Системи числення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Бердичівський політехнічний коледж

Контрольна робота

«Комп’ютерна схемотехніка»

(варіант №21)

студента групи Пзс-503

Михайлуса Михайла Геннадійовича

2008 р.

1. Принципи побудови систем числення, основні поняття

У числової інформації в персональних комп’ютерах є такі характеристики:

1.   система числення - двійкова, десяткова та інші;

2.   вид числа - дійсні, комплексні та масиви;

3.   тип числа - змішані, цілі та дробові;

4.   форма представлення числа (місце розташування коми) - з природною (змінною), з фіксованою та з плаваючою комами;

5.   розрядна сітка та формат числа;

6.   діапазон і точність подання числа;

7.   спосіб кодування від’ємних чисел - прямий, обернений чи доповняльний код;

8.   алгоритм виконання арифметичних операцій.

Системи числення — це сукупність прийомів та правил запису чисел за допомогою цифр чи інших символів. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом.

Усі системи числення поділяють на позиційні та непозиційні.

Непозиційна система числення має необмежену кількість символів. Кількісний еквівалент кожного символу постійний і не залежить від позиції. Найвідомішою непозиційною системою числення є римська. В якій використовується сім знаків: I -1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Недоліки непозиційної системи числення: відсутність нуля, складність виконання арифметичних операцій. Хоча римськими числами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків в історії та інше.

Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій.

У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту.

У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі.

Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.

Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні.

Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення.

Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь.

Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова. Причому, якщо вага в розряді числа складає ряд геометричної прогресії з знаменником (основою р), то це однорідна позиційна система числення з природною порядковою вагою. У даній позиційній системі числення з природною порядковою вагою число може бути представлене у вигляді поліному:

 

де - основа системи числення;

 - вага позиції;

- цифри в позиціях числа;

 - номер розрядів цілої частини;

 - номер розрядів дробової частини.

Система числення з основою 10 - десяткова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число десять є складеним. Кожне десяткове число можна розкласти по ступенях основи десяткової системи числення. Наприклад, число 5213,6 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

5213,6=5·10³+2·10²+1·10¹+3·10⁰+6·10^-1

Система числення з основою 2 - двійкова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1. Кожне двійкове число можна розкласти по ступенях основи двійкової системи числення. Наприклад, число 111,01 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

111,01₂=1·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=7,25₁₀

Система числення з основою 8 - вісімкова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Кожне вісімкове число можна розкласти по ступенях основи вісімкової системи числення. Наприклад, число 45,21 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

45,21₈=4·8¹+5·8⁰+2·8^-1+1·8^-21=37,2651₁₀

Система числення з основою 16 - шістнадцяткова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 та літери: A, B, C, D, E, F. Кожне шістнадцяткове число можна розкласти по ступенях основи шістнадцяткової системи числення. Наприклад, число DE,1B можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

DE,1B₁₆=D·16¹·+E·16⁰+1·16^-1·B·16^-2=222,1051₁₀

Ці записи показують один із способів переведення не десяткових чисел у десяткові.

При однаковій розрядності у системах числення з більшою основою можна записати більше різних чисел.

Перевагою двійкової системи числення є: простота виконання арифметичних операцій, наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерами), призначеними для зберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1.

Для переведення цілого числа з однієї системи в іншу необхідно поділити перевідне число на нову основу за правилом початкової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого розряду в новій системі, п першу частку необхідно знову ділити. Цей процес продовжується аж до появи неподільної частки. Результат записують у порядку оберненому їхньому одержанню:

Наприклад: переведемо число 118 з десяткової системи у війкову

118₁₀=1110110₂

118	2
118	59	2
0	58	29	2
	1	28	14	2
		1	14	7	2
			0	6	3	2
				1	2	1	2
					1	0	0
						1

Для переведення правильного дробу з однієї системи числення в іншу необхідно діючи за правилами початкової системи помножити перевідне число на основу нової системи. Від результату відокремити цілу частину, а дробову частину, яка залишилася знов помножити на цю основу.

Процес такого множення повторюється до одержання заданої кількості цифр. Результат записують як цілі частин добутку у порядку їхнього одержання.

Наприклад: переведемо число 0,625 з десяткової системи у двійкову

0,625₁₀=0,1010₂

	0,625
	2
	1,250
	2
	0,500
	2
	1,000
	2
	0,000

Для переведення змішаних чисел у двікову систему потрібно окремо переводити цілу та дробову частини.

У вісімкових і шістнадцятькових чисел основа кратна степеню 2, тому переведення цих чисел у двійкову реалізується наступним чином: кожну цифру записують трьома двійковими цифрами (тріадами) для вісімкових чисел і чотирма - для шістнадцяткових чисел в напрямках вліво та вправо від коми. При цьому крайні незначущі нулі опускаються.

3 0 5, 4 2

Наприклад: 305,42₈=11 000 101,100 01₂

7 2 А, E F

72А,EF₁₆=111 0010 1010,1110 1111₂

Для переведення двійкового числа у вісімкове початкове число розбивають на тріади вліво та вправо від коми, відсутні крайні цифри доповнюють нулями, кожну тріаду записують вісімковою цифрою. Аналогічно здійснюється переведення двійкового числа у шістнадцяткове, при цьому виділяють, які заміняють шістнадцятковими цифрами.

6 3, 4 2

Наприклад:

110 011,100 010₂=63,42

3 А С 7

0011 1010,1100 0111₂=3А,С7₁₆

Критерії вибору

На відміну від аналогових машин, де будь-яка фізична чи математична величина може бути представлена у виді напруги, переміщення і т. п., у цифрових обчислювальних машинах дані задаються у виді цифрових чи буквених символів. При цьому використовується не будь-який набір символів, а визначена система. В електронних обчислювальних машин застосовуються позиційні системи числення. Така система числення, як римська, непозиційна, в обчислювальній техніці не використовується через свою громіздкість і складні правила утворення.

Від вибору системи числення залежить швидкодія ЕОМ та об’єм пам’яті. При виборі враховують такі нюанси:

1) наявність фізичних елементів;

2) економічність системи числення (чим більша основа системи числення, тим потрібна менша кількість розрядів, але більша кількість відображуючих елементів). Найбільш ефективна це трійкова система числення, але двійкова система і системи числення з основою 4 - не гірша;

3) важкість виконання операцій (чим менше цифр, тим простіше);

4) швидкодія (чим більше цифр, тим менша швидкодія);

5) наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу обчислювальних пристроїв.

Класична двійкова система числення - це така система числення, в якій для зображення чисел використовують тільки два символи: 0 та 1, а вага розрядів змінюється по закону 2^k, де к—довільне число.

Правило виконання операцій у класичній двійковій системі числення

У загальному вигляді двійкові числа можна представити у вигляді поліному:

А₂ = r _n*2ⁿ + r _n-1* 2^n-1 + … + r₁* 2¹ + r₀*2⁰ + r_-1* 2^-1,

Додавання у двійковій системі числення проводиться по правилу додавання поліномів, тобто j-тий розряд суми чисел a та b визначається за формулою.

Двійкова арифметика, чи дії над двіковими числами, використовують наступні правила, задані таблицями додавання, віднімання, множення.

Додавання Віднімання Множення

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 * 1 = 1

Логічне додавання

	0	1
0	0	1
1	1	1

Додавання по модулю 2

	0	1
0	0	1
1	1	0

Додавання двох багаторозрядних двійкових чисел проводиться порозрядно з урахуванням одиниць переповнення від попередніх розрядів.

Приклад:

+	1011
	1011
	10110

Віднімання багаторозрядних двійкових чисел, аналогічно додаванню, починається з молодших розрядів. Якщо зайняти одиницю в старшому розряді, утвориться дві одиниці в молодшому розряді.

Приклад.

-	1010
	0110
	0100

Множення являє собою багаторазове додавання проміжних сум і зсувів.

Приклад.

x	10011
	101
+	10011
	00000
	10011
	1011111

Перевірка за вагами розрядів числа 1011111₍₂₎ дає 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 95_(10).

Процес ділення складається з операцій віднімання, що повторюють.

Приклад.

101010				111
111				110
0111
111
0000

 

Позиційні системи числення з непостійною штучною вагою

Для ЦОМ розроблені допоміжні системи числення, що одержали назву "двійково-кодовані десяткові системи" (ДКДС). У цій системі кожна десяткова цифра представляється двійковим еквівалентом. Чотирьохрозрядне двійкове число може мати ваги розрядів: 2, 4, 2, 1 чи 8, 4, 2, 1, і ін. Десяткове число 7 у залежності від прийнятої системи ваги війкового розряду буде зображено у виді:

А) 1101 і Б) 0111

2421 8421(2-10)

Недоліком ДКДС є використання зайвих двійкових розрядів для десяткових чисел від 0 до 7. Більш раціональне застосування вісімкової системи, але вісімкові числа доводиться переводити в десяткові, а числа в ДКДС відразу читаються в десятковому коді.

Такі системи числення найчастіше використовуються в спеціалізованих ЕОМ як коди. Прикладом є двійково-десяткова системи числення.

Щоб перекласти десяткове число у двйково-десяткову систему числення, необхідно кожну цифру десяткового числа замінити.

Щоб перекласти число з двійково-десяткової системи числення необхідно спочатку перекласти його у десяткову систему числення, а потім за загальним правилом в іншу систему числення.

Щоб перекласти двійково-десяткове число у десяткову систему числення, необхідно кожні чотири цифри двійкової системи числення замінити однією цифрою десяткової системи числення, для цілої частини, починаючи з молодшого розряду, для дробової - з старшого.

Таблиця кодів

(10)	8-4-2-12	8-4-2-1 (спеціалізована)	8-4-2-1+”3”	8-4-2-1+”6”	Грея
0	0000	0000	0011	0110	0000
1	0001	0001	0100	0111	0001
2	0010	0010	0110	1000	0011
3	0011	0011	0111	1001	0010
4	0100	0100	1000	1010	0110
5	0101	1011	1001	1011	0111
6	0110	1100	1001	1100	0101
7	0111	1101	1010	1101	0100
8	1000	1110	1011	1110	1100
9	1001	1111	1100	1111	1101