Якщо шлях замкнутій траєкторії можна визначити

1.  Якщо шлях замкнутій траєкторії можна визначити

,

 – елементарна переміщення.

За означенням

.

Тоді .

Таким чином .

Інтеграл по замкнутому контуру  називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля.

Силове поле, циркуляція силового вектора якого дорівнює 0, називається потенціальним, консервативним. Таким чином, електростатичне поле потенціальне.

Потенціал. Різниця потенціалів

За законом збереження енергії робота в електростатичному полі виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії зарядженого тіла.

При переміщенні заряду  в електростатичному полі заряду q виконується робота:

,

яка дорівнює

.

Якщо заряд  переміщується в нескінченність

тоді

; .

Потенціальна енергія заряду на нескінченості вважається рівною 0.

Таким чином заряд  в електростатичному полі заряду q на відстані r від нього має потенціальну енергію (в системі СІ):

.

Для різних пробних зарядів і т.д. в одній і тій де точці поля (r = const) потенціальна енергія різна  і т.д., але відношення потенціальної енергії до відповідних зарядів одне й те саме.

.

Це відношення характеризує певну точку поля називається потенціалом і позначається j.

Потенціалом електростатичного поля в будь-якій його точці називається фізична величина, що дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, розміщеного в цій точці. ().

А також потенціал можна визначити:

Фізична величина, що дорівнює роботі виконуючій силі поля при переміщенні одиничного позитивного заряду із даної точки поля на нескінченність: .

Очевидно, що ця робота в числовому виразі дорівнює роботі зовнішніх сил проти сил електростатичного поля при переміщенні одиничного позитивного заряду із нескінченності в дану точку поля.

На практиці зручніше приймати рівним 0 потенціал Землі.

Це можливо тому, що при будь-яких розрахунках важливо знати різницю потенціалів між двома точками електростатичного поля, а на їх абсолютне значення.

За одиницю потенціалу в системі СІ приймається В (вольт). Потенціал в один вольт має точка поля, в якій заряд в один кулон має потенціальну енергію в 1 джоуль.

.

Потенціал точкового заряду має вираз:

.

Тоді робота по переміщенню заряду  в електростатичному полі заряду q із точки потенціалом  в точку з потенціалом  визначається

, або

Таким чином, робота сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду дорівнює добутку величини цього заряду на різницю потенціалів в початковій і кінцевій точках траєкторії:

,

тому різниця потенціалів двох точок електростатичного поля ( вимірюється роботою сил при переміщенні одиничного позитивного заряду між цими точками.

Потенціал, за визначенням, енергетична характеристика електростатичного поля; величина алгебраїчна (скалярна).

Потенціал електростатичного поля системи зарядів в будь-якій точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів кожного точкового заряду.

.

В цьому суттєва перевага скалярної характеристики поля (потенціалу) перед його векторною силовою характеристикою (напруженістю), що дорівнює геометричній сумі складених напруженостей.

Еквіпотенціальні поверхні

Для графічного зображення потенціального поля крім силових ліній використовуються так звані еквіпотенціальні поверхні.

Еквіпотенціальною поверхнею називається геометричне місце точок з однаковим потенціалом (поверхня рівного потенціалу).

Якщо потенціал заданий як функція j(X, Y, Z) то рівняння еквіпотенціальної поверхні має вигляд:

Під час переміщення заряду по еквіпотенціальній поверхні робота дорівнює нулю.

.

Тому cosa = 0, , а сила F перпендикулярна еквіпотенціальним поверхням, тому силові лінії поля перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням.

Еквіпотенціальну поверхню можна провести через будь-яку точку поля. Отже їх можна побудувати безліч.

Умовились проводити ці поверхні таким чином, щоб різниця потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенціальними поверхнями була сталою. На рис. 2 зображені еквіпотенціальні поверхні поля точкового заряду у перерізі. Радіальні силові лінії перпендикулярні еквіпотенціальним концентричним сферичним поверхням. Картина поля є наглядною.

Рис. 2

В однорідному полі еквіпотенціальні поверхні мають вигляд паралельних площин.

Зв’язок потенціалу з напруженістю поля

Напруженість поля визначається силою, що діє на одиничний позитивний заряд, а різниця потенціалів – роботою цієї ж сили, то між напруженістю і потенціалом існує зв’язок.

Визначимо її.

Рис. 3

На рис. 3 зображені еквіпотенціальні поверхні довільного поля з потенціалами j і j + Dj.

Відстань між еквіпотенціальними поверхнями вздовж силової лінії – DX.

Будемо вважати, що напруженість на ділянці DX – стала. Тоді робота по переміщенню деякого заряду q на DX дорівнює

З другого боку цю ж роботу можливо виразити через різницю потенціалів.

Або

.

Таким чином напруженість поля у числовому виразі дорівнює зміні потенціалу на одиницю довжини вздовж силової лінії.

Знак «– «показує, що напруженість поля спрямована в бік зміщення потенціалу. В системі СІ за одиницю напруженості приймається напруженість такого поля, в якому напруга на один метр довжини силової лінії дорівнює 1 В.

Величина  показує швидкість зміни потенціалу в напрямку, перпендикулярному до еквіпотенціальної поверхності в бік його збільшення, називається градієнтом потенціалу. В загальному випадку позначається qradj.

Градієнтом потенціалу називається вектор спрямований в кожній точці поля в бік найбільш швидкого збільшення потенціалу і рівний зміні потенціалу на одиницю довжини у цього напрямку.

В неоднорідному полі DX®0, тоді

.

Отож, одержуємо

 або

Таким чином, напруженість в будь-якій точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому із зворотнім знаком.

 

Висновки

1. Електростатичне поле має особливі властивості, являється потенціальним на відміну від електромагнітного поля.

2. Потенціал це енергетична характеристика поля, являється на відміну від векторної силової характеристики. В цьому його суттєва перевага для розрахунку поля, що здійснюється системою зарядів.

3. Для графічного зображення потенціального поля використовуються еквіпотенціальні поверхні крім силових ліній, які їм перпендикулярні. Отож картина поля являється наглядною.

4. Градієнт потенціалу спрямований в кожній точці поля в бік найбільш швидкого збільшення потенціалу. Напруженість будь-якої точки електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому із зворотнім знаком.

План

лекції з навчальної дисципліни

Ф І З И К А

 

Тема: "ДІЕЛЕКТРИКИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ"

Вступ

Якщо провідник розмістити у зовнішньому електростатичному полі або надати йому деякий заряд, то на заряди провідника діятиме електростатичне поле, внаслідок чого вони переміщуються.

Короткочасний струм припиниться, коли настане рівновага зарядів у провіднику, а електростатичне поле усередині провідника буде відсутнім.

Якщо між різнойменно зарядженими пластинами розташований однорідний ізотропний діелектрик, то характеристики поля змінюються.

Поверхневий заряд поляризованого діелектрика створює поле, вектор напруженості якого напрямлений протилежно вектору напруженості зовнішнього поля і зменшує його порівняно з вакуумом e (діелектрична проникність) разів.

Діелектрики в електричному полі. Полярні і неполярні діелектрики. Поляризація діелектриків

В діелектриках всі електрони міцно зв’язані з ядрами своїх атомів. Тому в діелектриках немає вільних електронів. І вони, на відміну від металів, не проводять електричний струм.

Властивості діелектриків пояснюються їх будовою. Дослід доказує, що існує два типи молекул, що розрізняються своєю поведінкою в електричному полі. В молекулах першого типу електрони розміщені симетрично навколо ядер. В таких молекулах центри ваги додатних і від’ємних зарядів у відсутності зовнішнього поля співпадають і дипольний момент молекули  дорівнює нулю. Ці молекули називають неполярними (водень, азот, хлор, парафін, бензол і др.) (рис. 3 а).

 

Рис. 1

При наявності зовнішнього поля заряди в неполярній молекулі зміщуються один відносно другого (додатні – по напрямку поля, від’ємні – проти поля). Кожна молекула при цьому набуває дипольний момент:

(мал. 3 б), який пропорційний напруженості поля.

Велику групу діелектриків представляють речовини, в молекулах яких електрони розміщені несиметрично відносно ядер. При цьому центри ваги додатних та від’ємних зарядів молекули не співпадають один з одним і молекули представляють собою диполі навіть в відсутності зовнішнього поля. Такі диполі називають жорсткими, а молекули – полярними. Діелектрики з полярними молекулами – Н₂О, НСl, NH₃ і інші (рис. 4).

Рис. 2.

Діелектрики в природі зустрічаються в трьох агрегатних станах: газоподібному, рідкому та твердому.

Поляризацією діелектриків називається стан речовини, який характеризується наявністю дипольного моменту в любому елементі об’єму. За «любий» приймається елемент об’єму, який вміщає достатню кількість атомів.

Розглянемо причини поляризації діелектриків. Якщо внести в електричне поле діелектрик, побудований із неполярних молекул, то під дією поля всі молекули набувають дипольний момент, паралельний зовнішньому полю (мал. 5).

Рис. 3

В результаті цього на протилежних поверхнях, перпендикулярних до поля, виникають заряди протилежного знаку. Така поляризація називається електронною або деформаційною. В цьому випадку діелектрик в цілому набуває дипольний момент і створює в просторі електричне поле.

Якщо діелектрик з полярними молекулами не знаходиться в електричному полі, то внаслідок хаотичного теплового руху дипольні моменти окремих молекул орієнтуються в просторі безладно. Тому, векторна сума дипольних моментів всіх молекул дорівнює нулю, і діелектрик в цілому не має дипольного моменту. При внесенні такого діелектрика в електричне поле жорсткі диполі намагаються повернутись так, що вектори їх дипольних моментів співпали по напрямку з вектором Е. Але тепловий рух перешкоджає строгій орієнтації моментів диполів. Тому, моменти приймають тільки переважну орієнтацію по напрямку зовнішнього поля (рис. 6). Ця орієнтація буде тим більшою, чим сильніше зовнішнє поле і чим нижча температура діелектрика. Такий вид поляризації називають дипольною або орієнтаційною поляризацією.

 

Рис. 4

При підвищенні напруженості поля (при постійній температурі) досягається такий стан, коли практично всі диполі уже повернуті в напрямку поля. При цьому підвищення напруженості поля уже не буде викликати збільшення поляризації діелектрика, тобто наступає насичення.

Нарешті, коли в електричному полі розмістити діелектрик з іонною решіткою, то під дією поля всі додатні іони змістяться в напрямку поля, а всі від’ємні іони проти поля. Цей вид поляризації називають іонною поляризацією.

Заряди, які з’являються на поверхні діелектрика, при поляризації неможливо зняти. Тому їх називають зв’язаними.

Таким чином, поляризація полягає в обмеженому зміщенні зв’язаних зарядів або орієнтації дипольних молекул під впливом електричного поля.

Внаслідок поляризації на паралельних гранях з’являються зв’язані заряди, які створюють власне поле. Поза діелектриком напрямок поля зв’язаних зарядів співпадає з напрямком зовнішнього поля, а всередині діелектрика – протилежно йому. Таким чином, внаслідок поляризації діелектрика напруженість поля поза ним збільшується, а всередині – зменшується. Це призводить до зміни зовнішнього електричного поля в області діелектрика.

Розглянемо характеристики поляризованого діелектрика. Нехай даний діелектрик має форму прямого паралелепіпеда довжиною l. Позначимо площу основи через S, а величину зв’язаного на поверхні основи заряду через q. Тоді одержуємо поверхневу густину зв’язаних зарядів:

 (1)

Поляризований діелектрик володіє дипольним електричним моментом, рівним

, (2)

де l – вектор, чисельно рівний віддалі між зарядами і напрямлений від від’ємного заряду до додатного.

За міру поляризації діелектрика приймають дипольний момент одиниці об’єму діелектрика:

 (3)

Дипольний (електричний) момент одиниці об’єму діелектрика називають вектором поляризації.

Із формули (3) видно, що вектор поляризації чисельно дорівнює поверхневій густині зарядів.

З другого боку, якщо позначити дипольний момент однієї 1-ої молекули через «Р_і», то вектор поляризації буде рівний

 (4)

З формули (3) видно, що розмірність вектора поляризації в системі СІ Кл/м^2, тобто співпадає з розмірністю вектора електричного зміщення.

Вектор поляризації пропорційний напруженості електричного поля

,

де безрозмірний множник c (незалежна від Е величина) називається діелектричною сприйнятливістю. Вона характеризує податливість речовини до електричної поляризації і залежить від її будови.

Внаслідок поляризації напруженість поля в діелектриці (як відмічалось вище) менше від напруженості зовнішнього кола.

Поле всередині діелектрика

Розглянемо діелектрик в полі плоского конденсатора (рис. 5).

Рис. 5

Як видно з цього малюнка, напруженість поля всередині діелектрика:

 (6)

Або в скалярній формі:

 (7)

Звідси одержуємо:

 (8)

В формулі (7) вплив речовини на поле враховує напруженість поля зв’язаних зарядів. Поле Е являється полем зв’язаних зарядів, які виникають на двох площинах діелектрика. Отже, його можна розрахувати за формулою (при e = 1):

.

Вектор зміщення зв’язаний з напруженістю поля в діелектриці і вектором поляризації співвідношенням:

 (9)

Співвідношення (9) являється більш загальним, ніж , оскільки воно справедливе для любої найскладнішої залежності .

Знайдемо зв’язок між цими величинами. Для цього підставимо значення:

 ^і  в формулу (9). Звідси знаходимо:

 (10)

Із співвідношення (10) випливає, що чим сильніше поляризується діелектрик, тим більша його діелектрична проникність.

Напруженість поля в середовищі рівна:

 (11)

Отже, діелектрична проникність показує, в скільки разів послаблюється електричне поле в середовищі порівняно з вакуумом.

Як витікає з попереднього параграфа, це послаблення пояснюється тим, що від напруженості поля вільних зарядів віднімається напруженість поля зв’язаних зарядів.

П’єзоелектричний ефект і його застосування

Досі ми розглядали поляризацію діелектриків під дією зовнішнього поля. Досвід показує, що в деяких кристалах поляризація може виникнути і без зовнішнього поля, якщо кристали піддати механічні й деформації. До таких кристалів належать кварц, турмалін, сегнетова сіль, цинкова обманка, титанат барію та інші. Це явище одержало назву п’єзоелектричного ефекту.

П’єзоефект обумовлений особою будовою деяких твердих діелектриків. Розглянемо, наприклад, причину п’єзоелектричних властивостей кварцу. В кристалах кварцу (SiO₂) іони кремнію і кисню розміщені в шестикутних структурних комірках. Схематично комірку кристалу кварцу можна представити у формі (Рис. 6).

 

Рис. 6

Вісі х₁, х₂, х₃ (розташовані в площині малюнка) називають електричними вісями. Вісь Z, перпендикулярну до площини малюнка, називають оптичною віссю.

Вважатимемо, що комірка стискається в напрямі вісі (Рис. 1). Тоді іон кремнію і зміщується всередину комірки і займає місце між іонами кисню 2 і 6, а іон кисню 4 опиняється між іонами кремнію 3 і 5. Внаслідок цього на поверхні А комірки виникає негативний заряд, а на поверхні В-позитивний, тобто має місце так званий повздовжній, прямий п’єзоелектричний ефект (поляризація в напрямі деформуючих сил). Якщо ж стиск відбувається в напрямі, перпендикулярному до вісі х₁, то іони кремнію 3 і кисню 2 зміщуються вліво, а іони кремнію 5 і кисню 6 – вправо.

На поверхні С і Д додаткові електричні заряди не виникають. А на поверхні А і В виникають заряди, протилежні за знаком тим, які спостерігалися в першому випадку. Так як тепер іони кремнію 1 і кисню 4 висуваються з комірки, в цьому випадку виникає поперечний прямий п’єзоелектричний ефект (поляризація в напрямі, перпендикулярному до дії деформуючих сил).

Якщо кристал піддати деформації розтягу, то знаки поверхні зарядів будуть оберненими по відношенню до знаків при деформації стиску. Це легко зрозуміти з рис. 1, якщо змінити напрям сил навпаки.

Користуючись моделлю (рис. 1), можна пояснити і обернений п’єзоелектричний ефект, який полягає у зміні розмірів кристала під дією електричного поля, тобто в його подовженні або скороченні при електризації.

Якщо електричне поле періодично змінюється з частотою, рівною частоті власних механічних коливань пластинки п’єзокварцу, то пластинка має резонансні коливання. Ці коливання передаються оточуючому середовищу і можуть поширюватися у вигляді хвиль. Прямий і обернений п’єзоелектричний ефект має в наш час широке застосування в техніці. Існують п’єзоелектричний мікрофон і телефон, п’єзоелектричні стабілізатори частоти та ін.

Висновки

1.  Умови рівноваги зарядів у провіднику, що знаходиться в електростатичному полі:

1)  поле усередині відсутнє, а потенціал () сталий;

2)  напруженість поля в кожній точці поверхні провідника спрямована перпендикулярно до поверхні.

2.  У діелектриків немає вільних зарядів. При поляризації неполярних діелектриків під дією зовнішнього електричного поля утворюються електричні диполі з відповідним електричним моментом, а у полярних діелектриків існуючі диполі орієнтуються по зовнішньому полю.

Міра поляризації діелектриків характеризується дипольним моментом одиниці об’єму вектором поляризації.

Таким чином, на поверхні діелектрика у зовнішньому полі виникають пов’язані заряди, а їх поле частково компенсує зовнішнє.

3. Чим сильніше поляризується діелектрик (більша діелектрична сприйнятливість), тим більше послабляється зовнішнє поле.