Метод "стрілянини"

2.4 Метод "стрілянини"

Якщо звичайне диференціальне рівняння другого порядку - лінійне, то воно має вигляд:

при у(а) = А , у(в) = В.

Крайову задачу можна звести до задачі Коші введенням додаткової початкової умови, крім у(а)=А вводиться у'(а)=.

Знайшовши розв'язок (х), можна поставити іншу початкову умову у(а)= і отримати інший розв'язок у2 (х). Якщо  а , причому  , то розв'язок:

буде задовольняти обидві початкові умови.

При розв'язуванні нелінійного звичайного диференціального
рівняння методами "стрілянини" крайова задача зводиться до
розв'язування декількох задач Коші, послідовно вводячи в початкові і
умови значення  :

у(а)=А і у'(а)=а

і намагаючись знайти розв'язок, який задовольняє умову у(в)=В,

При цьому алгоритм досягнення мети будується на основі одного з методів оптимізації. Однак цей шлях розв'язання задачі пов'язаний з великими обчислювальними труднощами, і тому у випадку нелінійних |диференціальних рівнянь перевага надається різницевим методам.

3.Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач.

Розв’язок даної задачі реалізовано на ЕОМ, причому було складено алгоритм та програму в середовищі Borland Delphi 7. Програма є досить простою та зрозумілою для користувача середнього рівня

Для нормального функціонування програми необхідна наявність наступних апаратних засобів :

1.         IBM PC/XT сумісний комп'ютер;

2.         CPU не нижче Intel P-100;

Операційна система MS-Windows 95 та вище;

3.         8 Mb ОЗУ;

4.         Монітор, що підтримує режим 640x480, 16 кольорів;

4. Функціональне призначення

 

Розроблена програма дозволяє розв’язати вказану крайову задачу:

,

методом стрілянини з кроками 0,1 і 0,05.

Результати виводяться у текстовій формі.

5. Розробка та опис логічної частини програми

В даній курсовій роботі було розроблено програмне забезпечення для розв’язання та дослідження заданого диференційного рівняння. Розв’язок ведеться за різницевим алгоритмом.

Кодування на мові Паскаль проводилося з застосуванням інтуїтивно-зрозумілих назв змінних та процедур. Також відступи та табуляція дозволяє досить легко збагнути структуру програми.

В інтерфейсі також не допущено зайвих елементів.

6. Керівництво оператору

Для завантаження програми необхідно запустити програмний файл Project1.exe. При цьому зявиться вікно (рис. 1), де можна задати початкові умови, переглянути постановку задачі а також ознайомитися з розв’язком при натисненні кнопки Розв’язок.

Рисунок 1. Інтерфейс програми.

7. Результати обчислень

 

Результати обчислень:

 Крок: 0,1000000000

 X | Y

 -----------

 0,000|1,0000000000

 0,100|0,3273336200

 0,200|0,1072995400

 0,300|0,0356159580

 0,400|0,0131109860

 0,500|0,0085276729

 0,600|0,0151296980

 0,700|0,0408859800

 0,800|0,1180330500

 0,900|0,3434084400

 1,000|1,0000000000

 Похибка не б_льше: 0,0050000000

Результати обчислень:

 Крок: 0,0500000000

 X | Y

 -----------

 0,000|1,0000000000

 0,050|0,5993159300

 0,100|0,3592222800

 0,150|0,2153842700

 0,200|0,1292593800

 0,250|0,0777695550

 0,300|0,0471172200

 0,350|0,0290879730

 0,400|0,0188492490

 0,450|0,0136550000

 0,500|0,0121092040

 0,550|0,0137906880

 0,600|0,0191384160

 0,650|0,0295660470

 0,700|0,0478356090

 0,750|0,0787890890

 0,800|0,1306317000

 0,850|0,2171069500

 0,900|0,3611400200

 0,950|0,6009154100

 1,000|1,0000000000

 Похибка не більше: 0,0012500000

Висновки

При виконані даної курсової роботи я навчився розв’язувати крайові задачі за допомогою методу стрілянини. Було відмічено, що метод досить важко приміняти до комп’ютерних обчислень через необхідність врахування специфіки кожної задачі.

 Література

 

1.    В.Т.Маликов, Р.Н.Кветный . Вычислительные методы и применение ЭВМ . Учебное пособие -- К.: Выща шк. Головное издательство,1989.-213 с .

2.    В.Е.Краскевич, К.Х.Зеленский, В.И.Гречко . Численные методы в инженерных исследованиях. -- К.: Выща шк. Головное издательство, 1986.--263 с .

3.    Самарський А.А. Вступ в чисельні методи. - М.: Наука,

1987. – 286 с.

Додаток A

 

 Алгоритм роботи програми

 

 

Додаток Б

 

Лістинг програми

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons, Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

 GroupBox2: TGroupBox;

 BitBtn1: TBitBtn;

 BitBtn2: TBitBtn;

 BitBtn3: TBitBtn;

 Memo1: TMemo;

 LabeledEdit1: TLabeledEdit;

 procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

 procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);

 private

 { Private declarations }

 public

 { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

uses Unit2;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

 Form2.ShowModal;

end;

procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);

var

 i, j, n :integer;

 h:Extended;

 ybeg, yend, t: Extended;

 alpha1, alpha2, beta1, beta2 : extended;

 b:array of Extended;

 a:array of array of Extended;

 y,y1,y2:array of Extended;

 x:array of Extended;

 M0,M1,M2,err:Extended;

 k,k0,k1,k2,k3,l,l0,l1,l2,l3,zn,xn:extended;

function f(x,y,dy:extended):extended;

begin

 result:=100*y;

end;

begin

 try

 h:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);

 n:=round(1/h)+1;

 ybeg:=1; yend:=1;

 SetLength(y,n);

 SetLength(y1,n);

 SetLength(y2,n);

 y1[0]:=ybeg;

 y2[0]:=ybeg;

 alpha1:=yend;

 alpha2:=yend;

 zn:=alpha1; xn:=0;

 for i:=1 to n-1 do begin

 l0:=h*f(xn,y1[i-1],zn);

 k0:=h*zn;

 l1:=h*f(xn+h/2,y1[i-1]+k0/2,zn+l0/2);

 k1:=h*(zn+l1/2);

 l2:=h*f(xn+h/2,y1[i-1]+k1/2,zn+l1/2);

 k2:=h*(zn+l2/2);

 l3:=h*f(xn+h,y1[i-1]+k2,zn+l2);

 k3:=h*(zn+l3);

 k:=(k0+2*k1+2*k2+k3)/6;

 l:=(l0+2*l1+2*l2+l3)/6;

 y1[i]:=y1[i-1]+k;

 zn:=zn+l;

 xn:=xn+h;

 end;

 beta1:=y1[n-1]; beta2:=beta1;

 while (beta1=beta2) do begin

 alpha2:=alpha2-h;

 zn:=alpha2; xn:=0;

 for i:=1 to n-1 do begin

 l0:=h*f(xn,y2[i-1],zn);

 k0:=h*zn;

 l1:=h*f(xn+h/2,y2[i-1]+k0/2,zn+l0/2);

 k1:=h*(zn+l1/2);

 l2:=h*f(xn+h/2,y2[i-1]+k1/2,zn+l1/2);

 k2:=h*(zn+l2/2);

 l3:=h*f(xn+h,y2[i-1]+k2,zn+l2);

 k3:=h*(zn+l3);

 k:=(k0+2*k1+2*k2+k3)/6;

 l:=(l0+2*l1+2*l2+l3)/6;

 y2[i]:=y2[i-1]+k;

 zn:=zn+l;

 xn:=xn+h;

 end;

 beta2:=y2[n-1];

 end;

 for i:=0 to n-1 do

 y[i]:=1/(beta1-beta2)*((1-beta2)*y1[i]+(beta1-1)*y2[i]);

 with Memo1.Lines do begin

 clear;

 Add('Результати обчислень: ');

 Add(' Крок: '+FloatToStrF(h,ffFixed,8,10));

 Add(' X | Y ');

 Add(' ----------- ');

 for i:=0 to n-1 do

 Add(' '+FloatToStrF(h*i,ffFixed,3,3)+'|'+FloatToStrF(abs(y[i]),ffFixed,8,10));

 Add(' Похибка не б_льше: '+FloatToStrF(h*h/2,ffFixed,8,10));

 end;

 except

 on EConvertError do

 Application.MessageBox('Неправильно введен_ дан_', 'Увага');

 end;

end;

end.