Сплайны, финитные функции

Реферат:

«Сплайны. Финитные функции. Основные понятия, назначение. В сплайны Шенберга»

Введение

Функции, подобные тем, что сейчас называют сплайнами были известны математикам давно, начиная как минимум с Эйлера, но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века. В 1946 году Исаак Шёнберг впервые употребил этот термин в качестве обозначения класса полиномиальных сплайнов. До 1960 годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений.

После 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании, что продолжается по сей день.

1. Сплайны

Под сплайном (от англ. spline – планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.

Классический сплайн одной переменной строится так: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1.

Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

 

1.1 Кривые Безье

Кривые Безье́ или Кривые Бернштейна-Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье и Полем де Кастельжо.

Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).

Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.

Определение

Кривая Безье – параметрическая кривая, задаваемая выражением:

(1.1)

где  – функция компонент векторов опорных вершин, а  – базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

(1.2)

, (1.3)

где n – степень полинома, i – порядковый номер опорной вершины

1.2 Виды кривых Безье:

1. Линейные кривые

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P0 и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

(1.4)

2. Квадратичные кривые

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся 3-мя опорными точками: P0, P1 и P2:

(1.5)

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.

3. Кубические кривые

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

 (1.6)

Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2-х или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P0 направляясь к P1 и заканчивается в точке P3 подходя к ней со стороны P2. То есть кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P0 и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.

Рисунок 1 Кубическая кривая Безье

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

, (1.7)

где  называется базисной матрицей Безье:

(1.8)

В современных графических системах, таких как PostScript, Metafont и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

1.3 Построение кривых Безье

1. Линейные кривые

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет где именно на расстоянии от P0 до P1 находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P0 и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P0 и P1.

Рисунок 2 Построение линейной кривой Безье