его были уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В дальнейшем они были названы преобразованиями Галилея.

Список литературы

 

1.   Теория и методика обучения физике в школе: Общие вопросы: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / С.Е. Каменецкий, Н.С. Пурышева, Н.Е. Важеевская и др.; Под ред. С.Е. Каменецкого, Н.С. Пурышевой. – М.: Издательский центр «Академия», 2000. – 368 с.

2.   Теория и методика обучения физике в школе: Частные вопросы: Учеб. пособие для студ. пед. вузов / С.Е. Каменецкий, Н.С. Пурышева, Т.И. Носова и др.; Под ред. С.Е. Каменецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2000. – 384 с.

3.   Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 191 с.

4.   Савельев И.В. Курс физики: Учеб.: В 3‑х т. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 352 с.

5.   Бугаев А.И. Методика преподавания физики в средней школе: Теорет. основы: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. – М.: Просвещение, 1981. – 288 с.

6.   Балашов М.М. Механика за 70 уроков: Кн. для учителя: – М.: Просвещение, 1993. – 63 с.

7.   Эвенчик Э.Е. и др. Методика преподавания физики в средней школе: Механика: Пособие для учителя/Э.Е. Эвенчик, С.Я. Шамаш, В.А. Орлов; Под ред. Э.Е. Эвенчик. – 2‑е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1986. – 240 с.

8.   Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений/ Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев. – 11‑е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 336 с.