Навигация
Угорський метод рішення завдань про призначення
10215
знаков
8
таблиц
1
изображение
Контрольна робота
“Угорський метод рішення завдань про призначення”
Зміст
Вступ
1 Постановка завдання
2 Розв’язання завдання
3 Приклад розв’язання задачі за допомогою угорського методу
Висновок
Література
Вступ
Тема контрольної роботи «Угорський метод рішення завдань про призначення».
Мета роботи: навчитися застосовувати угорський метод для рішення завдань про призначення, а саме:
- алгоритм угорського методу;
- завдання вибору.
Угорський метод є одним з найцікавіших і найпоширеніших методів рішення транспортних завдань. Основна ідея цього методу була вперше висловлена угорським математиком Е. Егерварі (звідси й назва методу) задовго до виникнення теорії лінійного програмування.
Розглянемо спочатку основні ідеї угорського методу на прикладі рішення завдання вибору (завдання про призначення), що є окремим випадком Т-задачі, а потім узагальнимо цей метод для довільної Т-задачі.
1 Постановка завдання
Припустимо, що єрізні роботи імеханізми, кожний з яких може виконувати будь-яку роботу, але з неоднаковою ефективністю. Продуктивність кожного i-го механізмупри виконанні j-тої роботипозначимо Cij, і = 1,...,n; j = 1,...,n. Потрібно так розподілити механізми по роботах, щоб сумарний ефект від їхнього використання був максимальний. Таке завдання називається завданням вибору або завданням про призначення.
Формально вона записується так. Необхідно вибрати таку послідовність елементів 
з матриці
щоб сума 
була максимальна й при цьому з кожного рядка й стовпця був обраний тільки один елемент.
2 Розв’язання завдання
Введемо наступні поняття.
Нульові елементиматриці називаються незалежними нулями, якщо для будь-якого Cij рядок і стовпець, на перетинанні яких розташований елемент, не містять інші такі елементи.
Дві прямокутні матриці С и D називаються еквівалентними (C ~ D), якщо Cij ~Dijдля всіх i,j . Завдання про призначення, обумовлені еквівалентними матрицями, є еквівалентними (тобто оптимальні рішення однієї з них будуть оптимальними й для другий, і навпаки). Блок-схема алгоритму угорського методу:
Попередній етап. Розшукують максимальний елемент в j-му стовпці й всі елементи цього стовпця послідовно віднімають із максимального. Цю операцію проробляють над всіма стовпцями матриці С. У результаті утвориться матриця з ненегативними елементами, у кожному стовпці якої є, принаймні, один нуль.
Далі розглядають i-тий рядок отриманої матриці, розшукують її мінімальний елемент і з кожного елемента цього рядка віднімають мінімальний. Цю процедуру повторюють із усіма рядками. У
результаті одержимо матрицю З0 (З0 ~ C), у кожному рядку й стовпці якої є, принаймні, один нуль. Описаний процес перетворення С у С0 називається приведенням матриці.
Знаходимо довільний нуль у першому стовпці й відзначаємо його зірочкою. Потім переглядаємо другий стовпець, і якщо в ньому є нуль, розташований у рядку, де немає нуля із зірочкою, то відзначаємо його зірочкою. Аналогічно переглядаємо один за іншим всі стовпці матриці З0 і відзначаємо, якщо можливо, що випливають нулі знаком '*'. Очевидно, що нулі матриці З0, відзначені зірочкою, є незалежними. На цьому попередній етап закінчується.
(k+1)-а ітерація. Припустимо, що k-та ітерація вже проведена й у результаті отримана матриця Сk. Якщо в ній є рівно n нулів із зірочкою, то процес рішення закінчується. У противному випадку переходимо до (k+1) –ої ітерації.
Кожна ітерація починається першим і закінчується другим етапом. Між ними може кілька разів проводитися пари етапів: третій - перший. Перед початком ітерації знаком '+' виділяють стовпці матриці Сk, які містять нулі із зірочками.
Перший етап. Переглядають невиділені стовпці Сk. Якщо серед них не виявиться нульових елементів, то переходять до третього етапу. Якщо ж невиділений нуль матриці Сk виявлений, то можливо один із двох випадків:
1) рядок, що містить невиділений нуль, містить також і нуль із зірочкою;
2) цей рядок не містить нуля із зірочкою.
У другому випадку переходимо відразу до другого етапу, відзначивши цей нуль штрихом.
У першому випадку цей невиділений нуль відзначають штрихом і виділяють рядок, у якій він утримується (знаком '+' праворуч від рядка). Переглядають цей рядок, знаходять нуль із зірочкою й знищують знак '+' виділення стовпця, у якому втримується даний нуль.
Далі переглядають цей стовпець (який уже став невиділеним) і відшукують у ньому невиділений нуль (або нулі), у якому він перебуває. Цей нуль відзначають штрихом і виділяють рядок, що містить такий нуль (або нулі). Потім переглядають цей рядок, відшукуючи в ній нуль із зірочкою.
Цей процес за кінцеве число кроків закінчується одним з наступних результатів:
1) всі нулі матриці Сk виділені, тобто перебувають у виділених рядках або стовпцях. При цьому переходять до третього етапу;
2) є такий невиділений нуль у рядку, де немає нуля із зірочкою. Тоді переходять до другого етапу, відзначивши цей нуль штрихом.
Другий етап. На цьому етапі будують наступний ланцюжок з нулів матриці Сk: вихідний нуль зі штрихом, нуль із зірочкою, розташований в одному стовпці з першим нулем зі штрихом в одному рядку з попереднім нулем із зірочкою й т.д. Отже, ланцюжок утвориться пересуванням від 0' до 0* по стовпці, від 0* до 0' по рядку й т.д.
Можна довести, що описаний алгоритм побудови ланцюжка однозначний і кінцевий, при цьому ланцюжок завжди починається й закінчується нулем зі штрихом.
Далі над елементами ланцюжка, що знаходяться на непарних місцях ( 0' ) ставимо зірочки, знищуючи їх над парними елементами (0*). Потім знищуємо всі штрихи над елементами Сk і знаки виділення '+'. Кількість незалежних нулів буде збільшено на одиницю. На цьому (k+1)-а ітерація закінчена.
Третій етап. До цього етапу переходять після першого, якщо всі нулі матриці Сk виділені. У такому випадку серед невиділених елементів Сk вибирають мінімальний і позначають його h (h>0). Далі віднімають h із всіх елементів матриці Сk, розташованих у невиділених рядках і додають до всіх елементів, розташованим у виділених стовпцях. У результаті одержують нову матрицю С'k, еквівалентну Сk. Помітимо, що при такому перетворенні, всі нулі із зірочкою матриці Сk залишаються нулями й у С'k, крім того, у ній з'являються нові невиділені нулі. Тому переходять знову до першого етапу. Завершивши перший етап, залежно від його результату або переходять до другого етапу, або знову повертаються до третього етапу.
Після кінцевого числа повторень черговий перший етап обов'язково закінчиться переходом на другий етап. Після його виконання кількість незалежних нулів збільшиться на одиницю й (k+1)-а ітерація буде закінчена.
Похожие работы
... «сподвижників», Петро Могила цим підніс Україну до небувалого культурного розвитку. В цей час Україна почала випромінювати своїми церковними і культурними досягненнями на ввесь православний світ, а насамперед на Молдавію і Волощину. Назагал про Петра Могилу, як особу, знасмо мало, нам доводиться говорити про його творчість; його біографія це частина історії української православної церкви. 4) ...
... Починає розвиватися та набувати радикальних форм націоналізм, серед косовських албанців. Сербська влада намагалася вести боротьбу з ними, але безрезультатно. Албано – сербські протиріччя починають набувати гострих форм, які в майбутньому грозили перетворитися у збройні сутички. РОЗДІЛ 2. ВИНИКНЕННЯ ТА РОЗВИТОК АЛБАНО – СЕРБСЬКИХ ПРОТИРІЧ 2.1 Загострення албано – сербських протиріч, в другій ...
... пошуку. Побудований нами приклад показав, що для рішення задач із вимогою цілочисленності необхідно розглянути особливі методи оптимізації; і, крім того, ми бачимо, що оптимальне рішення задач цілочисленного програмування не обов'язково належить границі багатогранника (багатокутника) умов, що було характерно для задач лінійного програмування. 2. Теоретичні основи методів відсікання Запишемо ...
... блоку, як і, у свою чергу, країни Антанти у передвоєнні роки. Тема 6. Україна на міжнародній арені в період національної революції 1917-1920 рр. (4 год.). 1. Становлення міжнародних відносин України в період Центральної Ради 27 лютого 1917 р. в Росії перемогла Лютнева демократична революція. Влада в Росії перейшла до Тимчасового уряду. 3-4 березня 1917 р. в Києві було організовано ...
0 комментариев