Дискретное преобразование Фурье

2. Дискретное преобразование Фурье

В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности

, при k = m+n. (9)

Ряд Фурье может быть представлен в виде

 (10)

где nT (или n) – дискретное время; (2p/N) k – круговая частота w.

Если учесть что x(n)=0 при n<0 то, можно изменить пределы суммирования.

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

 0 £ k £ N‑1 (11)

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:

 0 £ n £ N‑1 (12)

где N – количество отсчетов N=T/Dt+1; T- интервал времени; Dt – шаг дискретности; n – номер отсчета.

Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:

. (13)

Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:

, (14)

где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (N´N) отсчетов базисных функций; W^-1 – обратная W;

 (15)

При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N²умножений и N² сложений.

Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n или по частоте – k.

При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.

Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна

.

 

Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде

.

1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию

2. Определим дискретную корреляционную функцию

Определим дискретную спектральную плотность

4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z‑преобразования, выполнив подстановку z = e^pT.

 

Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию

Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – z_k, их количество и кратность – m

Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции

Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде

Выводы

При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.

Области применения дискретного преобразования Фурье:

дискретный спектральный анализ;

моделирование цифровых фильтров;

распознавание образов;

дискретный анализ речевых сигналов;

исследование дискретных систем управления.

Список использованной литературы

 

1. Шеннон К. Математическая теория связи. – В сб. «Работы по теории информации и кибернетике». М., «Иностранная литература», 1963.

2. Фано К. Передача информации. Статистическая теория связи. М., «Мир», 1965.

3. Балюкевич Э.Л. Элементы теории кодирования. М., МЭСИ, 1976.

4. Стратонович Р.Л. Теория информации. М., «Советское радио», 1975.

5. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. Киев, «Вища школа», 1974.

6. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

7. Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.

8. Гойфман Э.Ш., Лосев Ю.И. Передача информации в АСУ. – М.: Связь, 1976.