Основні фізичні процеси в оптичних лініях зв’язку

ОСНОВНІ ФІЗИЧНІ ПРОЦЕСИ В ОПТИЧНИХ ЛІНІЯХ ЗВ’ЯЗКУ

1. Розповсюдження електромагнітних хвиль в оптичних волокнах

Модель розповсюдження світла крізь обмежену структуру подібну до оптичного волокна в термінах геометричних променів представляє тільки приблизний опис ефектів розповсюдження в них. Цей підхід добре діє поки характерний розмір поперечного перетину волокна як діаметр серцевини (2а, де а-радіус серцевини) великий у порівнянні з довжиною хвилі (l), що розповсюджується в волокні, і відносна різниця індексів серцевини і оболонки не надто мала. Фактично, як а, так і D можуть бути з'єднані разом з l, щоб створити комплексний параметр, що називається нормалiзованою частотою (V-числом) волокна, що визначається, як

. (1)

Якщо число V-волокна більше 10, результати геометричної оптики, основаної на променевих траєкторіях, приводять до точних рішень для багатьох ефектів розповсюдження в оптичних волокнах. Для V£10, геометрична оптика не в змозі пояснити ефекти розповсюдження в волокнах, що й вимагає здійснити електромагнiтний аналіз, оснований на хвильовій оптиці, щоб дослідити ефекти розповсюдження. Для одержання загальної основи, що могла б бути застосована для будь-якого волоконного хвильоводу з довільним числом V, починають з рівняння Максвела і відтворюють так звані векторні хвильові рівняння [5, 6], що задовольняють електричному () та магнiтному () полю векторів світлової хвилі:

, (2)

,  (3)

де e=e₀n², e₀ є значенням e для вільного простору, n - показник заломлення, ε - діелектрична проникність волокна і m₀ - магнитна проникність для вільного простору, що по значенню така як і в волокні, при припущенні, що волокно не є немагнетиком. Перша форма розподілу індексу заломлення, запропонована для оптичного волокна, являє собою профiль, в якому поза серцевиною з показником заломлення n₁ (діаметр 2а) знаходиться однорідна оболонка з показником заломлення n₂; так, що можна алгебраїчно представити профіль показника заломлення (ППЗ) як:

. (4)

Волокна з профілем, аналогічним (4) відомі як волокна зі східчастим ППЗ. Для такого однорідного середовища член V_e дорівнюватиметься 0 як в серцевині, так і в оболонці, і в кожній з цих областей кожна декартовська компонента електричного та магнiтного поля буде задовольняти рівнянню

. (5)

Воно відоме як скалярне хвильове рівняння, де Y представляє будь-яку з декартовських компонент полів  та . Оскільки n є незалежним від z, рішення рівняння може, взагалі, бути записано так:

Y(r,j,z,t)=y(r,j)exp( i [wt-bz]), (6)

де напрямок розповсюдження - уздовж z, і b - поширена стала розповсюдження. Рівняння (6) допускає два вигляду рішень в (5) - перше, в якому поле експоненціальне зменшується з r, при якому r>а і осцилює всередині серцевини (r<a): друге рішення допускає осцилюючі хвилі при всіх величинах r. Ми незабаром побачимо, що перший тип рішення допускає дискретні значення b, відомий як направлені моди волокна, другий – відомий як радіаційні моди, що характеризуються континуумом b. Формально, направлена мода визначається як певний розподіл поля, що поширюється в хвильоводі з певним станом поляризації і групової швидкості v_г=1/(db/dw) без яких-небудь змін в періоді цього розподілення. Будучи залежним від своєї геометрії і фізичних властивостей, волокно може підтримувати цілий ряд мод або тільки одну моду - в першому випадку його можна назвати багатомодовим волокном, в другому - одномодовим або мономодовим волокном. Фактично, довільно падаюче поле на вхідному кінці волокна може бути завжди записано як

. (7)

В (7)  – представляє суму дискретних направлених мод, тоді як інтеграл - безрозмірна сукупність радіаційних мод. Реальні значення b_P будуть визначатися граничними умовами.

Ми можемо згадати, що в якісних волокнах телекомунікації відносна різниця показника заломлення оболонка-серцевина звичайно ніколи не перевищує 1-2%. Такі волокна що мають D<<1 відомі як напрямні волокна. Побічним продуктом цієї умови (яка має практичний зміст) - те, що моди в таких волокнах є (що можна продемонструвати) майже лінійно поляризованими і мають поперечну компоненту поля Y, що лежить майже повністю вздовж y або x, з порівняно дуже малою поздовжньою компонентою. Далі, так як різниця індексу заломлення є малою, можна припустити, що Y і ¶Y/¶r є безперервними поперечно r=a.

Так як для східчастого волокна, і залежить від r і лише від нього, тобто є цилiндрично симетричним, (5) записують в цилiндричнiй системі координат

, (8)

де  – хвильове число вільного простору.

Застосовуючи засіб розділення перемінних, тобто записуючи

, (9)

Рівняння (9) може бути вирішене окремо для своєї радіальної та азимутальної компонент. Азимутальна компонента може бути представлена

F(j)~exp(± i l j ), (10)

де l=0, 1, 2, 3... Радіальна частина Y задовольнить таким рівнянням

, r<a, (11)

, r³a. (12)

Рівняння (11), (12) - стандартна форма рівнянь Бесселя, які допускають чотири різноманітних типи циліндричних функцій: J₁(x), Y₁(x),та K₁(x), I₁(x) відповідно. Проте для полів мод кінцевих та обмежувальних серцевин і експоненціальне загасаючих в оболонці, можна обрати функцію Бесселя J₁(x), як поширення (11) всередині серцевини і модифіковану функцію Бесселя K₁(x), як рішення (12) всередині оболонки. Відповідно, рішення (11) і (12) можуть бути записані як:

, (13)

де і  такі, що

 (див. (2.1)). (14)

В записі (13) була використана безперервність Y, та E_Y була обрана як домінантна поперечна компонента електричного поля, тоді як при D<<1 моди поляризовані майже лінійно. Для великих реальних значень аргументу, J₁(w_r/a) зменшується монотонно. Тобто ці функції точно відповідають вимогам (13) для подання направлених мод волокна. Тобто, як U, так і W повинні бути матеріальними і позитивними для напрямних мод, визначаючи, що для напрямної моди її власне b повинно задовольняти умові

. (15)

Тепер, як уже встановлено D<<1, поперечна компонента поля Y буде лежати майже повністю вздовж Y або X, так що єдиними ненульовими компонентами поля для модального рішення (13) будуть E_Y, E_Z, H_X, H_Z з яких, як можна показати, граничні компоненти E_Z та H_Z багато менше, ніж поперечні компоненти E_Y та H_X при малому D. Якщо E_X обрана як домінантна поперечна компонента поля, тоді ненульовими компонентами поля, що будуть формувати поле моди, будуть: E_X, E_Z, H_Z, H_Y. Відповідно, моди в слабко направлених структурах, як відомо, є лінійно поляризованими і позначаються як LP_lm-моди. З безперервності dE_Y/dr при r=a, витікає:

, (16)

де (') - позначає диференціювання циліндричних функцій по їх аргументу. Використовуючи рекурентні рівняння, регулюючі функції Бесселя, і модифіковані функції Бесселя, як можна показати, зводиться до:

. (17)

Рівняння (17) - трансцендентальне рівняння, рішення якого в межах діапазону зазначеного (15) будуть визначати дискретні постійні поширення для різноманітних направлених мод.

Тут треба визначити, що при більш точному наближенні слідувало б вирішити (5) в циліндричних полярних координатах для y (=E_Z) і одержати E_r (та H_r) і E_j (також і H_j) через E_Z і H_Z із замкнутих рівнянь Максвела шляхом переписання їх компонентів в циліндричних координатах. Після цього, вважаючи безперервність E_Z(H_Z) та E_j(H_j), які є тангенціальними компонентами, при заміні (16), результат в наступному трансцендентальному рівнянні для b був би:

, (18)

де (') - диференціювання по аргументу функцій. Такий висновок (18) не включає будь-яких наближень в собі. Проте, якщо застосовуються слабко направлені умови, а саме D<<1 та n₁~n₂, тоді (17) спрощується, (після застосування рекурентних рівнянь як  в рівнянні (17)), таким чином підтверджуючи наші більш ранні припущення про те, що в слабко направлених волокнах моди практично лінійно поляризовані з електричним полем вздовж осей X та Y. Рівняння (17) - апроксимована форма точного рівняння (18) для певних постійних поширення різноманітних мод за умови D<<1, як було показано, є в межах 1% для D<0.01 і в межах 10% для 0.01<D<0.25.