Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения

Содержание

Введение

1 Постановка задачи

2 Математические и алгоритмические основы решения задачи

3 Программная реализация решения задачи

4 Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

Введение

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой  уравнение сводится к квадратному уравнению  с последующим решением двух двучленных уравнений  и  ( и  - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

,

.

Если ,  то биквадратное уравнение имеет два действительных корня  и мнимых сопряженных корня:

.

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Случай ,  аналогичен разобранному.

,

Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.

1. Постановка задачи

Биквадратным называется уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, придем к квадратному уравнению ay²+by+c=0.

Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

x⁴+4x²-21=0.

Решение:

Положив x² = y, получим квадратное уравнение y²+4y -21=0, откуда находим y₁= -7, y₂=3.

Теперь задача сводится к решению уравнений x²= -7, x²=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

,

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения..

Ответ: .

Пример 2.

Решить биквадратное уравнение.

2х⁴ – 5х²+2=0

Решение:

Обозначим х²=t. Тогда х⁴=(х²)²=t² и уравнение примет вид:

2t²–5t+2=0

D=(–5)2 – 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,

t₁=(5+3) / 4=2 и t₂=(5 – 3) / 4=1 / 2.

Так как t=x², то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений

х₁=2 и х₂=1/2.

Имеем

Ответ: