Обратное дискретное преобразование Лапласа

Предмет: Теория Автоматического Управления

Тема: Обратное дискретное преобразование Лапласа

1. Обратное дискретное преобразование Лапласа

Решетчатая функция – это результат временного квантования непрерывного сигнала – которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени. Решетчатая функция получается перемножением непрерывной функции на сигма-функцию. Ее можно определить по ее изображению, используя различные способы:

1.  С помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа.

2.  С помощью разложения на простые дроби.

3.  С помощью разложения в степенной ряд.

В данном реферате мы рассмотрим обратное дискретного преобразование Лапласа.

2. Определение оригинала с помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа

Для непрерывных оригиналов обратное преобразование Лапласа имеет вид:

 (1)

Для нахождения формул обратного дискретного преобразования Лапласа установим связь между плоскостями p и z. Отображение плоскости P в плоскость Z осуществляется с помощью подстановки z = e^pT.

Так как p = c+jw, то z = e^pT = e^cTe ^jwT, где e^cT- модуль z, а wT- фаза z.

Если с = 0, то

  .

Соответствие между плоскостями p и z отображено на рис. 3.

  z = e ^pT

Рис. 1

Точки на мнимой оси дискретной плоскости будут повторяться, поэтому на плоскости можно выделить бесконечное множество полос с шириной w_п (0.. w_п , w_п ..2w_п и т. д.), которые дают одно и тоже изображение в плоскости Z_. Корни в плоскости P являются периодическими, повторяющимися и заключены в любую из полос. Если С > 0, что соответствует правой полуплоскости, то амплитуда z > 1.

Интегрировать можно по частотам расположенным в любой из полос, считая ее как основную, а значения интеграла в других полосах просуммировать. Для удобства интегрирования в качестве основной полосы принимаем полосу частот от -w_п /2 до w_п/

При переходе в плоскость Z интегрирование осуществляется по замкнутому контуру.

Пример 7. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и

кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

 

Т. е. заданному изображению соответствует единичная функция.

Пример 8. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и

кратность m =

Определяем оригинал, используя формулу обратного дискретного преобразования

Пример 9. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид

 

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и кратность m = Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

Пример 10. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

 Решение: Определяем значения полюсов z₁ = d, их количество n = 1 и

кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

 

Пример 11. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

  

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, z₂ = d, их количество

n = 2 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

 

Пример 1 Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

 

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = d их количество n = 1 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал