Дизъюнктивная сумма

2.2.8 Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивной суммой нечетких множеств A и B называется множество с функцией принадлежности:

.

2.3 Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке 1 и 2.

Рисунок 1. Множество A Рисунок 2. Множество B

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 AND 8 около 4 (синяя линия).

Рисунок 3. Пересечение множеств А и В

Нечеткое множество между 5 OR 8 около 4 показано на следующем рисунке (синяя линия).

Рисунок 4. Объединение множеств А и В

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это отрицание нечеткого множества A.

Рисунок 5. Отрицание множества А

На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно .

Рисунок 6. Множества

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 7 – 14.

Условные обозначения:

· X1 – первое множество;

· X2 – второе множество;

· X – множество.

Рисунок 7 – Функциональная модель решения задачи для функции CONTENT (содержание)

Рисунок 8 – Функциональная модель решения задачи для функции EQUAL_ (равенство)

Рисунок 9 – Функциональная модель решения задачи для функции CROSSING (пересечение)

Рисунок 10 – Функциональная модель решения задачи для функции UNION (объединение)

Рисунок 11 – Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR (разность)

Рисунок 12 – Функциональная модель решения задачи для функции MULT (произведение)

Рисунок 13 – Функциональная модель решения задачи для функции ADDITION (отрицание)

Рисунок 14 – Функциональная модель решения задачи для функции DIZ_SUMM (дизъюнктивная сумма)

4. Программная реализация решения задачи

;СОДЕРЖАНИЕ mA(x) < mB(x)

;РАВЕНСТВО mA(X) = mB(X)

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ min( mA(x), mB(x))

;ОБЪЕДИНЕНИЕ max(mA(x), m B(x))

;РАЗНОСТЬ А - B = АЗ с функцией принадлежности: mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x))

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ mA(x)* m B(x)

;ОТРИЦАНИЕ A^ = 1-mA(X)

;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:

;mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

;СОДЕРЖАНИЕ

;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A СОДЕРЖИТСЯ В МНОЖЕСТВЕ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0

(DEFUN CONTENT (X1 X2)

(COND

((NULL X1) 0)

((ATOM X1) (IF (> X1 X2) 1 0))

(T (+ (CONTENT (CAR X1) (CAR X2)) (CONTENT (CDR X1) (CDR X2))))

)

)

;РАВЕНСТВО

;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A РАВНО МНОЖЕСТВУ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0

(DEFUN EQUAL_ (X1 X2)

(COND

((NULL X1) 0)

((ATOM X1) (IF (EQUAL X1 X2) 0 1))

(T (+ (EQUAL_ (CAR X1) (CAR X2)) (EQUAL_ (CDR X1) (CDR X2))))

)

)

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

(DEFUN CROSSING (X1 X2)

(MIN X1 X2)

)

;ОБЪЕДИНЕНИЕ

(DEFUN UNION (X1 X2)

(MAX X1 X2)

)

;РАЗНОСТЬ

(DEFUN SUBTR (X1 X2)

(MIN X1 (- 1 X2))

)

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(DEFUN MULT (X1 X2)

(* X1 X2)

)

;ОТРИЦАНИЕ

(DEFUN ADDITION (X)

(- 1 X)

)

;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА

(DEFUN DIZ_SUMM (X1 X2)

(MAX (MIN X1 (- 1 X2)) (MIN (- 1 X1) X2))

)

;РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ

;С ПОМОЩЬЮ ОПИСАННЫХ РАННЕЕ ФУНКЦИЙ

;----------------------------------------------

;ПОЛУЧАЕМ МНОЖЕСТВА

(SETQ INPUT (OPEN " D:\MULTITUDE.TXT" :DIRECTION :INPUT))

(SETQ A (READ INPUT))

(SETQ B (READ INPUT))

(CLOSE INPUT)

;СОДЕРЖАНИЕ

(SETQ CONTENT_AB (IF (= (CONTENT A B)) "Mnowestvo A soderzitsya v mnowestve B" "Mnowestvo A NE soderzitsya v mnowestve B"))

;РАВЕНСТВО

(SETQ EQUAL_AB (IF (= (EQUAL_ A B) 0) "Mnowestvo A ravno B" "Mnowestvo A NE ravno B"))

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

(SETQ CROSS_AB (MAPCAR 'CROSSING A B))

;ОБЪЕДИНЕНИЕ

(SETQ UNION_AB (MAPCAR 'UNION A B))

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(SETQ MULT_AB (MAPCAR 'MULT A B))

;РАЗНОСТЬ

(SETQ SUBTR_AB (MAPCAR 'SUBTR A B))

;ОТРИЦАНИЕ

(SETQ A_ (MAPCAR 'ADDITION A))

(SETQ B_ (MAPCAR 'ADDITION B))

;ДИЗЪЮКТИВНАЯ СУММА

(SETQ DIZ_SUMM_AB (MAPCAR 'DIZ_SUMM A B))

;ЗАПИСЫВАЕМ РЕЗУЛЬТАТ ОПЕРАЦИЙ В ФАЙЛ

(SETQ OUTPUT (OPEN "D:\RESULT_OPERATIONS.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

(PRINT (LIST 'A A) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'B B) OUTPUT)

(PRINT 'OPERATIONS OUTPUT)

(PRINT '------------------------- OUTPUT)

(PRINT (LIST 'CONTENT_AB CONTENT_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'EQUAL_AB EQUAL_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'CROSS_AB CROSS_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'UNION_AB UNION_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'MULT_AB MULT_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'SUBTR_AB SUBTR_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'A_ A_) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'B_ B_) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'DIZ_SUMM_AB DIZ_SUMM_AB) OUTPUT)

(TERPRI OUTPUT)

(CLOSE OUTPUT)

;КОНЕЦ

5. Пример выполнения программы

Пример 1.

Рисунок 15 – Входные данные

Рисунок 16 – Выходные данные

Пример 2.

Рисунок 17 – Входные данные

Рисунок 18 – Выходные данные

Пример 3.

Рисунок 19 – Входные данные

Рисунок 20 – Выходные данные

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных операций над нечеткими множествами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

1.         Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

2.         Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений [Электронный ресурс] / Заде Л. – М.: Мир, 1976. С. 166.

3.         Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств [Текст] / А.Кофман. – М.: Радио и связь, 1982. С. 432.

4.         Круглов, В.В. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. [Текст] / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. – М.: Питер, 2001. C. 224.

5.    Нечеткое множество [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Нечеткое_множество

6.         Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

7.         Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

8.         Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.