Определяем направленный маршрут из xi* в xj* через вершину xj1. Пусть им окажется πi*j*={xi* – xj1 – xj2 – … xjk}, xjk=xj*

7.  Определяем направленный маршрут из xi* в xj* через вершину xj1. Пусть им окажется πi*j*={xi* – xj1 – xj2 – … xjk}, xjk=xj*.

8.  Вычисляем Сi*j1 =  (Hi,li*j1), находим ni*j1 = ]Hi/d[, где ni*j1 — число каналов в ветви (i*, j1); знаком] [ обозначено округление с избытком. Пусть nikjk — число каналов в ветви (ik, jк).

9.  Принимаем Сij = 0; Сij =  (li*j1).

10.Полагаем s = 0, где s — номер итерации.

11.s=s+1.

12.Проверяем условие, все ли ветви маршрута πi*j* просмотрены. Если s<K, то переходим к шагу 13, иначе — к 21.

13.Вычисляем  (Hi) — приращение стоимости для передачи дополнительного объема информации Hi:

единичных каналов, которые необходимо установить в ветви (js, js+1); dТФ — ПС телефонного канала связи.

14.Вычисляем величины

15.Определяем Cij = Cij +  (Hi).

16. Вычисляем  =  (li*js+i, Hi).

17. Сравниваем Cij с . Если Cij <  то переходим к шагу 11, иначе переходим к шагу 18.

18. Полагаем Cij = , вводим дугу (i*, js+1) вместо (i*, j).

19. Восстанавливаем прежние значения трафиков hij на всех предыдущих ветвях маршрута πi*j*:

20.  Переходим к шагу 11.

21.  Вычисляем экономию Еij при подключении Xi к Xj по сравнению с подключением Xi к РЦ напрямую: Eij = Сij — vi.

22.  Находим минимальное значение Eiljl = min Eij, где минимум берется по всем подграфам Xi, Xj.

23.  Проверяем условие Eiljl < 0. Если оно выполняется, то переходим к шагу 24, иначе подключаем все оставшиеся изолированные подграфы напрямую к РЦ, и конец работы алгоритма.

24.  Вводим дугу (il, jl) и подключаем Хil к Хjl. Образуем новый подграф Х’jl =Хil ⋃ Хjl с направляющей вершиной x’jl*= xjl*, H’jl=Hil+Hjl.

25.  Проводим коррекцию весов для всех вершин нового подграфа Х’jl:

где  — стоимость передачи информации из направляющей вершины  в РЦ у1.

26.  Если подграф Хjl напрямую связан с ВЦy1, то , и тогда v’jl = 0, v’il = 0. В этом случае подграф Хjl из дальнейшего рассмотрения исключается.

27.Проверяем условие, все ли подграфы подключены к РЦ. Если условие выполняется, то переходим к шагу 28, иначе — к шагу 3.

28.Вычисляем критерий — суммарные приведенные затраты Wпр — для построенного варианта D-структуры: Wпр =

Итак, как следует из описания алгоритма D-структур, объединение изолированных подграфов проводится до тех пор, пока это экономически целесообразно и выполняется ограничение, в противном случае соответствующий подграф подключается напрямую к узлу 1 (РЦ). Завершается работа алгоритма построением дерева с корнем в узле, соответствующем месту размещения РЦ. Следует отметить, что алгоритм D-структур, как и другие алгоритмы синтеза СДО в классе древовидных структур, требует вычислительных затрат порядка N log N, где N — число узлов.

Работа различных алгоритмов синтеза КСД иллюстрируется на примере решения задачи синтеза структуры сети, имеющей N = 20 узлов. Прямоугольные координаты узлов (xj, yj) и объемы информации hj, генерируемые каждым из узлов, приведены в таблице 2.3. Стоимость единицы длины канала составляет 30 руб./(кан.- км), а ограничение по пропускной способности dmax = 25 бод (бит/c).

Таблица 2.3 – Исходные данные для задачи

і	*Г км	у,; км	бит/с	/	км	щ км	бит/о	V	*/-км	у,; км	бит/с
2	—35	80	5	9	—16	— 12	5	15	20	50	4
3	—39	60	7	10	0	—23	11	16	53	25	2
4	—20	50	3	11	—10	—16	7	17	70	34	10
5	—4	30	4	12	22	7	5	18	42	62	8
6	-20	25	4 і	13	40	5	8	19	35	78	7
7	-12,	12	9	14	30	20	4	20	17,5	70'	4
8	—40	18	6

Территориальное размещение узлов (АП) и решение задачи по алгоритму Прима (КСД без ограничений) показано на рисунке 2.2, а. РЦ расположен в пункте 1. Общая протяженность сети L = 366 км, а стоимость W = 10 980 руб. Оптимальная структура с учетом ограничений, полученная по методу ветвей и границ при L = 426 км, W = 12 780 руб., изображена на рисунке 2.2, б. Цифры, указанные в кружках на ребрах графа, соответствуют суммарному трафику (бит/с), передаваемому по данной связи. Как следует из рисунка 2.2, а, для сети Прима нарушаются ограничения по пропускной способности для связей 1—12 и 1—7.

Рисунок 2.2 – Структура СДО, синтезированная по алгоритму:

а – Прима; б – метод ветвей и границ

На рисунке 2.3, а построена структура СДО, синтезированная по алгоритму Исау — Вильямса, на рисунке 2.3, б — по алгоритму Шарма, на рисунке 2.3, в — по алгоритму Фогеля при L = =447 км, W = 13 400 руб. и на рисунке 2.3, г — по алгоритму Краскала. Для данной задачи из всех эвристических алгоритмов наилучшие результаты дает решение по алгоритмам Исау — Вильямса и Шарма (L = 440 км, W = 13 200 руб.), а наихудшим оказался алгоритм Краскала (L — 456 км, W = 13 680 руб.). Далее эта задача решена методом D-струк-тур для случая, когда имеются каналы двух типов d1 = 25 бит/с, c1 = 30 руб. /(кан.- км) и d2 = 40 бит/с, с2 = = 50 руб./(кан.- км). Она характеризуется показателями L = = 387 км, W = 12 330 руб. Синтезированная структура показана на рисунке 2.4.

Рисунок 2.3 – Структура СДО, синтезированная по алгоритму:

а – Исау-Вильямса; б – Шарма; в – Фогеля; г – Краскала.

Рисунок 2.4 – Структура СДО, синтезированная по алгоритму D-структур

2.3 Разработка структуры для поставленной задачи

В предыдущих разделах были описаны достоинства и недостатки различных способов разработки и оптимизации структур сетей. Приводились доводы за и против использования какой-либо структуры для поставленной задачи синтеза сети дистанционного обучения.

В результате предлагается остановиться на варианте D-структуры как наиболее универсальной. Она объединяет в себе преимущества радиальной и древовидной структур, и в то же время учитывает специфику сети передачи данных.

В рамках поставленной задачи не следует забывать о том, что составляющие элементы сети уже будут заданы конкретной ситуацией. От разработчиков не зависит расположение абонентов, существующие связи между ними, а зачастую и расположение промежуточных узлов.

Таким образом, сама по себе сеть будет задана внешними условиями, а задача синтеза сводится к оптимизации распределения абонентов между региональными центрами.

В конце работы первого этапа алгоритма построения маршрута синтезированная сеть будет приблизительно иметь вид, представленный на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Схематичное представление синтезированной СДО

Обозначения:

– ВУЗ

– региональные центры

– абоненты

3 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВЬЕВ

 

3.1 Задача Штейнера для построения сети

Задача Штейнера относится к классу так называемых NP-полных задач, поэтому алгоритмы, дающие точные решения, как правило, не могут быть использованы в САПР из-за неприемлемой временной сложности. Это обстоятельство послужило стимулом для разработки многочисленных эвристических алгоритмов. Наибольший практический интерес представляет алгоритм последовательного введения дополнительных вершин в дерево Прима-Краскала. Использование предложенного алгоритма позволяет строить деревья Штейнера, длина которых в среднем не превышает длину оптимального дерева Штейнера более чем на 0.5 процента. Временные характеристики модификаций алгоритма позволяют успешно использовать его на данном этапе построения маршрута.

Математическая модель задачи синтеза структуры сети по критерию стоимости приведена ниже.

Пусть имеется множество Х={xj} абонентов сети – источников информации с объемом трафика абонента h; {gj, wj} – географические координаты пункта, а также места размещения сервера {yi*} и привязки абонентов к серверу Xyi,i=1..m. Известны приведенные затраты на передачу информации от пункта i к пункту j: . Требуется синтезировать структуру сети в классе древовидных структур минимальной стоимости при ограничениях на суммарный поток fij в каждой ветви (i,j): , где dmax – пропускная способность линии связи; fij определяется как сумма информационных потоков от всех узлов, предшествующих узлу i на путях от концевых вершин к корню дерева и потока hi, определяемого абонентом xi.

Для ДШ постановка задачи выглядит следующим образом.

Дано:

– сеть, представленная в виде ненаправленного графа G=(V, E), где V – набор узлов, а Е – набор связей;

– матрица стоимости W, где Wij показывает стоимость использования связи (i,j)  Е;

– узел-центр s  V и набор узлов-участников D  V;

– каждый узел vi имеет координаты xi и yi на экране, название и тип (центр, участник, вершина Штейнера, незадействованный узел).

Нужно найти такое дерево Т сети G с корнем в s, стягивающее всех членов набора D так, что полная стоимость ребер дерева Т будет минимальна. В стоимость обычно включается время передачи единицы данных по каналу, расстояние или денежный эквивалент данного соединения, пропускная способность канала или комбинация критериев.

Основными критериями оценки алгоритма являются скорость сходимости и близость получаемого решения к оптимальному.

Основная идея алгоритма заключается в следующем. Достаточно хорошим приближением дерева Штейнера является дерево Прима-Краскала, длина которого не может превышать длину соответствующего дерева Штейнера более чем в полтора раза. Также для случая ортогональной метрики доказано, что если через каждую точку из исходного множества точек провести горизонтальные и вертикальные линии, то решение задачи Штейнера можно получить рассматривая в качестве возможных дополнительных вершин только точки пересечения полученной сетки линий. Данный алгоритм последовательно вводит в текущее дерево Прима-Краскала каждую из дополнительных вершин решеточного графа, строит новое дерево Прима и запоминает полученный выигрыш в длине. После оценки всех дополнительных точек в текущее дерево включается точка с максимальным выигрышем. При этом, чтобы избежать в процессе преобразования появления избыточных точек, необходимо учитывать, что дополнительные точки в дереве Штейнера могут иметь только степень 3 и 4.

Предложен ряд процедур, позволяющих кардинальным образом сократить время работы за счет предварительной «отбраковки» тех вершин, чья вероятность оказаться штейнеровской точкой равна нулю или крайне мала. Данная процедура в несколько раз уменьшает временную сложность исходного алгоритма и, что не менее важно, в среднем качество получаемых решений не ухудшается.

В данной работе под средними показателями алгоритма (качественными, временными или какими либо другими) следует понимать средний результат для 10.000 задач. Тестовый набор для каждого значения размерности состоит из 10.000 различных задач, полученных случайным образом. Все результаты, приведенные в работе, получены на этих тестовых наборах.

Можно отметить, что для модифицированного варианта алгоритма процент улучшения дерева Прима-Краскала немного, всего лишь на несколько сотых долей, но все-таки больше, чем тот же самый показатель исходного алгоритма. Это обусловлено сокращением числа локальных неоптимальных минимумов эвристики за счет сокращения числа возможных дополнительных точек.

Однако можно сделать интересное наблюдение, если сравнивать не средние результаты достаточно большого тестового набора, а результаты, полученные двумя различными способами для каждой конкретной задачи. В строке G («good») приведен процент от общего числа тех задач, в которых вышеописанный модифицированный алгоритм дает выигрыш в суммарной длине всех ребер дерева по сравнению с исходным алгоритмом. В строке B («bad») приведен процент тех задач, в которых модифицированный алгоритм уступает исходному. И, наконец, в строке U («unchanged») показан процент всех оставшихся задач, для которых результаты работы обоих алгоритмов совпали.

Можно отметить две тенденции. Во-первых, с ростом числа точек уменьшается число задач, в которых оба алгоритма получают один и тот же результат. Во-вторых, число более удачных решений модифицированного алгоритма по отношению к исходному приблизительно равно числу менее удачных решений. Данное соотношение справедливо как для задач малой размерности, так и для больших задач. Объяснение этому достаточно простое. Как и большинство всех известных эвристических алгоритмов (и не только применительно к задаче Штейнера), данная эвристика не всегда сходится к оптимальному решению, а, как раз наоборот, чаще сходится к некоторому решению - локальному минимуму, отличному от оптимального решения. С ростом числа точек растет количество таких локальных неоптимальных минимумов, и, соответственно, уменьшается вероятность схождения алгоритма к решению с наилучшим результатом. Также на окончательный результат сильно влияет первая итерация алгоритма, очень часто именно она задает практически окончательную конфигурацию дерева, которая уже очень мало изменяется на последующих итерациях.

Данные рассуждения не являются каким-то таким уж невероятным открытием. Однако, тот факт, что средние результаты двух алгоритмов отличаются всего лишь во втором, третьем, а то и большем знаке, ловко маскирует другую тенденцию. А именно, практически абсолютная идентичность средних результатов достигается не за счет сходимости двух разных алгоритмов к одному и тому же решению, а за счет, так сказать, статистической схожести этих двух эвристик. Эта интересная тенденция, по-видимому, до сих пор выпадала из поля зрения исследователей, работающих с этим алгоритмом. Сравнивая различные методы улучшения качественных показателей, коллеги ориентировались только на средний результат и стремились получить максимальный выигрыш сразу, за один проход. Яркий пример этого подхода iterated 2-Steiner algorithm, где предлагается оценивать выигрыш от введения сразу двух возможных точек Штейнера в дерево Прима-Краскала. Временная сложность алгоритма в этом случае вырастает невероятно, что уже не позволяет использовать его на данном этапе.

Данная работа предлагает способ, позволяющий за приемлемое время значительно улучшить качественные показатели модифицированного алгоритма за счет последующего динамического перестроения дерева Штейнера. Иными словами, использовать данную конфигурацию дерева (близкую к оптимальному решению) не как окончательный результат, а как исходную конфигурацию для следующего этапа эвристики.

3.2 Локальное перестроение дерева Штейнера

Для улучшения начальной конфигурации дерева предлагается для каждой глобальной точки исходной задачи провести процедуру локального перестроения дерева Штейнера. Эту процедуру следует проводить на множестве точек, включающем саму эту точку и инцидентные ей вершины (рисунок 3.1). Поскольку степень точки в дереве Штейнера не может быть выше 4-х, то максимальная размерность локальной задачи Штейнера, соответственно, не может быть больше 5-ти. Для задач же с размерностью до 5-ти точек включительно, как известно, существуют быстрые алгоритмы определения оптимальной конфигурации дерева Штейнера.

Рисунок 3.1 – Процесс локального перестроения дерева для глобальной вершины

Для данного метода перестроения дерева характерно некоторое число положительных исходов данной процедуры (стратегия A).

Аналогичную процедуру можно провести и для дополнительных точек, локально перестраивая дерево Штейнера на том же множестве точек инцидентных данной точке, но, в отличие от той же процедуры для глобальной точки, не включая в данное множество рассматриваемую точку (рисунок 3.2). Данный подход также позволяет получить некоторое небольшое число положительных исходов (стратегия B).

Рисунок 3.2 – Процесс локального перестроения дерева для дополнительной вершины

Факт наличия выигрыша от использования описываемых алгоритмов и сам факт незначительности этого выигрыша объясняются особенностями первого этапа модифицированного алгоритма. На этапе предварительной выборки дополнительных точек существует очень маленькая, но все-таки ненулевая вероятность пропустить точку, которая могла бы дать выигрыш при включении ее в дерево Штейнера.

К достоинствам вышеописанных процедур можно отнести линейную от размерности задачи временную сложность. Недостаток же очевиден – это малое число положительных исходов.

Использование совокупности только этих двух алгоритмов в качестве процедуры перестройки дерева Штейнера неэффективно. Большая часть времени будет затрачена на такие подготовительные процедуры, как выделение памяти и инициализация переменных, а затем, после отработки алгоритмов, на освобождение занятой памяти (стратегия 0). Однако использование этих процедур в качестве отдельного этапа (первого среди нескольких) – вполне разумно, тем более, что максимальный эффект от их использования достигается в совместном использовании с другими подходами, что и будет показано немного ниже.

Стоит добавить, что можно не ограничиваться рассмотрением только лишь инцидентных вершин каждой рассматриваемой точки. Если в построение локального дерева Штейнера включить инцидентные вершины второго уровня (рисунок 3.3) и использовать для определения конфигурации дерева модифицированный алгоритм, то количество положительных исходов вырастает во много раз за счет, конечно, увеличения временных показателей (стратегии D, E, F).

Рисунок 3.3 – Локальное перестроение дерева Штейнера для вершины 0 и инцидентных вершин первого и второго уровней

3.3 Процедура объединения свободных ребер

Введем понятие свободного ребра. Свободное ребро – это ребро, соединяющее две несовпадающие вершины, причем X и Y координаты первой вершины не равны соответственно X и Y координатам второй вершины.

Разработчик свободен в выборе окончательной конфигурации этого соединения, поэтому его будем называть «свободным». Вершины, у которых равны или X координаты, или Y координаты, можно соединить только одним единственным оптимальным способом − вертикальным или горизонтальным ребром соответственно (рисунок 3.4). Такие ребра будем называть жесткими или несвободными.

Рисунок 3.4 – Примеры конфигураций свободного ребра и двух жестких ребер

Предлагается использовать следующий метод перестроения дерева Штейнера. Для каждой пары свободных ребер AB и CD текущего дерева Штейнера ищется и добавляется в дерево ребро EF минимальной длины, соединяющее ребра AB и CD. В возникающем в результате такого добавления цикле удаляется самое длинное ребро (рисунок 3.5). При удалении ребра для избежания появления избыточных точек необходимо учитывать, что точки Штейнера могут иметь только степень 3 или 4. Если данная процедура дает выигрыш в общей длине дерева, то запоминается текущая конфигурация дерева, если нет, то восстанавливается исходная конфигурация.

Выигрыш в данном случае составляет 3 условные единицы длины.

Для избежания избыточных вычислений можно воспользоваться простой дополнительной проверкой: расстояние между двумя свободными ребрами должно быть строго меньше длины самого большого ребра в текущем дереве Штейнера.

Если два свободных ребра имеют общую вершину, то такую пару ребер можно не рассматривать, поскольку ситуация, аналогичная той, которая изображена на рисунке 3.6 (a), принципиально невозможна после работы первого этапа (локальное перестроение дерева Штейнера для точек обоих типов). Остальные конфигурации, такие как, например, на рисунке 3.6 (b) не могут дать какой-либо выигрыш в суммарной длине дерева.

Рисунок 3.5 – Процесс объединения двух свободных ребер

(a) исходная конфигурация;

(b) в дерево добавляется ребро EF, соединяющее два свободных ребра AB и CD;

(c) в возникшем цикле удаляется самое длинное ребро.

Рисунок 3.6 – Примеры возможных положений свободных ребер, имеющих общую вершину

Выбор только свободных ребер в описываемом алгоритме не случаен. Экспериментальные исследования показали, что при хорошей начальной конфигурации дерева достаточно ограничиться одним лишь рассмотрением всех пар свободных ребер (стратегия G). Попытка объединить все остальные ребра (горизонтальные и вертикальные) как между собой, так и со свободными ребрами, в общем случае гораздо менее эффективна (стратегия H). Соотношение количества положительных исходов ко времени счета значительно уступает тому же показателю процедуры объединения только свободных ребер.

3.4 Процедура отсоединения ребра, содержащего дополнительную вершину

В качестве следующего этапа предлагается воспользоваться следующей процедурой. В текущем дереве Штейнера убирается одно из ребер. Как минимум одна из вершин такого ребра должна быть дополнительной. Результатом такого удаления являются два поддерева. Оба они перестраиваются с целью достижения максимального выигрыша и снова соединяются вместе.

Если в результате данной процедуры есть выигрыш в суммарной длине дерева, то данная конфигурация становится текущей, если – нет, то восстанавливается исходная конфигурация дерева (рисунок 3.7). Данная операция повторяется в том же виде для каждого следующего ребра, одна из вершин которого дополнительная. Причем для достижения большей эффективности все новые ребра такого типа, возникающие в результате работы процедуры, следует добавлять в конец соответствующего списка.

Рисунок 3.7 – Перестроение дерева с использованием процедуры отсоединения ребра с дополнительной вершиной

(a) исходное дерево; формируется список ребер, один конец которых – дополнительная вершина;

(b) перестроение на примере одного из ребер;

(c) выбранное ребро удаляется из дерева;

(d) удаляются дополнительные вершины со степенью меньше трех;

(e) два поддерева перестраиваются с целью минимизации суммарной длины ребер;

(f) поддеревья соединяются кратчайшим образом.

Выигрыш в данном случае составляет 2 условные единицы длины.

Для перестроения возникающих в результате удаления ребра двух деревьев предлагается использовать все выше предложенные подходы. А именно: локальное перестроение дерева для глобальных и дополнительных вершин (стратегия I), то же самое плюс объединение свободных ребер (стратегия J). Рассматривать следует лишь только те вершины и ребра, которые были изменены или появились в результате разделения дерева на два поддерева. Действительно, использование тех или иных процедур перестроения в качестве самостоятельных этапов перед работой рассматриваемого алгоритма гарантирует то, что их повторное использование не может дать какой-либо выигрыш. Поэтому, например, в процедуре объединения свободных ребер поддерева вместо рассмотрения всех пар свободных ребер поддерева достаточно ограничиться рассмотрением всех новых свободных ребер с остальными. Одно новое ребро обычно возникает при начальном отсоединении ребра (ребра AB и CD на рисунке 3.7d), одно или несколько могут возникнуть после процедуры локального перестроения (ребро CE на рисунке 3.7e).

При рассмотрении каждой пары ребер следует учитывать уже упомянутое условие, а именно, расстояние между ребрами должно быть строго меньше длины самого длинного ребра поддерева. Все данные ограничения позволяют существенно сократить общее время счета алгоритма без какой-либо потери качества. Отсюда вытекает следующий вывод. Если обе вершины удаляемого ребра дополнительные, то следует пытаться перестроить оба поддерева, если же одна вершина дополнительная, а другая глобальная, то поддерево, соответствующее второй вершине можно даже не рассматривать. Характер используемых процедур перестроения не может дать какой-либо выигрыш в суммарной длине второго поддерева.

Экспериментальные результаты показали, что, если после процедур перестроения поддеревьев суммарный выигрыш так и остался равен длине удаленного ребра, то эти два поддерева можно даже и не объединять, а сразу возвращаться к исходной конфигурации. Вероятность выигрыша в данном случае мала, и этот выигрыш несопоставим с тем временем, которое требуется на соединение двух деревьев, поскольку в данном случае приходится вычислять расстояния между каждым ребром первого дерева и каждым ребром второго дерева.

Все выше приведенные рассуждения, ограничения и экспериментальные данные объясняют постулированное в самом начале главное ограничение. Удаление ребра, обе вершины которого глобальные вершины, абсолютно неэффективная процедура.

Для максимального улучшения дерева можно добавить также процедуру объединения вершины и свободного ребра: сначала в качестве самостоятельного этапа, а затем в составе процедуры перестроения поддеревьев (стратегия K приложения). Этот метод аналогичен процедуре объединения двух свободных ребер (рисунок 3.8).

Рисунок 3.8 – Процесс объединения свободного ребра и вершины

(a) исходная конфигурация;

(b) в дерево добавляется ребро CD, соединяющее свободное ребро AB и вершину C;

(c) в возникшем цикле удаляется самое длинное ребро.

Выигрыш в данном случае составляет 1 условную единицу длины.

Жесткие ребра не берутся в рассмотрение по уже указанной причине, а именно, изначально хорошая конфигурация дерева Штейнера дает максимальную эффективность только лишь при работе со свободными ребрами. А при работе в составе процедуры перестроения поддеревьев следует ограничиться следующими множествами:

-          новые свободные ребра – все вершины поддерева;

-          все новые и измененные вершины поддерева – все старые и новые свободные ребра.

3.5 Стратегии алгоритма

Стратегия 0 – процедура перестроения дерева без каких-либо методов улучшения как таковых. Посчитана отдельно и приведена здесь для того, чтобы показать общее для всех стратегий время, затрачиваемое на предварительные мероприятия (выделение памяти, инициализация переменных), и время на последующее освобождение памяти, дабы отделить это время от непосредственно методов улучшения.

Стратегия A – локальное перестроение дерева для всех глобальных точек.

Стратегия B – локальное перестроение дерева для всех дополнительных точек.

Стратегия C – объединение двух вышеописанных стратегий A и B.

Стратегии D, E, F аналогичны стратегиям A, B, C соответственно, но в каждом случае локального перестроения дерева включены в рассмотрение инцидентные точки второго уровня.

Все нижеследующие стратегии содержат стратегию C в качестве первого этапа (кроме специально оговоренного случая).

Стратегия G – процедура объединения свободных ребер.

Стратегия H – процедура объединения всех ребер (горизонтальных, вертикальных и свободных).

Все нижеследующие стратегии содержат стратегию G в качестве второго этапа.

Стратегия I – процедура удаления ребер с дополнительными точками. В качестве процедуры перестроения поддеревьев используется локальное перестроение дерева для глобальных и дополнительных точек.

Стратегия J – то же самое, что и стратегия I, но в процедуру перестроения поддеревьев добавлена процедура объединения свободных ребер.

Стратегия K – то же самое, что и стратегия J, но добавлена процедура объединения точек и свободных ребер в качестве отдельного этапа и в составе процедуры перестроения поддеревьев.

Стратегия L – стратегия максимального улучшения начального дерева Штейнера. Включает в себя все процедуры стратегии K, но во всех местах своего использования метод локального перестроения дерева заменен той же процедурой, но с использованием точек второго уровня инцидентности.

3.6 Заключительный вид алгоритма

Исходный алгоритм последовательного введения дополнительных точек в дерево ПримаКраскала выглядит теперь следующим образом:

-          1 этап: предварительная отбраковка дополнительных вершин;

-          2 этап: последовательное введение дополнительных вершин в дерево Прима;

-          3 этап: динамическое перестроение дерева Штейнера.

Непосредственно перед работой алгоритма часть дополнительных точек исключается из рассмотрения за счет процедуры «отбраковки». Затем после отработки основной части алгоритма запускается вышеописанная процедура динамического перестроения дерева. Она исправляет «огрехи» предварительного этапа, поскольку существует маленькая, но все же ненулевая вероятность исключить из рассмотрения точку, которая дала бы выигрыш в длине при включении в дерево Штейнера. Попутно эта процедура исправляет недостатки основного алгоритма, трансформируя исходное дерево в дерево с лучшей, а зачастую, оптимальной конфигурацией.

Для этапа перестроения предлагается использовать стратегию J. Эта стратегия в сравнении с другими имеет лучшее соотношение числа положительных исходов ко времени счета. Среднее число положительных исходов при применении данного метода составляет несколько процентов для задач с 6-ю – 7-ю точками, уже около двух десятков процентов для задач с 10-ю точками и больше 90% для задач с 60-ю точками.

Совместный итог работы и предложенного подхода – новый алгоритм, временные показатели которого в несколько раз лучше исходного алгоритма. Качество получаемых решений при этом близко к оптимальным показателям.

3.7 Генетические алгоритмы

Генетические алгоритмы – есть поисковые алгоритмы, основанные на механизмах натуральной селекции и натуральной генетики. Их реализовывает сильнейших среди рассматриваемых структур формируя и изменяя алгоритм, на основе моделирования эволюций поиска.

Популяция – набор решений.

Эволюция популяции – чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои гены, т.о. чтобы каждая новая популяция наилучшим образом приспосабливалась к новой (внешней) среде.

Основной сложностью применения ГА для построения ортогональных деревьев Штейнера является оптимальное кодирование и выбор эффективных генетических операторов. Повышение эффективности алгоритма достигается за счет введения в процедуру поиска оператора мутации, транслокации и рекомбинации. Оператор транслокации до последнего времени не применялся при решении задач оптимизации.

Предлагается комбинированный эвристический алгоритм построения дерева Штейнера, использующий модифицированный метод кодирования, основанный на триангуляции, и модифицированный точечный оператор кроссинговера.

Данное множество вершин в ортогональной плоскости разбивается на триады в соответствии с расположением вершин на координатной плоскости. Далее происходит построение ДШ для каждой из триад методом горизонтальных или вертикальных столбов (метод определяется случайным образом). Ген в хромосоме будет содержать информацию об одной из триад: номера вершин, вид столба (горизонтальный/вертикальный) и номер вершины, через которую проходит столб.

На следующем этапе проводим отбор. Две хромосомы, имеющие наименьшее значение целевой функции (суммарной длины ребер) будут участвовать в воспроизводстве далее. Следующим этапом, к отобранным хромосомам применим модифицированный точечный оператор кроссинговера (точечный оператор кроссинговера). Получение потомков получается путем замены одного из генов родителей (например, третий ген первого родителя становится на место третьего гена второго родителя, а тот в свою очередь на место первого родителя, в результате, получив двух потомков). Повышение эффективности алгоритма достигается за счет введения в процедуру поиска оператора мутации, транслокации и рекомбинации.

Оператор мутации случайно выбирает ген в хромосоме и обменивает его на рядом расположенный ген.

В процессе транслокации случайным образом производится разрыв в каждой хромосоме в определенном для обеих хромосом месте. При формировании потомка берется левая часть до разрыва из одного родителя и инверсия правой части до разрыва из второго родителя. В процессе рекомбинации в результирующую популяцию добавляются хромосомы являющиеся родителями на этапах кроссинговера, мутации и транслокации. Далее производится элитная селекция. Отбираются две наилучшие хромосомы. В случае, если критерий остановки не достигнут, процедура оптимизации повторяется. Критерием остановки является количество популяций, определяемое пользователем.

Применение ГА для решения задачи построения ДШ дает, возможно, не самый лучший результат, но, при соответствующем подборе генетических операторов, он может быть достаточно хорошим. Главное достоинство применения генетических алгоритмов – относительно небольшое время решения. Особенно это важно в условиях очень большого числа абонентов сети, которое постоянно растет, и изменяющихся сетях (их конфигурации и стоимости услуг).

3.8 Результат работы алгоритма

В итоге работы второго этапа алгоритма построения маршрута должна быть получена структура (маршрут рассылки), соответствующая конкретному случаю. Т.е. определены связи, ведущие к нужным абонентам и затрачивающие на это минимум ресурсов. В этом случае могут использоваться соединения между абонентами, минуя промежуточные узлы, к тому же не всегда в рассылке должны быть задействованы все абоненты.

Пример полученного маршрута для схемы сети, представленной на предыдущем этапе, показан на рисунке 3.9.

Рисунок 3.9 – Пример построенного маршрута рассылки

Здесь более темным цветом показаны задействованные связи, обычным цветом – связи существующие, но не участвующие в данной рассылке.

4 РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА 4.1 Постановка задачи разработки программного продукта

Задача разработки программного продукта состоит в том, чтобы он предоставлял необходимые возможности. А именно:

– возможность создания и редактирования сети, т.е. добавление и удаление узлов и связей;

– визуализация схемы построенного маршрута;

– вывод результатов расчетов для пересылки по построенному маршруту;

– возможность настраивать параметры алгоритма для получения наиболее оптимального результата;

– предоставление необходимой информации о программе и правилах работы с ней (помощь);

– удобный пользовательский интерфейс.

С учетом современных технических средств, программа должна иметь графический интерфейс, представляемый на цветном дисплее, совместимость с операционной системой Windows, удобную работу с клавиатурой и мышью.

Структура ПП должна учитывать все перечисленные выше технические и функциональные требования.

Сложность генетических алгоритмов при решении задачи Штейнера состоит в кодировке исходных данных. В то же время эта кодировка не применима при создании структуры сети и ее отображении.

Учитывая специфику выбранного подхода к решению задачи, нужно разработать удобные структуры данных для хранения элементов сети, их обработки в алгоритме и вывода результатов.

4.2 Описание структур данных

Как уже говорилось ранее, для хранения данных в этой программе необходимо разработать несколько структур, в соответствии с процедурой обработки этих данных.

На этапе создания структуры сети, т.е. добавления узлов и связей между ними, данные хранятся в двух отдельных массивах: массив узлов и массив связей. Эти массивы имеют различную структуру.

Структура узлов:

Point = record

x,y:integer;

t:boolean;

end;

Здесь x и y – координаты узла на плоскости сети, t – его тип (активный или неактивный).

Структура связей:

Link = record

b,e:byte;

t:boolean;

p:real;

end;

Поля b и e обозначают номера начального и конечного узлов связи соответственно, t – тип связи (используется ли она в построенном маршруте), p – стоимость пересылки данных по этой связи.

При таком виде хранения данных можно было бы использовать вещественное представление хромосом генетических алгоритмов. Но в этом случае хромосома должна быть двумерной, так как учитываются координаты х и у. В то же время такие хромосомы предполагали бы изменение координат, т.е. имеющиеся узлы в большинстве своем не будут задействованы. Поэтому предполагается совмещать вещественное представление хромосом с традиционным. Точки Штейнера могут быть добавлены, поэтому для них допустимо использовать вещественные хромосомы. Для заданных узлов следует работать с их номерами. Целевая функция должна будет объединять в себе обработку этих двух типов хромосом.

Конкретный механизм совмещения обработки и представления хромосом будет разработан в соответствии с выбранным алгоритмом.

4.3 Настройки алгоритма

Для практического применения алгоритма следует учитывать особенности каждой конкретной ситуации. С помощью программы можно воссоздать структуру любой реальной сети, задать ее параметры (например, стоимость каждой связи), расположить и связать узлы сети в соответствии с действительностью.

При этом для разных ситуаций могут быть оптимальными разные настройки алгоритма. За счет того, что генетические алгоритмы работают достаточно быстро, можно производить пересчет маршрута с самыми различными настройками, подбирая наиболее оптимальный вариант.

В данном ПП предполагается предоставить такие возможности по настройке алгоритма построения маршрута:

– выбор метода отбора предков: равномерный, пропорциональный;

– выбор оператора кроссинговера: одноточечный или двухточечный;

– выбор оператора мутации: сколько генов будет изменяться и как будет происходить их отбор;

– выбор степени элитизма: какой процент наилучших хромосом попадет в следующую популяцию без изменения.

В результате подбора различных настроек ПП поможет построить наиболее оптимальный маршрут для конкретной ситуации.

ВЫВОДЫ

В данной работе затронута актуальная на сегодняшний день тема дистанционного обучения. Его распространение в разные уголки страны позволит значительно повысить уровень образования. И для того, чтобы сделать дистанционное обучение более доступным, разрабатывается этот проект.

Для оптимизации построения сетей дистанционного обучения применяется множество методов. В работе проведен анализ наиболее известных алгоритмов построения структуры сети. Предлагается разбить задачу на два этапа: определение общей структуры и построение маршрута для определенной задачи. Строго математические методы ограничены количеством абонентов. Для растущего числа студентов построение сети становится дорогим и длительным процессом, особенно учитывая скорость изменения самих сетей и их услуг. Поэтому существует тенденция применения эвристических методов решения данной задачи. Один из таких методов – генетические алгоритмы.

Эволюционное программирование, частью которого есть ГА, является относительно новым и достаточно перспективным направлением среди методов решения подобных задач. Существуют большие возможности по усовершенствованию методов и соответственно результатов.

В конечном итоге этой реализацией станет программный продукт, который позволит наглядно представить результаты работы алгоритма, применить его для реальных сетей дистанционного обучения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.         Дюк В., Самойленко А. Data Mining: учебный курс. – СПб: Питер, 2001. – 386с.

2.         Калашников Р.С. Построение дерева Штейнера методом генетического поиска // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. – 2005. – № 2 (22).

3.         Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. – Таганрог: изд-во ТРТУ, 1998. – 242 с.

4.         Маршалл У. Берн, Рональд Л. Грэм Поиск кратчайших сетей. // Scientific American (издание на русском языке). – 1989. – № 3. – С. 64–70.

5.         Панченко Т.В. Генетические алгоритмы: Учебно-методическое пособие / под ред. Ю.Ю. Тарасевича. – Астрахань: АГУ, 2007. – 87 с.

6.         Рыженко Н.В. Алгоритм построения минимальных связывающих деревьев с дополнительными вершинами (деревьев Штейнера) для случая прямоугольной метрики. Труды ИМВС РАН, 2002.