Навигация
2.1 Алгоритм решения задачи
Основными операциями, выполняемыми над массивами, являются упорядочение (сортировка) записей и поиск в массиве записи по заданному условию( по ключу ). Сортировка является операцией расстановки записей массива в определенном порядке в соответствии с некоторым критерием упорядочения. Сортировка осуществляется в соответствии со значением ключей всех записей (напр., упорядочение фамилий по алфавиту или чисел по возрастанию ). Существует достаточно много методов сортировки, принципиально отличающихся друг от друга. Если массив целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ, то его упорядочение называют внутренним. Если для хранения упорядочиваемых данных используются внешнее запоминающее устройство, то такое упорядочение называют внешним. Критериями оценки методов сортировки являются:
С - количество операций сравнения пар ключей,
Р - число перестановок элементов ,
S - резерв памяти.
Среднее количество операций сравнения зависит от метода сортировки и при рациональном выборе метода достигает некоторого минимума, зависящего от n - размера массива (размер массива - количество содержащихся в нём записей). Методы внутренней сортировки можно разделить на две группы:
- методы, не требующие резерва памяти;
- методы, требующие резерва памяти.
К первой группе относятся такие методы, как метод выборки, "пузырька", вставки, Шелла. Ко второй группе относятся метод квадратичной выборки, метод слияния и другие. Простые методы сортировки (выбором, обменом, вставкой) требуют приблизительно n**2 сравнений. Более сложные алгоритмы обычно обеспечивают получение результата за n*log2(n) сравнений в среднем: сортировка методом Шелла, слиянием, "быстрая сортировка". Однако оптимальной в любом случае сортировки не существует, так как их эффективность существенно зависит от типа ключей в массиве и их предварительной упорядоченности.
Рассмотрим алгоритмы наиболее распространенных методов внутренней сортировки ( упорядочение выполняется по возрастанию значений ключа ).
· Метод "Пузырька".
При использовании этого способа требуется самое большее (n-1) проходов. В течение первого прохода массива сравниваются ключи К1 и К2 первой и второй записей, и, если порядок между ними нарушен, то записи R1 и R2 меняются местами. Затем этот процесс повторяется для записей R2 и R3, R3 и R4 и т.д. Данный метод заставляет двигаться, или "всплывать", записи с малыми ключами. После первого прохода запись с наибольшим ключом будет находиться на n - й позиции массива. При каждом последующем проходе записи со следующем наибольшим ключом будут располагаться в позициях n-1, n-2, ... , 2
соответственно, в результате чего будет сформирована отсортированная таблица. После каждого прохода через массив может быть сделана проверка, были ли совершены перестановки в течение данного прохода. Если перестановок не было, то это означает, что массив уже отсортирован и дальнейших проходов не требуется. Кроме того, можно запоминать индекс последней перестановки. Это позволит уменьшить на следующем шаге просматриваемый массив.
Характеристики сортировки методом "пузырька" в худшем случае составляют n(n-1)/2 сравнений и n(n-1)/2 перестановок (худшим считается случай,когда элементы наиболее удалены от своих конечных позиций). Среднее число сравнений и перестановок имеет порядок n**2 . Сортировка пузырьковым методом использует метод обменной сортировки. Она основана на выполнении в цикле операций сравнения и при необходимости обмена соседних элементов. Ее название происходит из-за подобия процессу движения пузырьков в резервуаре с водой когда каждый пузырек находит свой собственный уровень.
Сортировку пузырьковым методом можно в некоторой степени улучшить и тем самым немного улучшить ее временные характеристики. Можно, например, заметить, что сортировка пузырьковым методом обладает одной особенностью: расположенный не на своем месте в конце массива элемент (например, элемент "а" в массиве "dcab") достигает своего места за один проход, а элемент, расположенный в начале массива (например, элемент "d"), очень медленно достигает своего места. Необязательно все просмотры делать в одном направлении. Вместо этого всякий последующий просмотр можно делать в противоположном направлении. В этом случае сильно удаленные от своего места элементы будут быстро перемещаться в соответствующее место. Хотя эта сортировка является улучшением пузырьковым методом, ее нельзя рекомендовать для использования, поскольку время выполнения по-прежнему зависит квадратично от числа элементов. Число сравнений не изменяется, а число обменов уменьшается лишь на незначительную величину.
· Метод Шелла.
Общий метод, который использует сортировку вставкой, применяет принцип уменьшения расстояния между сравниваемыми элементами. Сначала сортируются все элементы, которые смещены друг от друга на три позиции. Затем сортируются все элементы, которые смещены на две позиции. И, наконец, упорядочиваются все соседние элементы.
При поверхностном взгляде на алгоритм нельзя сказать, что он дает хороший результат и даже то, что в результате получится отсортированный массив. Однако, он дает и то и другое. Эффективность этого алгоритма объясняется тем, что при каждом проходе используется относительно небольшое число элементов или элементы массива уже находятся в относительном порядке, а упорядоченность увеличивается при каждом новом просмотре данных.
Расстояния между сравниваемыми элементами могут изменяться по-разному. Обязательным является лишь то, что последний шаг должен равняться единице. Например, хорошие результаты дает последовательность шагов 9, 5, 3, 2, 1, которая использована в данной курсовой работе. Следует избегать последовательностей степени двойки, которые, как показывают сложные математические выкладки, снижают эффективность алгоритма сортировки. /Однако, при использовании таких последовательностей шагов между сравниваемыми элементами эта сортировка будет по-прежнему работать правильно. Слегка измененные версии сортировки Шелла используют специальные управляющие элементы, которые не являются в действительности частью той информации, которая должна сортироваться. Управляющие элементы имеют граничные для массива данных значения, т.е. наименьшее и наибольшее значения. В этом случае не обязательно выполнять проверку на граничные значения. Однако, применение таких управляющих элементов требует специальных знаний о той информации, которая сортируется, и это снижает универсальность процедуры сортировки. Анализ сортировки Шелл требует решения некоторых сложных математических задач. Время выполнения сортировки Шелла пропорционально n**1.2. Эта зависимость значительно лучше квадратичной зависимости, которой подчиняются рассмотренные ранее алгоритмы сортировки. Однако, прежде чем вы решите использовать сортировку Шелла, следует иметь в виду, что быстрая сортировка дает даже еще лучшие результаты.
В рассмотренных алгоритмах сортировки запись перемещается каждый раз только на одну позицию. При этом среднее время работы будет в лучшем случае пропорционально n. Методом, существенно превосходящим простые вставки, при котором записи перемещаются большими скачками, является метод Шелла (сортировка с убывающим шагом). Метод состоит в том, что упорядоченный массив разделяется на группы элементов, каждая из которых упорядочивается методом вставки. В процессе упорядочения размеры таких групп увеличиваются до тех пор, пока все элементы массива не войдут в упорядоченную группу. Выбор очередной упорядочиваемой группы и ее расположение внутри массива производятся так, чтобы можно было использовать предшествующую упорядоченность. Группой массива называют последовательность элементов, номера которых образуют арифметическую прогрессию с разностью h (h называют шагом группы). В начале процесса упорядочения выбирается первый шаг группы h1, который зависит от размера таблицы. Шелл предложил брать
h1=[n/2], а hi=h((i-1)/2).
В более поздних работах Хиббард показал, что для ускорения процесса целесообразно определить шаг h1 по формуле:
h1=2**k+1 , где 2**k < n <= 2**(k+1).
После выбора h1 методом вставки упорядочиваются группы, содержащие элементы с номерами позиций
i, i+h1, i+2*h1, ..., i+mi*h1.
При этом i=1,2,...,h1; m[i] - наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству i+m[i]*hi <= n.
Затем выбирается шаг h2<h1 и упорядочиваются группы, содержащие элементы с номерами позиций i, i+h2, ..., i+m[i]*h2. Эта процедура со все уменьшающимися шагами продолжается до тех пор, пока очередной шаг h[l] станет равным единице (h1>h2>...>hl). Этот последний этап представляет собой упорядочение всего массива методом вставки. Но так как исходный массив упорядочивался отдельными группами с последовательным объединением этих групп, то общее количество сравнений значительно меньше, чем n /4, требуемое при методе вставки. Число операций сравнения пропорционально n*(log2(n))**2 .
· Обменная сортировка с разделением (Quicksort).
Данный метод является одним из лучших методов внутренней сортировки и весьма эффективен для больших массивов. Целью каждого шага в данном методе является помещение очередной рассматриваемой записи на конечную позицию внутри массива. Если поступать таким способом, то все записи, предшествующие данной, будут иметь меньший ключ, в то время как все последующие - больший. При использовании такого метода массив всегда делится на два подмассива. Анологичный процесс может быть применен к каждому из этих подмассивов и повторяться до тех пор, пока все записи не будут установлены на их конечные позиции. Используются два индекса i и j с начальными значениями границ массива. Сравниваются ключи K[i] и K[j], и если перестановка не требуется, то j уменьшается на 1, и процесс повторяется. В том случае, когда K[i]>=K[j], записи R[i] и R[j] меняются местами. Затем этот процесс повторяется с i, увеличенным на 1, и фиксированным j до тех пор, пока не возникает другая перестановка. В этот момент j снова будет уменьшено на 1, а i останется фиксированным, и т.д. Процесс выполняется до тех пор, пока i<j.
Каждый раз массив разбивается на два подмассива, один из которых обрабатывается, в то время как границы второго запоминаются с тем, чтобы он был обработан позже. В этих целях может быть использован стек, представляющий собой матрицу из двух столбцов. В первом столбце хранятся нижние границы разделяемых подмассивов, во втором - верхние границы. Всякий раз один из полученных в результате разделения подмассивов подвергается дальнейшему разделению, а границы другого помещаются в свободную строку стека (обычно в стек помещаются границы большего по длине массива, поскольку это уменьшает требуемый размер стека). Как только завершается процесс разделения текущего подмассива, т.е. ее длина станет меньше трех, для разделения берется подмассив, границы которого были занесены в стек последними. Строка стека, в которой хранились эти границы, освобождается. Процесс упорядочения завершается, когда стек полностью освобождается.
Разделение следует применять для подмассивов, длина которых больше 9, а короткие подмассивы упорядочивать методом вставки.
Стек занимает мало места. Например, стек из 20 строк позволяет упорядочить массив, содержащую до 10**7 записей. Кроме того, в современных языках программирования при работе рекурсивных программ занесение и извлечение из стека выполняется автоматически, поэтому рекомендуется использовать именно этот механизм. Среднее число сравнений для данного алгоритма составляет n*log(n) где n - число записей в сортируемом массиве, m - размер подмассива, сортируемой методом вставки.
Наихудшей ситуацией при использовании рассмотренного алгоритма является случай, когда массив уже отсортирован. При этом число сравнений порядка n, т.е. алгоритм не лучше сортировки выборкой.
Похожие работы
... Это сортировка со смещением 1. В каждой из промежуточных стадий сортировки участвуют либо сравнительно короткие массивы, либо уже сравнительно хорошо упорядоченные массивы, поэтому на каждом этапе можно пользоваться методом простых вставок. Метод сортировки Шелла ещё называется с «убывающим смещением», поскольку каждый проход характеризуется смещением h, таким, что сортируются записи, каждая ...
... все выпуклые вершины и сбалансируем дерево. Отсюда следует теорема: Теорема 7. Выпуклая оболочка множества из N точек на плоскости может быть найдена с помощью открытого алгоритма за время (N log N) и со временем коррекции (log N).Сравнительный анализ алгоритмов построения выпуклой оболочки Так как теоретически показали, что время работы всех алгоритмов в среднем O(log N), то ...
... товара (выбор методов продажи, организация обслуживания покупателей, осуществление мероприятий по созданию привлекательной атмосферы торгового зала). 3. МЕТОДЫ СРАВНИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПОСРЕДНИЧЕСКИХ ПРЕДПРИЯТИЙ Методики сравнительного анализа деятельности посредников представлены различными авторами и имеют отличительные компоненты и структуру. Методика таких анализов необходима ...
... и стремительно развивается за счет научно-технических разработок. 1.Факторы, формирующие потребительские свойства и качество РЭА. 1.1 Потребительские свойства радиоэлектронной аппаратуры. а) Функциональные: Общие: 1)Верность воспроизведения звука(характеризует качество звучания и определяется степенью соответствующего звука ,воспроизводимого акустической системой натуральному ...
0 комментариев