Навигация
Частные решения выберем в виде комплексных экспонент
13377
знаков
0
таблиц
2
изображения
3.2.3. Частные решения выберем в виде комплексных экспонент
, (3.29)
По физическим соображениям можно волновой функции придать вид лишь одного из частных решений. Это связано со свойствами момента импульса в стационарном вращательном движении, которые мы рассмотрим в рамках соответствующего операторного уравнения
, т.е.
, (3.30)
откуда следует, что собственная волновая функция оператора имеет вид:
. (3.31)
Функции (3.29) и (3.31) совпадают при условии, что
или 
Физический смысл знака проекции Lz связан с ориентацией вектора 
вдоль или против оси вращения, а это, в свою очередь, зависит от направления вращения плоского ротатора.
Таким образом, в качестве волновых функций удобны частные решения уравнения Шредингера вида (3.29), имеющие ясный физический смысл функций состояния с определенной ориентацией вращения. Далее займемся доводкой полученных решений до волновых функций вращательных состояний. Эти решения заведомо удовлетворяют свойствам конечности и неразрывности, но пока не обладают свойством однозначности, а также нуждаются и в нормировке. Нормировочный коэффициент А легко получается из равенств:
(3.32)
3.2.4. Обратимcя к выяснению природы параметра m на основе свойства однозначности, которое состоит в том, что значение волновой функции Φ отвечающей аргументу φ, совпадает со значением функции, аргумент которой сдвинут на полный оборот и равен 
, т.е.:
. (3.33)
Число последующих поворотов неограничено, и поэтому вполне достаточно условия (3.33). Это означает:
,
откуда следует, что 
, т.е. получим систему уравнений
(3.34)
Требования (3.34) выполняются только при целочисленных значениях параметра m, пробегающих с интервалом 1 все значения, включая 0:
, (3.35)
и комплексные нормированные волновые функции плоского ротатора приобре-тают вид: 
. (3.36)
3.2.5. В результате оказывается, что энергия вращения квантована, и уровни, определяемые формулой (3.30) можно пронумеровать, т.е.:
. (3.37)
Состояния, отличающиеся только знаком m, т.е. направлением вращения, обладают равной энергией. За исключением нулевого уровня (
) всем прочим уровням отвечает по два состояния, это означает, что каждый из уровней дважды вырожден. Вырождение вращательных уровней плоского ротатора является следствием; равноправия двух направлений вращения вокруг оси. Принимая за единицу шкалы энергии
3.2.6. Обсудим волновые функции, для чего воспользуемся приемом, который имеет далеко идущие последствия. Он связан с переходом от комплексной формы волновых функций, компактной, но не обладающей графической наглядностью, которая чрезвычайно важна и желательна для химических приложений, к функциям вещественного вида. Это достигается на основе принципа суперпозиции путем составления линейных комбинаций комплексных экспонент с одинаковым значением модуля 
, т.е. вместо волновых функций вида 
при 
будем использовать функции вида
. (3.38)
Согласно теореме об общих решениях дифференциальных уравнений, такой переход допустим, и линейные комбинации описывают состояния, которые принадлежат тем же самым уровням энергии, но при этом теряется определенность в ориентации вращения относительно выбранной оси. Так часто случается в квантовой механике: добиваясь наглядности в описании какого-либо свойства, неизбежно теряют в других.
Поскольку 
и 
физически равноправные функции, положим 
, и составим линейные комбинации вида
,
.
Преобразуя 
по формулам Эйлера (1.2) и (1.3), получаем
; 
. (3.39)
Множитель 
находим из условия нормировки (2.2):
и 
,
что дает: 
. Напоминаем, что 
(3.40) не нуждается в подобном преобразовании.
Волновые функции состояния одночастичной системы принято называть орбиталями. В дальнейшем мы будем широко использовать этот термин.
3.2.7 Полученные действительные орбитали графически изображаются на плоских полярных диаграммах, где численное значение функции откладывается на радиус-векторе, исходящем из полюса под углом φ к стандартно ориентированному координатному лучу 
.
Орбиталь основного состояния Φ0имея постоянное значение, не зави-сящее от угла, и её график – это окружность с радиусом 
(Рис. 5а).
Орбитали, принадлежащие первому возбужденному уровню 
и 
– это косинусоида и синусоида. Их графики – две восьмерки, имеющие области положительных и отрицательных значений. Нулевое значение орбитали, т.е. ее узел, приходится на полюс. Через него перпендикулярно оси орбитали вдоль координатного луча проходит узловая прямая линия. Она симметрично отделяет друг от друга области положительных и отрицательных значений орбитали, которые образуют лепестки.
В общем случае у орбитали с квантовым числом |m| имеется |m| узловых линий, образующих пучок и пересекающихся в полюсе. Они разделяют орбиталь на 2|m| лепестков с чередующимися знаками.
3.2.8. Удобна классификация орбиталей, связанная с квантовым числом m, находящая широкое химическое применение. Значению m=0 отвечает σ-орбиталь, |m|=1 – пара π-орбиталей, |m|=2 – две δ-орбитали и т.д.
3.2.9. Как уже указывалось, графическая наглядность действительных орбиталей плоского ротатора достигнута за счет потери определенности в ориентации вращательного момента, хотя модуль момента и значение энергии остаются однозначными характеристиками состояния. Т.е. действительные орбитали, будучи собственными функциями операторов квадрата момента импульса 
и энергии 
, перестали быть собственными функциями оператора проекции момента импульса 
.
Похожие работы
... систем недостижима. Поэтому для химии особенно важны такие модели, которые допускают построение наглядных графических образов. Этому условию отвечает пространственное движение одной частица. 4.1.2. Дифференциальные уравнения в частных производных и метод разделения переменных 4.1.2.1. Многие фундаментальные теоретические модели физики построены с использованием математического аппарата ...
... числу l. Энергетические уровни АО многоэлектронного атома (правило Клечковского-Маделунга): “Уровни АО многоэлектронного атома возрастают с ростом суммы квантовых чисел (n+l), а при равных значениях (n+l) ниже лежит уровень с меньшим n”. Экранирование ядра. Одноэлектронный подход к проблеме строения многоэлектронного атома. n+l N,l АО n+l n,l АО n+l n,l АО n+l n,l АО n+l n,l АО ...
... радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями и , мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями . Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения. ...
... 4. Каноническое распределение по уровням. Набором квантовых состояний – уровней определяется любого коллектива целиком определяется его полная статистическая сумма состояний и его свободная энергия (4.1) Канонический ансамбль состояний описывает реальную изотермическую систему при постоянной температуре. Коллектив - система может быть макроскопическим, и должен состоять из огромного числа ...
0 комментариев