Портфель Марковица максимальной эффективности

3.3.2 Портфель Марковица максимальной эффективности

Модель оптимального портфеля Марковица, которая обеспечивает максимальную доходность при заданном риске(=0.88) имеет вид:

(3.5)

Решая задачу с помощью табличного процессора Excel и его надстройки Поиск решения, получим (рис. 3.2):

=7,9%

х₁ =0,56; х₂=0; х₃=0; х₄=0,05; х₅=0,39.

Рис. 3.2 – Оптимальный портфель ценных бумаг Марковица максимальной эффективности

  3.4 Оптимальный портфель ценных бумаг Тобина

 

3.4.1 Портфель Тобина минимального риска

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно отнести с некоторой натяжкой государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает новое качество.

Пусть - эффективность безрисковых бумаг (12%), а х₀ – доля капитала, вложенного в них, тогда в рисковую часть портфеля вложена  часть всего капитала. Пусть - эффективность и  – вариация (дисперсия) рисковой части портфеля и  – риск этой рисковой части. Тогда эффективность всего портфеля равна , вариация портфеля равна  и риск портфеля равен (считается, что безрисковые бумаги некоррелированны с остальными). Исключая , получим , т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска. Задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:

(3.6)

Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть V – матрица ковариаций рисковых ценных бумаг, - вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в i – ый вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, . Пусть также I n – мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. тогда оптимальное значение долей есть

(3.7)

Здесь - матрица, обратная к V. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, - вектор-столбец размерности n. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору также не зависит от . Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от . Однако сумма компонент вектора  зависит от , а именно, компоненты вектора  пропорционально увеличиваются с ростом , поэтому доля  безрисковые вложений будет при этом сокращаться. Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля подставим оптимальный вектор  из формулы (15.3) через . Получим

Окончательно:

 или

(3.8)

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска:  или . Видно, что эти зависимости линейные.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина – это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых бумаг.

Решая задачу с помощью табличного процессора Excel и его надстройки Поиск решения, получим:

=0,51

х₀=0,08; х₁ =0,25; х₂=0; х₃=0; х₄=0,44; х₅=0,23.

Рис. 3.3 – Оптимальный портфель ценных бумаг Тобина минимального риска.