Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi

Московский Гуманитарный Техникум Экономики и Права

Курсовая работа по курсу:

Информатика, вычислительная

техника и программирование на ПЭВМ

Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi"

Москва 2008

Содержание

Задание1 (а) Решение циклических программ

Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием

Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel

Задание 1 (в) вычисление массива

Решение уравнения в Turbo Pascal

Задание 1 (г) вычисление суммы в Microsoft Excel

Задание 2. Интегрирование функции

Вычислить определённый интеграл

1. Метод прямоугольников

2. Метод трапеции

3. Метод симпсона

4. С автоматическим выбором шага

Задание 3. Решение системы линейных уравнений

Решение уравнения с помощью MathCAD

Задание 4. Решение нелинейного уравнения

Задание 5. Организация нахождения минимума и максимума элемента в массиве случайных чисел в среде пакета MathCAD

Задание 6

Задание 1. Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel

Табличный редактор Microsoft Excel представляет собой электронную таблицу разбитую на ячейки.

В ячейки одного из столбцов вводятся значения переменной В ячейки другого столбца, строка которого соответствует номеру первой ячейки столбца переменных, ставят "=" и вводят формулу. Затем нажимают Enter и табличный редактор выполняет поставленную задачу.

Решение уравнения с помощью MathCAD.

Данная задача в MathCAD будет выполнятся с использованием ранжированной переменной. В среде пакета MathCAD для выполнения итеративных вычислений предусмотрен аппарат ранжированных переменных.

Ранжированная переменная-это переменная, которой приписан диапазон изменения значений.

Пример ранжированной переменной:

x: =a,b. c,

где x - переменная, a,b,c - значения, которые принимает переменная, т.е. a-первое значение, b-второе значение, т.е. (b-a) - шаг изменения переменной, и c-последнее значение.

Функция представлена в виде ранжированного выражения, т.е. выражения в котором присутствуют p-переменные.

Решение уравнения в Turbo Pascal

Арифметические выражения строятся из констант, переменных, функций и операций над ними.

Правила использования выражений:

1. Выражение записывается в одну строку.

2. Используются только круглые скобки, число открывающихся скобок должно соответствовать числу закрывающихся скобок.

3. Нельзя записывать подряд два знака арифметических операций.

Структура программы в Turbo Paskal

Program <имя программы> ; ] 1

uses <описание модулей>;

lable <метки>;

const <объявление констант>;

type <объявление типов данных>; 2

var < объявление переменных>;

< описание процедур и функций>;

begin

операторы 3

end.

 

Заголовок программы: служебное слово program и имя;

Раздел описаний: описываются все идентификаторы объектов, используемые в данной программе. Описать идентификатор - значит указать его имя и тип.

Раздел операторов: указывается последовательность действий, которые необходимо.

Повторение (циклический алгоритм) - это алгоритм, в котором предусмотрено неоднократное выполнение одной и той же последовательности действий.

Последовательность действий, выполняемая в цикле, называется телом цикла.

Переменная, которая хранит число повторений цикла, называется параметром (счетчиком) цикла.

Цикл позволяет многократно выполнять отдельный оператор или последовательность операторов.

Различают следующие циклы: с параметром, с предусловием, с пост условием.

Цикл с предусловием и пост условием, как правило, используется для организации приближенных вычислений, задач поиска и обработки данных, вводимых с клавиатуры или файла.

С предусловием	С постусловием
WHILE условие DO BEGIN Оператор1 Оператор2 END:	REPEAT Оператор1 Оператор2 UNTIE условие
Может не выполниться ни разу	Выполнится хотя бы один раз
Параметр цикла проверяется до тела	Параметр цикла проверяется после тела
Записывается условие выполнения цикла	Записывается условие выхода из цикла

Цикл с параметром используется, если известно число повторений и реализуется с помощью оператора FOR общий вид которого следующий:

FOR параметр цикла: = начальное значение TO (DOWNTO) конечное значение

DO BEGIN Оператор1

Оператор2

END:

Параметр должен быть переменной целого типа.

Если используется слово TO, счетчик увеличивается на единицу, если используется слово BOWNTO, то счетчик уменьшается на единицу.

 

Задание1 (а) Решение циклических программ

 

Xn=2; Xk=10; h=1.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет выд: = (SIN (A2) +5) ^2/СТЕПЕНЬ (A2+3^ (A2); 1/2);

Значение x:	y (x):
2	10,53
3	4,826
4	1,953
5	1,037
6	0,822
7	0,683
8	0,443
9	0, 209
10	0,082

 

В Mathcad:

 

В Turbo Paskal:

program z1;

uses crt;

var Xn,Xk,X,Y,H,Z: REAL;

begin

clrscr;

write ('Vvedite Xn,Xk,H=');

readln (Xn,Xk,H);

X: =Xn;

repeat

z: =x+exp (x*ln (3));

if z<=0 then writeln ('NO') else

Y: =sqr (sin (x) +5) /Sqrt (z);

writeln ('X=',X: 6: 1,' Y=',Y: 8: 3);

X: =X+H;

until X>=Xk+H/2;

readkey;

end.

 

Блок-схема к заданию:

Результаты вычислений:

Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel

Для реализации задачи необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ, которая возвращает одно значение, если заданное условие при вычислении дает значение ИСТИНА Реализация задачи вычисления функции с условиями, и другое значение, если ЛОЖЬ. Общий вид функции такой:

ЕСЛИ (лог_выражение; значение_если_ложь)

Лог выражения-это любое значение или выражение, которое при вычислении дает значение ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Значение_если_истина-это значение, которое возвращается, если лог_выражение имеет значение ИСТИНА. Если лог_значение имеет значение ИСТИНА и значение_если_истина опущено, то возвращается значение ИСТИНА. Значение_если_истина может быть другой формулой.

Значение_если_ложь-это значение, которое возвращается, если лог_выражение имеет значение ЛОЖЬ. Если лог_выражение имеет значение ЛОЖЬ и значение_если_ложь опущено, то возвращается значение ЛОЖЬ. Значение_если_ложь может быть другой формулой.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет вид: =ЕСЛИ (A2=0; "NO"; ЕСЛИ (A2<0; SIN (A2) / (1-2^SIN (A2)); ЕСЛИ (И (A2>0; A2<1); 2*A2/ (1-A2); ЕСЛИ (A2>1; A2^2-LN (A2); "нет решения"))))

Рисунок.

x	y (x)
-2	-1,9447896
-1,6	-1,9997383
-1,2	-1,9585469
-0,8	-1,8309758
-0,4	-1,646153
0	NO
0,4	1,33333333
0,8	8
1,2	1,25767844
1,6	2,08999637
2	3,30685282

 

В Mathcad:

 

 

В Turbo Pascal:

program z2;

uses crt;

label 20;

var x,y,Xn,Xk,h: real;

begin clrscr;

writeln ('Please ENTER Xn,Xk,h=');

readln (Xn,Xk,h);

x: =Xn;

while x<=Xk+h/2 do

begin

if x<0 then

begin

y: =1-exp (sin (x) *ln (2));

if y=0 then

writeln ('NET KORNEY') else

y: =sin (x) /y;

end

else

if (x>0) and (x<1) then y: = (2*x) / (1-x) else

if x>1 then y: =x*x-ln (x)

else

begin

writeln ('NO answer');

goto 20;

end;

writeln ('x=',x: 3: 1,' y=',y: 6: 3);

20: x: =x+h;

end;

readkey;

end.

 

Результаты вычислений:

Блок-схе
ма к заданию:

 

Задание 1 (в) вычисление массива Решение уравнения в Turbo Pascal

 

Массив (матрица, таблица, вектор) - это структура данных, представляющая собой совокупность элементов одного типа.

Массив называется одномерным, если для получения доступа к его элементам достаточно одной индексной переменной.

1) Массив можно определить как одномерную (последовательную) совокупность элементов некоторого типа, которые адресуется с помощью индекса.

2) Массив должен быть объявлен в разделе описания переменных:

VAR ИмяМассива: ARRAY (НачИндекс. КонечныйИндекс) OF ТипДанных.

3) Доступ к элементу массива осуществляется путем указания индекса (номера), в качестве которого нужно использовать переменную целого типа. Massiv (2): =5;

А: =massiv (4);

4) Для ввода, вывода и обработки массивов удобно использовать операторы циклов. Задание элементов массива случайным образом.

Необходимо массив yi из случайных чисел, входящих в определенный интервал. Для этого нужно использовать функцию Random (x), которая возвращает случайное число от 0 до X, если функция используется без параметра, то будут генерировать числа от 0 до 1.

Перед использованием данной функции необходимо применить оператор Randomize, который обеспечивает несовпадение последовательности случайных чисел, генерируемых функцией.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет вид: =СТЕПЕНЬ (EXP (1) ^ (3*A2) - TAN (A2) ^3; 1/5) /КОРЕНЬ ( (A2) ^2+SIN (A2) ^2)

Рисунок.

x	y
0,4	2,267
0,7	1,576
0,8	1,473
1,3	0,752

В Mathcad:

 

В Turbo Pascal:

program zadanie3;

uses crt;

const n=4;

var x,y: array [1. n] of real;

i: integer;

z,j,d: real;

begin

clrscr;

for i: =1 to n do

begin

write ('Enter x [i] =');

readln (x [i]);

end;

for i: =1 to n do

begin

j: =exp (3*x [i]) - exp (3*ln (sin (x [i]) /cos (x [i])));

z: =exp (1/5*ln (abs (j))) * (abs (j) /j);

d: =sqrt (sqr (x [i]) +sqr (sin (x [i])));

y [i]: =z/d;

writeln ('x [i] =',x [i]: 5: 1,' y [i] =',y [i]: 5: 3);

end;

readkey;

end.

Блок-схема алгоритма решения задания №1.3

Нахождение функции заданном массиве:

Результаты вычислений:

 

Задание 1 (г) вычисление суммы в Microsoft Excel

В третьем столбце формула имеет вид: = (A2^ (-A2*SIN (A2)) - LN (2*A2+5)) / (КОРЕНЬ (2+SIN (2*A2)) +A2^2)

В четвертом столбце формула имеет вид: =СУММ (C2*B2+C3*B3+C4*B4+C5*B5)

x	a	y	S
1,1	0,42	-0,368	-1,3
1,3	0,7	-0,399
1,5	0,9	-0,413
1,7	1,2	-0,408

В Mathcad:

 

В Turbo Pascal:

Program Summa;

uses crt;

const n=4;

Var x,z,d,Xn,h,F,S: Real;

i: Integer;

a: array [1. n] of Real;

BEGIN

clrscr;

randomize;

Write ('enter please Xn,h=');

ReadLN (Xn,h);

for i: =1 to n Do

begin

Write ('enter please a [i] =');

ReadLN (a [i]);

end;

x: =Xn;

S: =0;

for i: =1 to n Do

begin

z: =exp ( (-x*sin (x)) *ln (x)) - ln (2*x+5);

d: =sqrt (2+sin (2*x)) +sqr (x);

F: =z/d;

S: =S+F*a [i] ;

x: =x+h;

end;

WriteLN ('S=',S: 10: 3);

readkey

END.

 

Результаты вычислений:

Блок-схема алгоритма решения задания №1.4

Нахождение функции, если дан x, h, n, задан массив:

Задание 2. Интегрирование функции Вычислить определённый интеграл

 

Так как определённый интеграл является площадью фигуры, ограниченной некоторой функцией y=f (x), то целью задачи является нахождение площади этой фигуры. Для этого необходимо данную фигуру разбить на более простые, площадь которых находится по простым формулам, а затем сложить полученные площади в одну для нахождения необходимой, т.е. для вычисления данного определённого интеграла.

Существуют различные методы нахождения определённого интеграла.

Рассмотрим некоторые из них:

метод средних прямоугольников;

метод трапеций;

метод Симпсона (парабол);

с автоматическим выбором шага;

 

1. Метод прямоугольников

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [a, b] делят на n равных частей точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b

так, что x_i+1-x_i= (b-a) /n (I=0,1,2,…,n-1). Тогда длина каждого частичного отрезка определяется как h= (b-a) /n, а точки разбиения x₀=a, x₁=x₀+h, x₂=x₁+h,…, x_n=x_n-1+h. Эти точки называются узлами, а h-шагом интегрирования. В узлах вычисляются ординаты y₀, y₁,…, y_n, т.е. y_i=f (x_i). На частичных отрезках [x_i; x_i+1] строятся прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка. Произведение f (x_i) *h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, представляющей собой приближённое значение интеграла.

Если f (x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получается формула левых прямоугольников:

»I_л= (y₀+y_1+…+y_n-1) = .

Если f (x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

»I_п= (y₁+y_2+…+y_n) = .

Если функция f вычисляется в точках x_i+h/2Î [x_i;; x_i+1], то получается формула средних прямоугольников:

 

2. Метод трапеции

Метод трапеций аналогичен методу прямоугольников, с той лишь разницей, что на каждом частичном отрезке строится трапеция.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

»I=

 

3. Метод симпсона

Если на частичном отрезке длиной 2h функции заменяется дугой параболы, то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона:

 = (h/3) * (y₀+y_2n+,

где