ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ, РЕШАЕМЫЕ В СРЕДЕ СИСТЕМЫ ПАСКАЛЬ

2.3. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ, РЕШАЕМЫЕ В СРЕДЕ СИСТЕМЫ ПАСКАЛЬ

Теорема о движении центра масс системы материальных точек.

В случае сохранения скорости центра масс. Теорема о движении центра масс системы материальных точек. Зависимость между скоростью центра масс и скоростями точек материальной системы имеет вид:

V_с=(∑m_k *V_k)/M, т.е.

x_c=(∑m_k*x_k)/M, y_c=(∑m_k*y_k)/M, z_c=(∑m_k*z_k)/M (1*)

Здесь

V_с=x_c*i+y_c*j+z_c*k

Зависимость между ускорением центра масс и с ускорениями точек материальной системы выражается соотношением

W_с=(∑m_k*W_k)/M, т.е.

x_c=(∑m_k*x_k)/M, y_c=(∑m_k*y_k)/M, z_c=(∑m_k*z_k)/M, (2*)

Здесь

W_с=x_c*i+y_c*j+z_c*k

Напомним формулировку теоремы о движении центра масс: центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна массе материальной системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему: M*Wc=∑Fk.

Та же теорема, записанная в проекциях на оси декартовых координат имеет вид:

Mx_c=∑Fkx, My_c=∑Fky, Mz_c=∑Fkz, (3*)

Движение центра масс системы материальных точек зависит от внешних сил, приложенных к данной системе. Внутренние силы, которые отсутствуют в формулировке теоремы, непосредственно на движение центра инерции системы не влияют. Это обстоятельство значительно облегчает решение задач, так как внутренние силы системы большей частью бывают неизвестны.

Задачи динамики поступательного движения твердого тела решаются посредством теоремы о движении центра масс системы материальных точек.

Действительно, применив эту теорему, мы определим уравнение траектории, скорость и ускорение центра тяжести твердого тела. При поступательном движении твердого тела траектории всех точек одинаковы, а скорости и ускорения их соответственно равны.

С помощью теоремы о движении центра масс можно решать прямые и обратные задачи динамики. Последовательность решения задач:

1.        Изобразить на рисунке все внешние силы системы;

2.        Выбрать систему осей координат;

3.        Записать теорему о движении центра масс (3*) в проекциях на декартовы оси координат;

4.        Вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси декартовых координат и подставить их в (3*);

5.        В зависимости от условия решать прямую, либо обратную задачи динамики.

В некоторых прямых задачах бывают заданы все внешние силы, корме одной, массы всех материальных точек системы и законы их движения. Тогда после выполнения первых четырех пунктов для вычисления левых частей уравнения (3*) надо воспользоваться вспомогательными формулами

Mx_c=∑m_kx_k, My_c=∑m_ky_k, Mz_c=∑m_kz_k (4*)

где m_{k –} масса k-ой точки, а x_k, y_k, z_{k –} уравнения ее движения, ввести эти результаты в (3*) и определить неизвестную силу.

В некоторых обратных задачах бывают заданы все внешние силы, массы всех точек системы и законы движения всех точек, кроме одной и требуется определить движение этой точки. Тогда, после выполнения первых четырех пунктов также следует воспользоваться формулами (4*), полученные результаты ввести в левые части уравнений (3*) и затем найти искомый закон движения точки.

Если в состав системы входят тела с непрерывным распределением масс, то следует записать координаты x_k, y_k, z_k центров тяжести этих тел и затем воспользоваться формулами (4*).

Задача. Эпициклический механизм, расположенный в вертикальной плоскости, установлен на горизонтальной идеально гладкой плоскости и прикреплен к ней болтами K и L. Зубчатое колесо 1 радиуса r₁ неподвижно. С₂ – центр тяжести зубчатого колеса 2 весом Р₂и радиусом r₂. С₁ – центр тяжести станины А и колеса 1, общий вес которых равен Р₁. Массой кривошипа С₁С₂, вращающегося с постоянной угловой скоростью w, пренебречь. В начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение. Определить:

1)        нормальное давление механизма на плоскость,

2)        угловую скорость w вращения кривошипа, при которой механизм в условиях отсутствия болтов начнет подпрыгивать над горизонтальной плоскостью,

3)        наибольшее горизонтальное усилие, действующее на болты,

движение центра тяжести С₁станины механизма после среза болтов K и L.

Рис. 4. Геометрическая модель наклонной плоскости.

Решение. Материальная система состоит из двух масс: неподвижного колеса 1 со станиной и подвижного колеса 2. Изобразим внешние силы этой системы: Р₁ – вес станины и неподвижного колеса 1, Р₂ – вес подвижного колеса 2, R_y – суммарная нормальная реакция плоскости, R_x – суммарная тангенциальная реакция болтов K и L. Направим ось Oy по вертикали через точку С₁, ось x – вдоль горизонтальной плоскости направо.

Запишем теорему о движении центра масс системы в проекциях на оси x и y:

Mx_c=∑F_kx, My_c=∑F_ky, Mz_c=∑F_kz

В данной задаче

∑F_kx=R_x, ∑F_ky=R_y-P₁-P₂, R_x= Mx_c, (1)

R_y= My_c+P₁+P₂ (2)

Для определения сил R_x и R_y остается подсчитать Mx_cи My_c. Вычисление Mx_cи My_c ведется по формулам:

Mx_c=∑m_kx_k, My_c=∑m_ky_k.

В данном случае

Mx_c= m₁ x₁+m₂ x₂ и My_c= m₁ y₁+m₂ y₂, (3).

Где x₁и y_{1 –} координаты центра тяжести С₁ станины механизма и неподвижного колеса 1, x₂ и y₂ – координаты центра тяжести С₂ подвижного колеса 2.

Как видно из рис., x₁=0, y₁=ОС₁ – постоянная, x₁=C₁ C₂ cosw t=(r₁+r₂) cos w t (угол поворота кривошипа С₁С₂ равен φ=wt, так как по условию w постоянна), y₂=ОС₁+С₁С₂ sinw t=ОС₁+(r₁+r₂) sinw t.

Вычислив вторые производные x₁, y₁, x₂, y₂ по времени t находим x₁=0 y₁=0, x₂=-(r₁+r₂) w² cosw t, y₂=-(r₁+r₂) w² sinw t.

Внеся эти значения в формулы (3), получим:

Mx_c= -m₂ ( r₁+ r₂ )w² соs wt, (4)

My_c= -m₂( r₁+ r₂ )w² sin wt (5)
После подстановки (4) в (1) и (5) в (2) находим:

R_x = -P₂ /g *( r₁+ r₂ )w² соs wt (6)

R_y= P₁+ P₂ - P₂/g *( r₁+ r₂ )w² sin wt (7)

Давление механизма на горизонтальную плоскость направлено противоположно реакции R_y и по модулю равно ей:

N_y=P₁+ P₂ -P₂ /g *( r₁+r₂ ) w² sin wt

Наибольшее давление:

N_ymax= P₁ + P₂+ P₂/g * (r₁+ r₂ ) w²

Наименьшее давление:

N_ymin= Р₁ + P₂ - P₂ /g * ( r₁ +r₂ ) w²

В условиях отсутствия болтов механизм может начать подпрыгивать над горизонтальной плоскостью. Это будет иметь место при R_ymin<0, т.е при Р₁ +P₂-P₂/g* (r₁ + r₂) w²<0, откуда следует, что угловая скорость w вращения кривошипа C₁C₂, при которой происходит подпрыгивание механизма, должна удовлетворять неравенству

w > √g*(P₁+P₂) / P₂(r₁+r₂).

Горизонтальное давление, действующее на болты, направлено противоположно R_х (см. формулу (6)), причем

N_x=P₂/g*(r₁ + r₂)w² coswt.

Наибольшее давление равно

N_xmax=P₂/g*(r₁ + r₂)w²

Допустим, что под действием, силы N_x произошел срез болтов.
Тогда весь механизм начнет двигаться по идеально гладкой горизонтальной плоскости.

На рис. б изображен механизм в положении, когда точка С₁ сместилась с оси у направо на х₁. Так как станина механизма находится в движении относительно оси х, то х₁ является функцией времени t.

Из чертежа видно, что в данном случае

х₂=х₁ + С₁С₂ cos wt= х₁ + (r₁ + r₂) cos wt.

Следовательно,

Mx_c =т₁х₁ +т₂ x₂ = (m₁ +m₂)x₁ – m₂(r₁ + r₂) w² cos wt (8)

Теорема о движении центра масс системы материальных точек в проекции на ось х имеет вид

Мх_с = ∑F^e_kx

Так как после среза болтов реакция R_x отсутствует, а внешние силы Р₁ Р₂ и R_у перпендикулярны к оси х, то ∑F_kx= 0 и Мх_с = 0. Подставив в это уравнение значение Mx_с из формулы (8), получим

(т₁ +m₂) х₁ -m₂ (r₁ + r₂) w² cos wt = 0,

т. е.

x₁ = Р₂/(Р₁+Р₂ )*(r₁ + r₂) w² cos wt, (9)

Это - дифференциальное уравнение движения центра тяжести С₁станины механизма по идеально гладкой горизонтальной плоскости при отсутствии болтов. Для интегрирования уравнения (9) должны быть известны начальные условия движения точки С₁. Так как в момент среза болтов точка C₁ находилась на оси у и была в покое, то начальные условия движения записываются в виде:

при t= 0 x₁ =0 и y₁ = 0.

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (9), получим:

x₁= Р₂/Р₁+Р₂ *(r₁ + r₂) w sin wt + D₁

После подстановки начального условия движения t = 0 и x₁ = 0 имеет D₁ = 0, т. е

x₁= Р₂/Р₁+Р₂ *(r₁ + r₂) w sin wt

Вторично проинтегрировав, находим х₁ = - Р₂/Р₁+Р₂ *(г₁ + r₂) cos wt +D₂. Использовав то, что при t=0, х₁=0, имеем:

D₂ = Р₂/Р₁+Р₂ *(r₁ + r₂)

т.е. x₁ = Р₂ / Р₁+Р₂ *(r₁ + r₂ )(1-cos wt).

Итак, центр тяжести С₁ станины механизма в случае отсутствия болтов совершает гармонические колебания с амплитудой Р₂/Р₁+Р₂ *(r₁ + r₂) и круговой частотой, равной угловой скорости w вращения кривошипа С₁С₂.

Эту задачу можно решить также с помощью уравнения динамики переносного движения. Как известно, переносное поступательное движение системы происходит как движение абсолютное под действием всех внешних сил системы и сил инерции масс в их относительном движении, т.е.

Mw_e=∑F_k+∑J_rk ,

где F_k— внешние силы, a J_rk — силы инерции в относительном движении.

В проекциях на оси декартовых координат имеем:

Мх_е =∑ F_kx^e+ ∑J_rkx Му_е = ∑F_ky^e+ ∑J_rky,

k=1

Мz_е = ∑F_kz^e+ ∑J_rkz

k=1

В данной задаче колесо 2, участвуя в переносном поступательном движении вместе с колесом 1 и станиной, совершает относительное вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр тяжести С₁ колеса 1и станины перпендикулярно к плоскости ху.

Изобразив все внешние силы системы Р₁, Р_2, R_x и R_y (см. рис. в), добавляем центробежную силу инерции в относительном движении

J_rn = -Р₂ /g*w_rn. Так как точка С₂ в относительном движении описывает окружность с центром С₁ радиуса С₁С₂ = r₁+ r₂, то, центро­стремительное ускорение w_rn, направлено от С₂ к С₁ и, следовательно, центробежная сила инерции в относительном движении J_rn направлена противоположно. По модулю

J_rn = -Р₂ /g*w_rn= Р₂ /g*(r₁+ r₂)w²

Вращательная сила инерции в относительном движении J_rτ = -Р₂ /g*w_rτравна нулю, так как кривошип вращается равномерно. Применив дифференциальные уравнения переносного поступательного движения материальной системы в проекциях на оси х и у:

Мх_е =∑ F_kx^e+ ∑J_rkx , Му_е = ∑F_ky^e+ ∑J_rky,

k=1 k=1 k=1 k=1

получим

Mx_e =R_x+J_rn coswt, My_e=R_e— P₁— P₂+J_rnsinwt,

Так как х_e = х₁ ,y_e=y₁ , J_rn =P₂/g*(r₁+r₂) w², то

Мх₁=R_x+P₂/g(r₁+r₂)w²coswt , (10)

My₁=R_y-P₁- Р₂ +P₂/g (r₁ + r₂) w² sinwt. (11)

В случае механизма, закрепленного болтами, центр тяжести С₁колеса 1 и станины неподвижен , т. е. х₁=у₁=0, и дифференциальные уравнения принимают вид

R_x+P₂/g(r₁+r₂)w²coswt =0, (12)

R_y- -P₁- Р_г +P₂/g (r₁ + r₂) w² sinwt , (13)

откуда вытекает, что проекция нормальной реакции плоскости равна

R_y = P₁ - Р_г +P₂ /g (r₁ + r₂) w² sinwt. (14)

 Проекция на ось х горизонтальной силы реакции болтов равна

R_x= P₂ / g (r₁+r₂ )w²coswt. (15)

Условие подпрыгивания определяем из (14), считая R _{у min} отрицательным. Так как

R_ymin = P₁ + Р_г - P₂ /g *(r₁ + r₂) w², а R_ymin<0 , то

P₁ +Р₂ -P₂ /g *(r₁ + r₂) w²<0

откуда w>√ g*(P₁+P₂)/(P₂(r₁+r₂ ))

Для определения закона движения центра тяжести C_L колеса 1 и станины механизма после среза болтов надо в формуле (10) положить R_x= 0. Тогда

Мх₁ = P₂/g*(r₁ + r₂) w² coswt ,

Т.е. приходим к уравнению (9):

x₁=P₂ /(P₁+ P₂ )*(r₁ + r₂ ) w²cos wt ,

решение которого было получено выше.

На основе разработанного алгоритма решения задачи по кинематике составим Паскаль – программу.

Program DINAMIKA;

Var

w,r1,r2,P1,P2,t,NxMax,Ny,x1:Real;

Const

g=9.8;

Begin

Writeln ('vvedite radius r1');

Readln (r1);

Writeln ('vvedite radius r2');

Readln (r2);

Writeln ('vvedite ves P1');

Readln (P1);

Writeln ('vvedite ves P2');

Readln (P2);

Writeln ('vvedite vremya');

Readln (t);

w:=sqrt((g*(P1+P2))/(P2*(r1+r2)));

Ny:=P1+P2-(P2/g)*(r1+r2)*w*w*cos(w)*t;

NxMax:=P2/g*(r1+r2)*w*w;

x1:=P2/P1+P2*(r1+r2)*(1-cos(w)*t);

Writeln ('w:=',w);

Writeln ('Ny:=',Ny:8:6);

Writeln ('NxMax:=',NxMax:8:6);

Writeln ('x1:=',x1:8:6);

Readln;

End.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью курсовой работы являлась изучение полного спектра функциональных возможностей языка программирования Паскаль для решения задач прикладной механики.

Задачами данной работы являлись:

1.         Освоение полного спектра функциональных возможностей языка программирования Паскаль;

2.          Постановка и решение задач прикладной механики традиционным способом;

3.          Решение задач механики в среде языка программирования Паскаль.

Методами работы при выполнении поставленных задач:

1.         Теоретический анализ научно-технической литературы по языку программирования Паскаль;

2.        Математическое моделирование задач прикладной механики;

3.        Компьютерное решение задач прикладной механики.

На основе проведенного курсового исследования на тему «Приложения технологии языка программирования паскаль в прикладной механике» можно сформулировать следующие выводы:

1. Язык программирования высокого уровня Паскаль обладает широким спектром логических конструкций и функций, необходимых для успешного решения задач прикладной механики.

2. Информационное моделирование механических явлений средствами логики и высшей математики позволяет достаточно быстро перевести решение задач прикладной механики на уровень компьютерных вычислений посредством языка программирования Паскаль.

ЛИТЕРАТУРА

 

1.         Бать М.И., Джанелидзе Г., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1. М.: Просвещение, 2000.

2.         Бать М.И., Джанелидзе Г., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2. М.: Просвещение, 2000.

3.         Бочкин А. И. Методика преподавания информатики. - Минск: Высшая школа, 1998.

4.         Блашкин И.И., Буров А.А. Новые возможности Turbo-Pascal 6.0. — Спб.: Изд-во «Макет», 1992.

5.         Бородич Ю.С. и др. Паскаль для персональных компьютеров: Справ. пособие/ Ю.С.Бородич, А.Н.Вальвачев, А.И.Кузьмич. — Мн.: Выш. шк.: БФ ГИТМП «НИКА», 1991.

6.         Васильев П.П. Турбо Паскаль — мой друг: М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.

7.         Великов В.П., Новая информатика в школе // Информатика и образование. – 1986. - №1.

8.         Вычислительная техника и программирование. Под редакцией А. В. Петрова М., Высшая школа, 1990.

9.         Голубева О.В. Теоретическая механика. Изд-во «Высшая школа». М.: 1968.

10.      Донцов Д.А. Самые нужные программы для Windows. Популярный самоучитель.- Спб.: Питер, 2006.

11.      Джордейн Р. Справочник программиста персональных компьютеров типа IBM PC, XT, AT: Пер. с англ./ Предисл. Н.В.Гайского. — М.: Финансы и статистика, 1991.

12.      Зозуля Ю. Компьютер на 100 % - Спб.: Питер, 2006.

13.      Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal 6.0. — М.: Унитех, 1992.

14.      Информатика. Базовый курс: Учеб. пособ. для студентов технических вузов / С.В. Симонович, Г. Евсеев, В. И. Мухаровский и др.; под ред. Симоновича – Спб.: Питер, 2005.

15.       Информатика: Учеб. пособ. для пед. спец. вузов /А.Р. Есаян, В.И. Ефимов, Л.П. Липецкая и др. - М.: Просвещение, 1991.

16.      Лапчик М. П. Методика преподавания информатики. М.: Посвещение, 2001.

17.      Левин А. Самоучитель полезных программ 3-е изд.- Спб.: Питер, 2003.Турбо Паскаль 7.0 - К.: Издательская группа BHV, 1998.

18.      Марченко А. И., Марченко Л. И. Программирование в среде Turbo-Pascal 7.0-М., Бином Универсал, К.: Юниор, 1997.

19.      Мизрохи А.М. Turbo Pascal и объектно-ориентированное программирование. — М.: Финансы и статистика, 1992.

20.      Немнюгин С.А. Turbo Pascal. Программирование на языке высокого уровня. Учебник для вузов. 2-е изд.- Спб.: Питер, 2005.

21.      Рывкин К.А. Справочник школьника по информатике. 7-11 кл. - М.: ООО Изд. дом «Оникс 21 век », 2005.

22.      Справочник по процедурам и функциям Borland Pascal with Objects 7.0. — Киев: «Диалектика», 1993.

23.      Фарафонов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс: учеб. пособие. - М.: Кнорус, 2006.

24.      Фёдоров А. Особенности программирования на Borland Pascal. — Киев: «Диалектика», 1994.

25.      Хершель Р. Турбо Паскаль/ 2-е изд., перераб. — Вологда: МП «МИК», 1991.

26.      POWER TOOLS PLUS. Процедуры поддержки для Turbo Pascal 4.0.: Справочное руководство пользователя. Техническая документация.