γ-процентний ресурс

1.2 γ-процентний ресурс

γ-процентний ресурс – це напрацювання, на протязі якого об’єкт не досягає граничного стану з заданою ймовірністю γ у процентах. Для об’єкту даного виду із збільшенням γ, величина його γ-процентного ресурсу, зменшується (рис. 1г).

В машинобудуванні прийнято оцінювати ресурс виробів значенням 90 %-го γ-ресурсу (Т_γ=90). Якщо, наприклад, для якогось виробу Т_γ=80 =5000 мото-годин, то це означає, що при випробуванні достатньо великої партії виробів цього виду при напрацюванні 5000 мото-годин. 90% цих виробів ще залишаться в працездатному стані і не будуть вимагати капітального ремонту чи списання, а 10% - до цього напрацювання втратять ресурс.

Перевагою оцінки ресурсу виробу через його γ-процентний ресурс є суттєве скорочення тривалості випробувань для його визначення. Якщо для виявлення закону розподілення ресурсу, для отримання , σ і V необхідно вести спостереження до вичерпання свого ресурсу самим довговічним об’єктом з усієї партії об’єктів, що випробуються, то для визначення, наприклад, 90%-го γ-ресурсу тривалість випробувань буде визначатись втратою ресурсу тільки першими 10% об’єктів (їх напрацюванням до граничного стану).

Для тракторів і їх агрегатів, які пройшли капітальний ремонт, в теперішній час встановлені нормативи на їх 90-ти процентний γ-ресурс. Якість ремонту цих об’єктів, з точки зору їх післяремонтної довговічності, визначається встановленням фактичної величини Т_γ=80 і порівнянням його з нормативним значенням.

1.3 Закони розподілення ресурсу

Ресурс об’єкту як випадкова величина може бути розподілений по одному з законів розподілення, які вивчаються в теорії ймовірності. Найбільш часто ресурс об’єкту розподіляється за нормальним законом, або за законом Вейбулла.

Рис. 2. Функція щільності розподілення ресурсу при нормальному законі розподілення.

1.4 Нормальний закон розподілення ресурсу

Для нормального закону розподілення:

(6)

де f(t) – функція щільності ймовірності (диференціальна функція);

і σ – відповідно середнє значення і середньоквадратичне відхилення;

е – основа натуральних логарифмів (е=2,718...).

Графік функції f(T) показаний на рис. 2. Як видно з графіка, найбільше значення функція буде мати при середньому значенні напрацювання. Чим більше значення випадкової величини напрацювання відрізняються від середнього, тим менша щільність ймовірності відповідає таким значенням.

При цьому діапазон  ± σ охоплює 68,3% усіх значень випадкової величини, діапазон +2σ – 95,4%, а +3σ – 99,7% всіх значень. В практичних розрахунках вважають, що весь діапазон варіацій випадкової величини, яка розподілена по нормальному закону, лежить в межах 6σ (3σ – в бік її збільшення від середнього значення і 3σ – в бік її зменшення від середнього значення).

Рис.3. Щільність розподілення ресурсу f(t) і інтегральний закон розподілення F(t). P(t) – ймовірність того, що ресурс перевищує задане напрацювання t.

Відома функція щільності ймовірності дозволяє визначити інтегральний закон розподілення випадкової величини. На рис.3, крім функції щільності розподілення ресурсу виробу, зображений інтегральний закон розподілення ресурсу цього виробу (суцільна крива нижнього графіка).

На нижньому графіку по вісі ординат відкладена величина F(t) – ймовірність того, що ресурс менше заданого напрацювання t. На дільниці від 0 до t=t₁ ймовірність цієї події (ресурс виробу менше заданого напрацювання t) дорівнює нулю, оскільки до напрацювання t=t₁ усі вироби зберігають свій ресурс; до моменту напрацювання t₃ всі вироби досягнуть граничного стану, при цьому F(t₃)=1; до напрацювання t₂ допрацює тільки половина виробів, при цьому F(t₂)=0,5.

Для побудови нижнього графіка необхідно визначити на верхньому графіку площу між віссю абсцис і графіком функції щільності розподілення для кожного напрацювання (заштрихована на рисунку площа) і її значення відкласти як ординату нижнього графіка. Тобто:

(7)

Для нормального закону розподілення:

 (8)

Інтеграл не береться. При σ=1 і =0 він приводиться до вигляду:

(9)

Інтеграл в отриманому виразі не описується через елементарні функції, але його можна обчислити через спеціальну функцію, яка виражає інтеграл від виразу , для якого складені таблиці.

При цьому можна записати, що:

F(t)=Фо, (10)

де Фо(t) – центрована функція ЗНР при σ=1 і =0 . Значення цієї центрової функції наведені в таблиці 3.

1.5 Розподілення ресурсу за законом Вейбулла

 

Функція щільності ймовірності ресурсу, який має розподілення за законом Вейбулла, описується виразом:

при Т≤с f(T)=0; при Т>с

(11)

де а, b і с – постійні величини, параметри закону розподілення Вейбулла.

При b=1 розподілення називається експоненційним. Для цього розподілення:

при Т>с f(T)=. (12)

При с = 0 трипараметричний закон розподілення Вейбулла становиться двохпараметричним. Для нього:

(13)

Інтегральний закон розподілення ресурсу (функцію F(T)), якщо він розподілений за законом Вейбулла, знаходять за формулою:

при Т≤с F(T)=0; при Т>с

(14)

Для визначення параметрів закону розподілення Вейбулла за результатами завершених експлуатаційних випробувань необхідно:

–          за параметр с прийняти значення ресурсу найменш довговічного виробу;

–          обробкою результатів випробувань визначити середнє значення ресурсу, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації;

–          користуючись таблицею 4 “ Параметри і коефіцієнти закону розподілення Вейбулла [1 ], виходячи з отриманого коефіцієнта варіації V, визначають параметр b і коефіцієнти К_b і С_b;

Рис.4. Функція щільності розподілення ресурсу при:

1 – розподілення по закону Вейбулла;

2 – експоненціальному розподіленні.

–          параметр а визначають за залежністю:

(15)

–           значення середнього ресурсу уточнюють за формулою:

 (16)

Графік щільності розподілення ресурсу за законом Вейбулла і за експоненційним законом показаний на рис.4. Спостереження свідчать, що ресурс складних об’єктів, які ремонтуються в процесі експлуатації має, як правило, нормальний закон розподілення; ресурс невідновлюваних об’єктів (які працюють до першої відмови і після чого вони замінюються новими), розподіляється за законом Вейбулла.

1.6 Визначення закону розподілення ресурсу

При визначенні закону розподілення ресурсу дані випробувань групують за інтервалами напрацювання і підраховують кількість випадків попадання ресурсу в кожний інтервал. Далі, по вибраному теоретичному закону розподілення, визначають теоретичну ймовірність ресурсу для кожного інтервалу напрацювання і теоретичне число попадання ресурсу в кожний інтервал.

Відповідність експериментальних даних певному теоретичному закону розподілення можна перевірити за критерієм згоди Персона х². В цьому випадку знаходять міру розходження х² між дослідним (емпіричним) і теоретичним розподіленнями за формулою:

(17)

де к – кількість інтервалів статистичного ряду;

n₁ – кількість випадків попадання ресурсу в і-ий інтервал за даними випробувань;

Р_і – теоретична ймовірність попадання ресурсу в і-ий інтервал;

N – число об’єктів, які приймали участь у випробуванні.

Додаток N·Р_і в наведеній формулі (17) є теоретичним числом випадків попадання ресурсу в і-ий інтервал.

Після розрахунків значення х², по таблиці 9 [1 ] з врахуванням кількості прийнятих інтервалів групування і виду прийнятого теоретичного закону розподілення визначають ймовірність дослідних і теоретичних даних.

Критичною ймовірністю збігу прийнято вважати ймовірність, яка більше 0,1. Якщо ж ймовірність збігу менше 0,1 , то отримане в результаті випробувань розподілення ресурсу не відповідає вибраному теоретичному закону. Ймовірність збігу, більша 0,1 свідчить про те, що вибраний теоретичний закон не суперечить дослідному розподіленню.

При такій перевірці слід врахувати, що навіть велика ймовірність збігу не гарантує того, що вибраний теоретичний закон найкращим чином описує отримане шляхом випробувань розподілення ресурсу. При цьому отримане дослідне розподілення ресурсу необхідно перевірити на відповідність декільком теоретичним законам розподілення. Після такої перевірки приймають той теоретичний закон, який відповідає максимальній ймовірності збігу.