Теорема Остроградського-Гаусса, потенціальний характер електростатичного поля та діелектрики в електричному полі

План

лекції з навчальної дисципліни

Ф І З И К А

 

Тема: "ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСЬКОГО-ГАУССА"

Вступ

Обчислення напруженості поля системи електричних зарядів з допомогою принципу суперпозиції електростатичних полів можливо значно спростити, використовуючи вивчену німецьким ученим К. Гауссом теорему, що визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню (загальне визначення потоку для будь-якого вектора було дано Полтавським математиком Остроградським).

На основі теореми розраховується електричне поле для заряджених тіл, що мають симетрію.

 

Поняття потоку вектора електричного зміщення

Нехай в однорідному електричному полі розміщена площина DS так, що вектор зміщення  утворює з нормаллю  кут a (рис. 1).

Рис. 1

Потоком вектора зміщення називається добуток нормальної складової цього вектора (поверхні) і величини площадки

але , тому маємо  або .

Якщо поле неоднорідне, то поверхнею розбивають на нескінченно малі ділянки.

Тоді .

А потік через всю довільну поверхню визначиться

Теорема Гауса-Остроградського і її застосування для розрахунку електричних полів

Спочатку розрахуємо потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню радіусом r.

Рис. 2

Потік вважається додатнім; якщо лінії напруженості виходять із поверхності і від’ємним для ліній, що входить у поверхню. Напруженість поля в точках сферичної поверхні стала по величині дорівнює:

Вектори напруженості поля у всіх точках співпадають з напрямком нормалі.

Тому потік вектора напруженості через сферичну поверхню дорівнює

Підставимо значення Е і S.

;

Таким чином потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню пропорційний q.

Цей висновок узагальнюється теоремою Гауса – Остроградського на будь-яку систему зарядів, оточених довільно замкненою поверхнею.

Теорема. Потік вектора електричної напруженості через будь-яку замкнену поверхню пропорційний алгебраїчній сумі зарядів, охоплюваних цією поверхнею.

Наприклад. Заряди , оточені довільною замкнутою поверхнею.

Рис. 3

Як бачимо з рисунку 3 заряди  і  створюють додатки потоку, а  від’ємний потік через замкнуту поверхню: тому повний потік вектора напруженості через цю поверхню дорівнює

.

Заряд , що знаходиться поза замкнутою поверхнею потоку через неї не створює.

У загальному випадку теорема Остроградського – Гауса запишеться:

Вектор зміщення в точках сферичної поверхні має вираз:

,

а його потік через цю поверхню дорівнює:

; .

Для вектора зміщення теорема Гауса – Остроградського формулюється: потік вектора зміщення через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею:

В системі СІ потік вектора зміщення вимірюється в Кл.

Із теореми Гауса маємо ряд наслідків:

1) Лінії напруженості починаються на позитивних і закінчуються на негативних зарядах.

2) Повний потік вектора зміщення через поверхню, що охоплює систему зарядів алгебраїчна сума яких дорівнює нулю.

3) Якщо замкнута поверхня не охоплює електричні заряди, то потік через неї дорівнює нулю, число ліній напруженості, що входять дорівнює числу ліній напруженості, що виходять:

а) Поле рівномірно зарядженої нескінченої пластини.

Хай пластинка заряджена позитивно з поверхневою густиною

Із симетрії поля випливає, що лінії напруженості перпендикулярні до пластинки (рис. 4).

Рис. 4

Вибираємо довільно точку А і симетричну їй . Проводимо циліндричну поверхню так, щоб в основах її знаходились точки А і , а лінії напруженості були паралельні твірним.

Тоді потік через бокову поверхню дорівнюватиме О. Повний потік буде дорівнювати сумі потоків через основи

Заряд, що охоплюється циліндричною поверхнею дорівнює s×DS.

Використовуючи теорему Гауса одержимо:

,

.

Напруженість поля в кожній точці простору незалежно від відстані від рівномірно зарядженої нескінченної пластини однакова, електричне поле – однорідне.

Б) Напруженість поля 2-х паралельних різнойменно заряджених нескінчених пластин з однаковою поверхневою густиною зарядів s (принцип суперпозиції):

Рис. 5

В) Поле зарядженої сферичної поверхні радіуса R і зарядом q має центральну симетрію (рис. 6).

 

Рис. 6

Лінії напруженості радіальні. Якщо радіус замкнутої сферичної поверхні  (центри співпадають), то усередині неї заряд відсутній, тому в наслідок теореми Остроградського – Гауса електричне поле відсутнє (E = 0); якщо r>R, то усередині замкнутої поверхні радіуса r знаходиться повний заряд q, що створює поле. За теоремою Гауса:

.

Звідки .

Отже, поза зарядженою сферою поле також розміщеного в центрі сфери.

Г). Поле зарядженої нескінченої циліндричної поверхні з лінійною густиною заряду

.

Рис. 7

Із симетрії поля випливає, що лінії напруженості будуть радіальними прямими, перпендикулярними поверхні циліндра.

Із теореми Гауса випливає, що поле усередині (спільна вісь) циліндричної поверхні при  дорівнює 0.

Для розрахунку поля поза поверхнею при r>R проведемо циліндричну поверхню радіуса r з довжиною твірної l.

Потік через основи цієї поверхні дорівнює 0. Повний потік дорівнює потоку через бічну поверхню.

На підставі теореми Гауса запишемо:

Висновки

Таким чином ми бачимо, що теорема Гауса дозволяє легко й швидко розраховувати поля в практично важливих випадках. Поле двох заряджених пластин являє собою поле плоского конденсатора. Поле зарядженої циліндричної поверхні здійснюється в полі циліндричного конденсатора електричного кабеля і т.д.

План

лекції з навчальної дисципліни

Ф І З И К А

 

Тема: "ПОТЕНЦІАЛЬНИЙ ХАРАКТЕР ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ"

Вступ

Система заряджених тіл, між якими діють центральні кулонівські сили, має запас енергії взаємодії між тілами, яку називають потенціальною.

Під дією кулонівських сил заряджені тіла рухаються з прискоренням і їх кінетична енергія замкнутої системи збільшується лише тоді, коли потенціальна зменшується (і навпаки).

Електростатичне поле створене системою заряджених тіл являється потенціальним. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля дорівнює нулю.

Крім силової векторної характеристики поля – напруженості для кожної точки поля існує скалярна енергетична характеристика – потенціальна. Між ними існує зв’язок.

Потенціальний характер електростатичного поля. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля

Під час переміщення заряду під дією електростатичного поля виконується робота. Знайдемо роботу, яка виконується під час переміщення точкового заряду  із точки А в точку В у полі точкового заряду q.

Рис. 1

На заряд  з боку q діє кулонівська сила

,

яка залежить від відстані.

Для знаходження роботи розіб’ємо весь шлях АВ на елементарні ділянки dl, де силу можна вважати сталою. Тоді елементарна робота на dl

,

де a – кут між напрямком сили і напрямком переміщення:

 (по рис.).

Зміна відстані заряду  від ;

Тому .

Повна робота на всьому шляху знайдеться при інтегруванні від  до .

.

Отож, з цієї роботи можна зробити висновки:

1. Робота по переміщенню заряду в електростатичному полі не залежить від форми траєкторії руху і визначається тільки кінцевим () і початковим () положенням заряду, (а також від величин зарядів  і q і діелектричної проникності e). Поля з такими властивостями називаються потенціальними (консервативними). Так чином електростатичне поле – потенціальне.