Суперпозиція хвиль

РЕФЕРАТ

 

на тему:”Суперпозиція хвиль”

План

 

1. Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість

2. Інтерференція хвиль

3. Стоячі хвилі

1. Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість

 

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.

При поширенні декількох хвиль в лінійному середовищі, тобто середовищі де властивості хвиль не змінюються під дією різних збурень створюваних хвилями, кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинок середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які одержують частинки, беручи участь у кожному окремому хвильовому процесі.

Виходячи з принципу суперпозиції будь-яка хвиля може бути подана у вигляді системи синусоїдальних хвиль, тобто у вигляді хвильового пакета, або групи хвиль.

Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотою, і займають в кожен момент часу обмежену область простору.

«Виготовимо» найпростіший хвильовий пакет із двох хвиль, які поширюються уздовж осі х з однаковими амплітудами і близькими частотами і відповідно хвильовими числами. Нехай  і . Тоді

 (1)

Хвиля (1) не є синусоїдальною, тому що її амплітуда повільно змінюється в залежності від координати х і часу t

. (2)

За швидкість поширення цієї не синусоїдальної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, вважаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, коли , одержимо

 (3)

Швидкість u є груповою швидкістю. Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.

Знайдемо зв’язок між груповою й фазовою швидкостями хвиль. У формулу (3) підставимо значення циклічної частоти ω, вираженої через хвильове число к і фазову швидкість υ, тобто

або

 (4)

При виведенні (4) враховано що  і .

Аналізуючи формулу (4) можна зробити висновок, що групова швидкість може бути і меншою і більшою фазової швидкості. Все залежить від знаку похідної .

У середовищі, в якому фазова швидкість не залежить від довжини хвилі, групова швидкість збігається з фазовою швидкістю.

Поняття групової швидкості дуже важливе, тому що саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, у системах керування космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова швидкість , у той час як для фазової швидкості обмежень не існує.

 

2. Інтерференція хвиль

Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов'язується з поняттям когерентності.

Дві хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладення двох плоских хвиль, які випромінюються точковими джерелами S₁ і S₂ (рис.1) з амплітудами А₁ і А₂, частотами ω₁ і ω₂, хвильовими числами к₁і к₂.

Рис. 1

Точкові джерела S₁ і S₂ випромінюють в напрямі точки М плоскі хвилі, рівняння яких мають вигляд

 (5)

де r₁ і r₂ – відстані від джерел хвиль до точки М; к₁ і к₂ – хвильові числа; φ₁ і φ₂ – початкові фази обох хвиль; ω₁ і ω₂ – циклічні частоти хвиль.

Результуючу амплітуду при накладанні двох однаково направлених хвиль (5) знаходимо графічним методом (з допомогою векторної діаграми)

. (6)

Окремі випадки:

1.  Нехай ω₁≠ ω₂, к₁≠к₂, φ₁≠φ₂.

В цьому випадку жодна складова правої сторони рівняння (6) не дорівнює нулю, а тому можна визначити лише середнє значення результуючої амплітуди. Оскільки середнє значення косинуса за час в один період дорівнює нулю, то

 (7)

Рівняння (7) показує, що в цьому випадку в точці М відбувається просте додавання інтенсивностей (I ~ A²)

2.  Нехай ω₁ = ω₂, к₁=к₂, φ₁= φ₂, A₁ = A₂ = A₀.

В цьому випадку рівняння (7) матиме вигляд

. (8)

Вираз під функцією косинуса в рівнянні (8) не залежить від часу, а тому не підлягає усередненню. Результуюча інтенсивність при накладанні двох хвиль в цьому випадку буде дорівнювати

 (9)

Рівність (9) показує, що розподіл інтенсивності при накладанні двох хвиль з рівними циклічними частотами, хвильовими числами й початковими фазами в різних точках простору буде різною. Такі хвилі називаються когерентними, а явище називається інтерференцією.

Проведемо аналіз співвідношення (9).

1. Якщо кΔr =± 2nπ, де n = 1, 2, 3, … і к =  ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати

. (10)

Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число хвиль, то при їх накладанні інтенсивність зростає в 4 рази. Ця умова є умовою максимумів інтерференції, тобто

, де n = 0, 1, 2, 3, … ─ умова максимумів інтерференції.

2. Якщо кΔr = ± (2n +1), де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати

 (11)

Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається непарне число півхвиль, то при їх накладанні результуюча інтенсивність буде дорівнювати нулю. Ця умова є умовою мінімумів інтерференції, тобто

Δr= ±(2n+1), де n=0, 1, 2, 3,… ─ умова мінімумів інтерференції.