Расчет статической прочности вала

6.2 Расчет статической прочности вала

На основании эпюр можно сделать следующие выводы.

Опасными сечениями для рассматриваемого вала, которые необходимо проверить на прочность, являются сечения: (z = 0), как наименее жесткое при кручении d_В1 = 38 мм, а также сечения (z = a) и (z = a + b), где действуют наибольшие изгибающие моменты.

В сечении (z = 0) находится еще и шпоночный паз, ослабляющий его жесткость. Сечение (z = a), где действует изгибающий момент:

М_а =  = = 25,8 Н·м

И крутящий момент М_z = 34,43 Н·м, находится в сложном напряженном состоянии и при этом имеет диаметр, незначительно превышающий наименьший. В сечении (z = a + b) изгибающий момент достигает величины:

М_{а + b} =  = = 24,5 Н·м

Рассчитаем наибольшие напряжения в опасных сечениях.

В сечении (z = 0) нормальные напряжения от осевых сил и изгибающих моментов равны нулю, касательные напряжения τ_max определяются крутящим моментом

М_z = 34,43 Н·м и полярным моментом сопротивления сечения W_p цилиндрического конца вала со шпоночным пазом, глубиной t₁ = 5 мм.

W_p =  -  =  -  = 10052 мм³

Тогда наибольшие касательные напряжения:

τ_max= М_z / W_p = 34,43 / 10052 · 10^-9 = 3,4 МПа,

а условие прочности вала в сечении (z = 0):

τ_max= 3,4 МПа ≤ [τ]_k = 44 МПа

выполняется.

В сечении (z = a) наибольшие нормальные напряжения определяются величиной изгибающего момента М_а = 25,8 Н·м и моментом сопротивления сечения вала.

W_a =  =  = 12266 мм³

σ_max = М_а / W_a = 25,8 / 12266 · 10^-9 = 2,1 МПа,

а наибольшие касательные напряжения этого сечения с полярным моментом:

W_p =  =  = 24532 мм³, равны:

τ_max= М_z / W_p = 34,43 / 24532 · 10^-9 = 1,4 МПа

В качестве допустимых напряжений на изгиб примем:

[σ] = 0,8 · σ_T = 0,8 · 440 = 352 МПа

При этом условие статической прочности по приведенным напряжениям выполняется.

σ_пр =  = = 3,2 МПа ≤ [σ] = 352 МПа,

В сечении (z = a + b) рассчитаем аналогично, с учетом того, что наибольшие нормальные напряжения определяются величиной изгибающего момента

М_{а + b} = 24,5 Н·м и моментом сопротивления сечения вала (с диаметром шестерни по впадинам):

W_a =  =  = 20670 мм³

σ_max = М_{а + b} / W_a = 24,5 / 20670 · 10^-9 = 1,2 МПа

W_p =  =  = 41340 мм³

τ_max= М_z / W_p = 34,43 / 41340 · 10^-9 = 0,8 МПа

Условие статической прочности по приведенным напряжениям выполняется.

σ_пр =  = = 1,8 МПа ≤ [σ] = 352 МПа,

6.3 Уточненный расчет прочности вала

Определим усталостные характеристики материала вала – шестерни, изготовленной из стали 45 с улучшением (σ_т = 440 МПа, σ_в = 780 МПа). При симметричном цикле (R = -1) имеем:

σ_-1 = 0,43 · σ_в = 0,43 · 780 = 335,4 МПа

τ_-1 = 0,6 · σ_-1 = 0,6 · 335,4 = 201,2 МПа

При пульсационном цикле (R = 0) имеем:

σ₀ = 1,6 · σ_-1 = 1,6 · 335,4 = 536,6 МПа

τ₀ = 1,6 · τ_-1 = 1,6 · 201,2 = 321,9 МПа

Рассчитаем коэффициенты, отражающие соотношение пределов выносливости при симметричном и пульсирующем циклах соответственно изгиба и кручения:

ψ_σ = (2 · σ_-1 - σ₀) / σ₀ = (2 · 335,4 – 536,6) / 536,6 = 0,25

ψ_τ = (2 · τ_-1 - τ₀) / τ₀ = (2 · 201,2 – 321,9) / 321,9 = 0,25

Из графика [3] определим коэффициенты влияния абсолютных размеров:

- в сечении (z = 0) при d_в1 = 38 мм получим ε_σ = ε_τ = 0,82

- в сечении (z = а) при d_п1 = 50 мм получим ε_σ = ε_τ = 0,77.

Зададим коэффициенты шероховатости [3] в зависимости от шероховатости поверхности Ra:

- в сечении (z = 0) при Ra = 1,25 получим k_σⁿ = k_τⁿ = 1,1

- в сечении (z = а) при Ra = 2,5 получим k_σⁿ = k_τⁿ = 1,2.

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определим из графика [1]:

- в сечении (z = 0) для концентратора в виде шпоночного паза имеем эффективные коэффициенты концентрации при изгибе и кручении соответственно

k_σ = 2,3 и k_τ = 2,1.

- в сечении (z = а) для концентратора в виде посадки с гарантированным натягом подшипника на вал имеем:

k_σ / ε_σ = 3,9; k_τ / ε_τ = 1 + 0,6(k_σ / ε_σ – 1) = 1 + 0,6 · 2,9 = 2,74

Примем коэффициент упрочнения в расчетных сечениях равным k_у = 1, поскольку поверхность вала не упрочняется. Рассчитаем коэффициенты перехода:

- для сечения (z = 0):

k_σD = (k_σ / ε_σ + k_σⁿ – 1) / k_у = (2,3 / 0,82 + 1,1 – 1) / 1 = 2,9

k_τD = (k_τ / ε_τ + k_τⁿ – 1) / k_у = (2,1 / 0,82 + 1,1 – 1) / 1 = 2,66

- для сечения (z = a):

k_σD = (k_σ / ε_σ + k_σⁿ – 1) / k_у = (3,9 + 1,2 – 1) / 1 = 4,1

k_τD = (k_τ / ε_τ + k_τⁿ – 1) / k_у = (2,74 + 1,2 – 1) / 1 = 2,94

Определим коэффициенты долговечности k_Сσ и k_Сτ [3]. Для этого рассчитаем эквивалентное число циклов при наибольшем значении показателя степени m = 9:

N_Σ = 60 · n₁ · t_Σ ·  = 60 · 960 · 11600 · (1⁹ · 0,1 + 0,8⁹ · 0,25 + + 0,6⁹ · 0,65) = 5,3 · 10⁶

Коэффициент долговечности: k_Сσ =  = 0,96 < 1, следовательно,

k_Сσ = k_Сτ = 1.

Поскольку вал не испытывает осевой нагрузки, то будем считать, что нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении вала, изменяются по симметричному циклу, т.е. σ_m = 0, амплитуда цикла нормальных напряжений равна наибольшему номинальному напряжению изгиба, соответственно: для сечения (z = 0), σ_a = 0 МПа; для сечения (z = a), σ_a = σ_max = 2,1 МПа

Исходя из неблагоприятных условий примем, что напряжения кручения изменяются по нулевому (пульсирующему) циклу, тогда:

- для сечения (z = 0) τ_а = τ_m = τ_max / 2 = 3,4 / 2 = 1,7 МПа;

- для сечения (z = a) τ_а = τ_m = τ_max / 2 = 1,4 / 2 = 0,7 МПа.

Тогда коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям для сечения

(z = 0):

n_τ = τ_-1 / ((k_τD / k_Сτ) · τ_а + ψ_τ · τ_m) = 201,2 / (2,66 · 1,7 + 0,25 · 1,7) = 40,7

Для сечения (z = a) коэффициент запаса прочности определим по нормальным и касательным напряжениям соответственно:

n_σ = σ_-1 / ((k_σD / k_Сσ) · σ_a + ψ_σ · σ_m) = 335,4 / (4,1 · 2,1) = 39

n_τ = τ_-1 / ((k_τD / k_Сτ) · τ_а + ψ_τ · τ_m) = 201,2 / (2,94 · 0,7 + 0,25 · 0,7) = 90,1

Окончательно получим для сечения (z = a):

n = (n_σ · n_τ) /  = (39 · 90,1) /  = 35,8

Поскольку допускаемые значения коэффициента запаса принимают [n] = 1,5 – 2, то условие достаточной прочности n ≥ [n] выполняется.

 

7 Подбор подшипников качения

Определим ресурс:

Тихоходный вал:

L = (t_Σ · 60 · n) / 10⁶ = (11600 · 60 · 435) / 10⁶ = 302,8 млн. об.

Быстроходный вал:

L = (t_Σ · 60 · n) / 10⁶ = (11600 · 60 · 960) / 10⁶ = 668,2 млн. об.

Подсчитаем эквивалентные нагрузки:

Р = V · R_p · К_б · К_т

V = 1 – вращается внутреннее кольцо;

К_б = 1,3 - 1,5 – коэффициент безопасности;

К_т = 1 – температурный коэффициент;

R_p – силы возникающие в подшипнике.

Для быстроходного вала:

Р = 1 · 1029 · 1,5 · 1 = 1544 Н

Для тихоходного вала:

Р = 1 · 574 · 1,5 · 1 = 861 Н

Динамическая грузоподъемность:

С = Р , где:

а₁ = 1 – коэффициент надежности,

а₂ = 0,7 - 0,8 – обобщенный коэффициент.

Для быстроходного вала:

С = 1544 = 1551 Н

Для тихоходного вала:

С = 861 = 867 Н

Для быстроходного вала: d_п1 = 50 мм, С = 1551 Н, берем подшипник средней серии №310 (С = 61800 Н). [2]

Для тихоходного вала: d_п1 = 35 мм, С = 867 Н, берем подшипник легкой серии №207 (С = 25500 Н). [2]

Список использованной литературы

1.              Курсовое проектирование деталей машин. /Под общ. ред. В. Н. Кудрявцева. – Л.: Машиностроение, 1984. – 400с.

2.              Анурьев В. И. Справочник конструктора – машиностроителя. М.: Машиностроение. 1979. Т. 1-3.

3.              Кудрявцев В. Н. Детали машин. Л.: Машиностроение, 1980. 464 с.

4.              Гжиров Р. И. Краткий справочник конструктора. – Л.: Машиностроение. 1983. – 464 с.